切线性质及判定综合训练卷

切线性质及判定综合训练卷引言在平面几何的璀璨星河中，圆的切线犹如一颗耀眼的明珠，它以独特的性质和判定方法，串联起几何图形间的诸多关系，是解决复杂几何问题的重要桥梁。掌握切线的性质与判定，不仅能够深化对圆的理解，更能提升逻辑推理和空间想象能力。本训练卷旨在系统梳理切线的核心知识，并通过针对性的例题与练习，帮助学习者熟练运用这些知识解决实际问题，体悟几何学的严谨与优美。一、切线的核心知识梳理（一）切线的定义直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。（二）切线的性质定理及其推论1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。*核心解读：此定理揭示了切线与半径之间的垂直关系，是切线所有性质的“根”。已知切线，则过切点的半径必与之垂直，这为构造直角三角形、运用勾股定理等提供了关键条件。2.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。*核心解读：此推论确立了“圆心”、“切点”、“切线垂线”三者之间的位置关系。若已知一条直线是切线，且有一条直线过圆心并垂直于该切线，那么这条直线一定经过切点。3.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。*核心解读：与推论1类似，它从切点出发，指出了过切点且垂直于切线的直线必然经过圆心。这两个推论在确定圆心位置或切点位置时非常有用。4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。*核心解读：“切线长”指的是圆外一点到切点之间的线段长度。该定理不仅指出了两条切线长的等量关系，还揭示了圆心与圆外点的连线的角平分线性质，常与等腰三角形、全等三角形知识结合使用。（三）切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。*核心解读：此定理是判断一条直线是否为圆的切线的主要依据。它包含两个缺一不可的条件：①直线经过半径的外端（即直线与半径有公共点）；②直线垂直于这条半径。在应用时，需特别注意条件的完整性。*辅助线思路：当待证直线与圆有明确的公共点时，常“连半径，证垂直”；若待证直线与圆的公共点不明确，则常“作垂直，证半径（即证明圆心到直线的距离等于半径）”。二、解题策略与技巧1.“见切线，连半径”：这是处理切线问题时最常用的辅助线作法。一旦题目中出现切线及切点，迅速连接圆心与切点，构造出直角（切线垂直于过切点的半径），为后续计算或证明铺平道路。2.善用直角三角形：切线性质定理提供了直角，因此在与切线相关的问题中，直角三角形的性质（如勾股定理、锐角三角函数、斜边中线定理等）应用广泛。3.关注等量关系：切线长定理提供了切线长的等量关系，结合等腰三角形的性质，可以得到角的等量关系。注意挖掘图形中隐含的等量信息。4.动态思维与分类讨论：在一些涉及动点、动线的切线问题中，要具备动态思维，考虑不同位置情况，并进行必要的分类讨论，避免漏解。5.综合运用几何知识：切线问题很少孤立存在，往往与三角形（特别是等腰、直角三角形）、四边形（如圆的内接四边形）等知识综合考查，需灵活运用全等、相似、勾股定理等多种工具。三、典型例题精析例题1（切线的性质应用）：已知：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。分析与简证：看到“过点C的切线”，首先连接OC（半径），则OC⊥CD（切线性质）。因为AD⊥CD，所以AD∥OC（垂直于同一直线的两直线平行）。由平行可得∠DAC=∠OCA（内错角相等）。又因为OA=OC（半径相等），所以∠OAC=∠OCA（等边对等角）。因此，∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。反思：本题核心在于“连半径，得垂直”，进而构造平行线，通过等量代换证明角平分线。例题2（切线的判定应用）：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。分析与简证：要证DE是⊙O的切线，已知点D在⊙O上（因为D在BC上，AB为直径，交BC于D），所以属于“有公共点，连半径，证垂直”的类型。连接OD，目标是证明OD⊥DE。因为AB=AC，所以∠B=∠C。因为OB=OD（半径），所以∠B=∠ODB（等边对等角）。因此，∠ODB=∠C，所以OD∥AC（同位角相等，两直线平行）。因为DE⊥AC，所以OD⊥DE（两平行线中一条垂直于第三条直线，另一条也垂直）。又因为OD是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线。反思：本题巧妙地利用了等腰三角形的性质和平行线的性质，将证切线的垂直问题转化为已知的垂直关系。四、进阶训练与拓展思考1.多切线问题：涉及从圆外一点引两条切线的问题，要充分利用切线长定理，以及由此产生的等腰三角形和角平分线，结合勾股定理或相似三角形求解线段长度或角度。2.切线与几何图形的综合：如切线与三角形、四边形的内切圆或外接圆结合，此时需要综合运用图形的性质和切线的相关知识。例如，直角三角形的内切圆半径公式的推导与应用。3.动态切线问题：点在直线上运动或直线绕点旋转，判断直线何时与圆相切，并求出相应的参数值。这类问题常需结合代数方法（如列方程）求解。4.切线的判定与性质的逆用与联用：在复杂问题中，往往需要交替使用切线的判定和性质，既要能由切线得到垂直，也要能根据垂直关系判定切线。五、总结与提升切线的性质与判定是平面几何的重要内容，其核心在于“垂直”关系的建立与应用。通过本训练卷的学习，希望同学们能够深刻理解切线的定义、性质定理（及推论）和判定定理的内涵与外延，熟练掌握“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”等基本辅助线技巧，并能将这些知识灵活应用于解决各类综合性问题。在解题过程中，要注重逻辑推理的严密性，培养观察图形、分析条件、转化问题的能力。同时，要勤于总结，善于归纳不同类型题目的解题规律，不断提升几何直观和空间想象能力。记住，每一道几何题都是一次思维的探险，唯有扎实的基础和灵活的策略，才能最终拨云