中考常考几何最值题型解析

中考常考几何最值题型解析在初中几何的学习中，最值问题始终是一个核心且富有挑战性的内容。它不仅考察学生对几何基本概念、定理的掌握程度，更重要的是检验其运用数学思想方法解决实际问题的能力。中考中，几何最值题型频繁出现，形式多样，但万变不离其宗，掌握常见的模型和解题策略至关重要。本文将对中考中常考的几何最值题型进行梳理与解析，希望能为同学们的备考提供有益的参考。一、利用“两点之间线段最短”求最值“两点之间，线段最短”是几何学中最基本的公理之一，也是解决许多最值问题的出发点。这类问题通常涉及到在直线上找一点，使得该点到两个定点的距离之和最小（或差最大）。核心原理：*两点之间线段最短。*三角形两边之和大于第三边（用于验证或辅助证明）。解题策略：当题目中出现两个定点和一条直线（动点所在直线）时，若求动点到两定点距离之和的最小值，通常可以通过轴对称变换，将其中一个定点变换到直线的另一侧，然后连接变换后的点与另一个定点，所得线段与原直线的交点即为所求动点位置，线段长度即为最小值。这种方法俗称为“将军饮马”模型。典型例题与解析：例题1：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(4,5)，在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标及PA+PB的最小值。解析：要在x轴上找一点P，使PA+PB最小。由于A、B两点均在x轴上方，直接连接AB与x轴的交点并非所求（此时PA+PB=AB，但P点可能不在x轴上）。我们利用轴对称的性质，作点A关于x轴的对称点A’(1,-2)。根据轴对称的性质，PA=PA’。因此，PA+PB=PA’+PB。当A’、P、B三点共线时，PA’+PB的值最小，即为线段A’B的长度。此时，点P为直线A’B与x轴的交点。通过求出直线A’B的解析式，再令y=0，即可得到点P的坐标。连接A’B，与x轴交点即为P，PA+PB的最小值为A’B的长度。二、利用“垂线段最短”求最值除了“两点之间线段最短”，“垂线段最短”也是解决几何最值问题的另一重要依据。它主要用于求点到直线的最短距离，或与直线相关的线段长度最小值问题。核心原理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。解题策略：当问题涉及到一个定点到一条直线（或线段）上任意一点的距离最小值时，通常考虑过该定点作已知直线的垂线，垂足即为所求的点，垂线段的长度即为最小值。典型例题与解析：例题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过点P作PD⊥AB于点D，连接AP，求线段PD长度的最小值。解析：题目要求PD的最小值。PD是点P到直线AB的垂线段。虽然点P在BC上运动，但我们可以将其视为“直线BC上的点到直线AB的距离”。根据“垂线段最短”，当点P固定时，PD是P到AB的最短距离。但点P本身也在动，那么PD的最小值如何求呢？我们可以表达出PD的长度。在Rt△ABC中，AB可由勾股定理求出。设PC=x，则PB=8-x。易证△PBD∽△ABC，通过相似比可以用含x的代数式表示PD。得到PD关于x的一次函数（或二次函数）后，根据x的取值范围，即可求出PD的最小值。或者，我们可以思考，PD是△ABP中AB边上的高，S△ABP=(1/2)·AB·PD。要使PD最小，在AB固定的情况下，需S△ABP最小。而S△ABP=(1/2)·BP·AC，AC固定，所以当BP最小时，S△ABP最小。BP最小即当P与C重合时，但题目规定P不与C重合，所以理论上P无限接近C时，BP接近BC-0=8？不对，这里可能需要重新审视。哦，不对，BP是8-x，x越大（P越靠近C），BP越小。所以当x最大，即P接近C时，BP最小，S△ABP最小，从而PD最小。当P与C重合时，PD即为C到AB的距离，此时PD最小。但题目说P不与C重合，所以PD的最小值无限接近C到AB的距离。在允许P与C重合的情况下，最小值就是C到AB的距离。因此，本题的PD最小值即为直角三角形ABC中，直角边AC上的高（或说，点C到AB的距离）。通过面积法可直接求出：(1/2)·AC·BC=(1/2)·AB·h，其中h为C到AB的距离，解得h的值即为PD的最小值（当P与C重合时取到，但题目限制P不与C重合，则最小值无限接近h，但在初中阶段，若题目允许，通常会取到这个临界值）。三、利用“轴对称变换”求最值（进阶）“将军饮马”问题是轴对称变换的基础应用。在更复杂的图形中，可能需要进行多次轴对称变换，或者利用轴对称变换将分散的条件集中，从而找到最值点。核心原理：轴对称变换不改变图形的形状和大小，对应点的连线被对称轴垂直平分。通过轴对称，可以将不在同一侧的点转化到同一侧，或将折线转化为直线段，从而利用“两点之间线段最短”解决问题。解题策略：根据题目条件，选择合适的对称轴进行轴对称变换，将所求的折线路径转化为直线段，其长度即为最小值（或通过比较得到最大值）。典型例题与解析：例题3：如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？解析：要求BM+MN的最小值，点B是定点，M是AD上的动点，N是AB上的动点。直接连接似乎无法应用基本原理。考虑利用轴对称。因为AD是∠BAC的平分线，角平分线所在直线是角的对称轴。我们可以尝试作点N关于AD的对称点N’，根据角平分线性质，点N’必然落在AC边上。则MN=MN’。因此，BM+MN=BM+MN’。要使BM+MN’最小，点B、M、N’需共线，且点N’在AC上。所以，当BN’⊥AC时，BN’的长度即为BM+MN的最小值。因为此时BN’是点B到AC的垂线段，根据“垂线段最短”，其长度最小。又因为AB=4，∠BAC=45°，所以BN’=AB·sin45°=4·(√2/2)=2√2。故BM+MN的最小值为2√2。四、利用“圆外一点到圆上点的距离最值”求最值当一个点在某个圆上运动时，求这个动点到圆外一个定点的距离的最大值或最小值，可以通过连接圆心与定点，并延长（或反向延长）与圆相交来解决。核心原理：设圆O的半径为r，点P为圆外一定点，则点P到圆上各点的距离中，最大值为PO+r，最小值为PO-r（其中PO为点P到圆心O的距离）。若点P在圆内，则最大值为PO+r，最小值为r-PO。解题策略：确定动点的轨迹是一个圆（或圆弧），找到圆心和半径，连接圆心与定点，根据点与圆的位置关系，计算最大或最小距离。典型例题与解析：例题4：如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是边CD上的一个动点（不与C、D重合），以O为圆心，OP为半径作⊙O，连接BP，求BP的最小值。解析：点P在CD上运动，OP为⊙O的半径，所以点P在运动过程中，⊙O的半径在变化。但题目问的是BP的最小值，BP是定点B到动点P的距离。点P的轨迹是线段CD。所以问题转化为：点B到线段CD上一点P的距离的最小值。根据“垂线段最短”，当BP⊥CD时，BP最短，此时点P与点C重合。但题目说P不与C重合，所以BP的最小值无限接近BC的长度（BC=2）。但这样似乎没有用到圆的条件，题目是否有误？或者我理解错了？哦，可能题目是说“以O为圆心，某定长为半径作圆，点P是圆上一点，且在CD上运动”？如果是这样，则点P的轨迹是圆O与线段CD的交点（或一段弧）。此时，BP的最小值为BO-r（若点B在圆外）。假设原题意为“以O为圆心，1为半径作⊙O，点P是⊙O上一点，且在正方形内部或边上，求BP的最小值”。则圆心O是AC中点，可求出BO的长度。BP的最小值为BO-r。此处因原例题描述可能存在歧义，故重新明确：若P是定圆上的动点，则BP最小值为BO-r。关键在于确定P的轨迹是圆，利用点与圆的位置关系求最值。五、利用“二次函数”求最值许多几何图形中的变量关系，可以通过建立平面直角坐标系，转化为代数中的函数关系，特别是二次函数。利用二次函数的顶点坐标，可以求出相应几何量的最大值或最小值。核心原理：对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，当a>0时，函数有最小值，y_min=(4ac-b²)/(4a)；当a<0时，函数有最大值，y_max=(4ac-b²)/(4a)。自变量x的取值范围需根据几何图形的实际意义确定。解题策略：选择适当的坐标系，设出关键点的坐标（通常设动点坐标为(x,y)），根据几何图形的性质，将所求的几何量（如线段长度、图形面积等）表示为关于x（或y）的二次函数，然后根据二次函数的性质及自变量的取值范围求出最值。典型例题与解析：例题5：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P从点C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度为1个单位/秒；同时点Q从点A出发沿AB方向向点B匀速运动，速度为2个单位/秒。设运动时间为t秒（0<t<2.5）。连接PQ，设△APQ的面积为S，求S的最大值。解析：首先，用t表示出相关线段的长度。AP=AC-CP=3-t。AQ=2t。过点Q作QD⊥AC于点D，则QD是△APQ中AP边上的高。因为∠A是公共角，∠QDA=∠C=90°，所以△AQD∽△ABC。根据相似比，QD/BC=AQ/AB。AB可由勾股定理求出为5。所以QD=(BC·AQ)/AB=(4·2t)/5=(8t)/5。则S=(1/2)·AP·QD=(1/2)·(3-t)·(8t/5)=(4t/5)(3-t)=(-4/5)t²+(12/5)t。这是一个关于t的二次函数，a=-4/5<0，开口向下，函数在对称轴处取得最大值。对称轴t=-b/(2a)=-(12/5)/(2·(-4/5))=(12/5)/(8/5)=12/8=3/2。因为t的取值范围是0<t<2.5，3/2=1.5在此范围内。所以S的最大值为S(3/2)=(-4/5)(3/2)²+(12/5)(3/2)=(-4/5)(9/4)+(36/10)=(-9/5)+(18/5)=9/5=1.8。故△APQ面积的最大值为9/5。总结与反思几何最值问题的求解，关键在于根据题目特点，灵活运用上述几种基本原理和方法。无论是“两点之间线段最短”、“垂线段最短”，还是利用轴对称、旋转变换，或是借助二次函数的代数方法，其核心思想都是“转化”——将待求的最值问题转化为我们所熟悉的基本模型或基本定理的应用。在解题过程中，要善于观察图形，分析已知条件和所求目标之间的联系，通过添加辅助线（如对称轴、垂线、平行线等）构造出符合基本原理的图形。同时，