初二数学奥数全等三角形专项训练卷

初二数学奥数全等三角形专项训练卷全等三角形是平面几何的入门与基石，其概念、判定与性质贯穿了整个初中乃至高中的几何学习。熟练掌握全等三角形的解题思路与技巧，不仅能有效提升逻辑推理能力，更是解决复杂几何问题的关键。本专项训练卷旨在通过典型例题与精选习题，帮助同学们深化对全等三角形的理解，掌握辅助线添加的常见策略，提升几何论证的严密性与灵活性。一、核心知识回顾与点拨在进入专项训练之前，我们先来梳理一下全等三角形的核心知识点，这是解决一切相关问题的前提。*全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。*全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（引申：全等三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线也相等，周长与面积亦相等。）*全等三角形的判定方法：*SSS(Side-Side-Side)：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS(Side-Angle-Side)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。*ASA(Angle-Side-Angle)：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS(Angle-Angle-Side)：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL(Hypotenuse-Leg)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。解题要点点拨：1.寻找对应关系：准确识别对应顶点、对应边、对应角是证明全等的首要前提。可通过观察图形的翻折、旋转、平移关系，或根据已知条件中的边、角关系来确定。2.掌握“题眼”：关注题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角相等，以及由平行线产生的同位角、内错角相等，由角平分线、垂直平分线等性质带来的等量关系。3.辅助线添加技巧：当直接证明条件不足时，添加辅助线是常用手段。如：*连接已知点构造全等三角形。*延长某线段至某点，使延长部分等于已知线段，构造“截长补短”模型。*过某点作已知直线的垂线或平行线，构造直角或等角。*遇角平分线，可向两边作垂线（“角平分线性质定理”的逆用与构造），或在角的两边截取相等线段构造全等。4.执果索因与由因导果：证明时可采用分析法（从结论出发，寻找所需条件）与综合法（从已知条件出发，推导可能结论）相结合的方式。二、典型例题精讲例题1：基础巩固——利用“SSS”判定全等已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。思路点拨：要证∠A=∠D，观察图形，可尝试证明△ABC与△DEF全等。已知两组边对应相等（AB=DE，AC=DF），只需再证第三组边BC=EF即可。而BE=CF是已知条件，根据等式性质，BE+EC=CF+EC，即BC=EF。从而可用“SSS”证得全等，进而得到对应角相等。证明：∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性质）即BC=EF在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF(SSS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)例题2：技巧应用——构造全等与“ASA/AAS”的运用已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且∠BDC=∠CEB。求证：BD=CE。思路点拨：要证BD=CE，可证它们所在的三角形全等。观察到BD在△BDC中，CE在△CEB中。已知∠BDC=∠CEB，BC是公共边。若能再找到一组角相等即可。因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB（等边对等角）。在△BDC和△CEB中，已有两角（∠BDC=∠CEB，∠DBC=∠ECB）和一组公共边BC，可利用“AAS”判定全等。证明：∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）在△BDC和△CEB中，∠BDC=∠CEB（已知）∠DBC=∠ECB（已证）BC=CB（公共边）∴△BDC≌△CEB(AAS)∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)例题3：综合提升——辅助线添加与“截长补短”已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：AB+BD=AC。思路点拨：要证AB+BD=AC，这种“一条线段等于另两条线段之和”的问题，常用“截长法”或“补短法”。*截长法：在AC上截取一段等于AB，再证剩余部分等于BD。*补短法：延长AB至某点E，使BE=BD，再证AE=AC。这里尝试“补短法”。延长AB到E，使BE=BD，连接DE。则∠E=∠BDE。由∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E，且∠ABC=2∠C，可得∠E=∠C。又AD平分∠BAC，AD为公共边，可证△AED≌△ACD（AAS），从而AE=AC，即AB+BE=AC，而BE=BD，故AB+BD=AC。证明：（采用补短法）延长AB至点E，使BE=BD，连接DE。∵BE=BD∴∠E=∠BDE（等边对等角）∵∠ABC=∠E+∠BDE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠ABC=2∠E又∵∠ABC=2∠C（已知）∴∠E=∠C∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）在△AED和△ACD中，∠E=∠C（已证）∠EAD=∠CAD（已证）AD=AD（公共边）∴△AED≌△ACD(AAS)∴AE=AC（全等三角形的对应边相等）∵AE=AB+BE，且BE=BD（已作）∴AB+BD=AC三、专项练习题A组：基础巩固1.已知：如图，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。求证：AB∥CD。2.已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求证：∠A=∠D。3.已知：如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF=AC，FD=CD。求证：BE⊥AC。（提示：可证Rt△BDF与Rt△ADC全等）B组：能力提升4.已知：如图，在△ABC中，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，且MD=ME。求证：AB=AC。5.已知：如图，AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点E、F。求证：OE=OF。6.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AC=AD。C组：拓展延伸7.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD交BD的延长线于E。求证：BD=2CE。（提示：延长CE与BA延长线交于一点）8.已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F。若AD=2，BC=5，求BF的长。（提示：可通过证全等将AD转移到FC）四、参考答案与提示A组：基础巩固1.提示：先证△AOB≌△COD(SAS)，得∠OAB=∠OCD，从而AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。2.提示：由BE=CF得BF=CE，再证△ABF≌△DCE(SAS)。3.提示：在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD，故Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，得∠BFD=∠C。又∠BFD=∠AFE，∠C+∠CAD=90°，故∠AFE+∠CAD=90°，即∠AEF=90°，BE⊥AC。B组：能力提升4.提示：连接AM。先证Rt△BDM≌Rt△CEM(HL)，得∠B=∠C，故AB=AC（等角对等边）。或证Rt△ADM≌Rt△AEM(HL)，得∠BAM=∠CAM，AM为角平分线，又为中线，故△ABC为等腰三角形。5.提示：先证△ABC≌△CDA(SSS)，得∠DAC=∠BCA，再证△AOE≌△COF(ASA或AAS)。6.提示：由∠3=∠4可得∠ABC=∠ABD。再结合∠1=∠2，AB为公共边，证△ABC≌△ABD(ASA)。C组：拓展延伸7.提示：延长CE交BA的延长线于F。先证△BEF≌△BEC(ASA)，得CE=EF，即CF=2CE。再证△ABD≌△ACF(ASA)，得BD=CF，故BD=2CE。8.提示：证△ADE≌△FCE(AAS或ASA)，得AD=FC=