一次函数知识点与考题练习解析

一次函数知识点与考题练习解析在初中数学的学习旅程中，一次函数无疑是一块重要的基石。它不仅是函数概念的初次系统呈现，也是后续学习更复杂函数的基础，同时在解决实际问题中有着广泛的应用。理解一次函数的本质，掌握其图像与性质，并能灵活运用，对提升数学思维和解题能力至关重要。本文将系统梳理一次函数的核心知识点，并通过典型考题的练习与解析，帮助同学们深化理解，学以致用。一、一次函数的核心知识点梳理（一）函数的基本概念在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。（二）一次函数的定义与表达式一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。其中，x是自变量，y是因变量。*当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了y=kx（k是常数，且k≠0），这时我们把它叫做正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式。*这里的k称为一次项系数，b称为常数项。k的取值不能为0，这是判断一个函数是否为一次函数的关键。（三）一次函数的图像及其画法1.图像的形状：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线。因此，一次函数也被称为线性函数。2.图像的画法：由于两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只需找出图像上的两个点，然后过这两点作直线即可。*通常选取的两个点是：与y轴的交点（0，b）和与x轴的交点（-b/k，0）。这两个点分别称为y轴截距点和x轴截距点。*当b=0时，正比例函数y=kx的图像经过原点（0，0），此时只需再找一个除原点外的点即可，例如（1，k）。*在实际画图时，也可根据函数表达式的特点，选取更容易计算和描点的整数坐标点。（四）一次函数的性质（k和b的作用）一次函数的性质主要由其表达式中的系数k和b共同决定。1.系数k的作用：*k的符号决定函数的增减性：*当k>0时，y随x的增大而增大，函数图像是从左到右上升的。*当k<0时，y随x的增大而增大，函数图像是从左到右下降的。*k的绝对值大小决定直线的倾斜程度：|k|的值越大，直线越陡峭；|k|的值越小，直线越平缓。2.常数项b的作用：*b决定了一次函数图像与y轴的交点位置。交点坐标为（0，b）。*当b>0时，图像与y轴交于正半轴。*当b=0时，图像经过原点（正比例函数）。*当b<0时，图像与y轴交于负半轴。3.一次函数图像经过的象限：*k>0，b>0：图像经过第一、二、三象限。*k>0，b=0：图像经过第一、三象限（正比例函数）。*k>0，b<0：图像经过第一、三、四象限。*k<0，b>0：图像经过第一、二、四象限。*k<0，b=0：图像经过第二、四象限（正比例函数）。*k<0，b<0：图像经过第二、三、四象限。（五）一次函数与方程、不等式的联系1.一次函数与一元一次方程：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴交点的横坐标的值，就是一元一次方程kx+b=0的解。2.一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图像的交点坐标，就是相应的二元一次方程组的解。3.一次函数与一元一次不等式：*对于kx+b>0（k≠0），其解集是使一次函数y=kx+b的函数值为正的x的取值范围，反映在图像上，就是函数图像在x轴上方部分对应的x的取值。*对于kx+b<0（k≠0），其解集是使一次函数y=kx+b的函数值为负的x的取值范围，反映在图像上，就是函数图像在x轴下方部分对应的x的取值。二、考题练习与解析（一）概念辨析与基础应用例题1：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y=-3x+7(2)y=4x²(3)y=6/x(4)y=-x(5)y=8(6)y=(2/3)x-1解析：判断一个函数是否为一次函数，关键看其是否能化为y=kx+b（k≠0）的形式。(1)y=-3x+7，符合y=kx+b（k=-3≠0，b=7），是一次函数，但不是正比例函数（b≠0）。(2)y=4x²，x的次数是2，不是1，所以不是一次函数。(3)y=6/x，可化为y=6x⁻¹，x的次数是-1，不是1，所以不是一次函数。(4)y=-x，可化为y=-1x+0（k=-1≠0，b=0），既是一次函数，也是正比例函数。(5)y=8，可看作y=0x+8，但k=0，不符合一次函数k≠0的定义，所以不是一次函数（它是常函数）。(6)y=(2/3)x-1，符合y=kx+b（k=2/3≠0，b=-1），是一次函数，但不是正比例函数。答案：一次函数有(1)(4)(6)；正比例函数有(4)。例题2：已知一次函数y=(m-2)x+m²-4。(1)若函数是正比例函数，求m的值。(2)若函数图像经过点(0,5)，求m的值。解析：(1)正比例函数是一次函数的特殊形式，即b=0且k≠0。因此，对于y=(m-2)x+m²-4是正比例函数，需满足：m²-4=0且m-2≠0由m²-4=0，得m=2或m=-2。由m-2≠0，得m≠2。综上，m=-2。(2)函数图像经过点(0,5)，即当x=0时，y=5。将x=0，y=5代入函数表达式得：5=(m-2)*0+m²-4即m²-4=5m²=9解得m=3或m=-3。由于题目未对函数是否为正比例函数或k的取值有额外限制（除一次函数本身k≠0外，但m=3时，m-2=1≠0；m=-3时，m-2=-5≠0，均满足一次函数定义），故m=3或m=-3。答案：(1)m=-2；(2)m=3或m=-3。（二）图像与性质综合考察例题3：已知一次函数y=(2-k)x+(k+1)。(1)若函数图像经过第一、二、四象限，求k的取值范围。(2)若y随x的增大而增大，且函数图像与y轴的交点在x轴的上方，求k的取值范围。解析：(1)一次函数y=kx+b的图像经过的象限由k和b的符号决定。图像经过第一、二、四象限，则需满足：k<0且b>0。在本题中，k'=2-k（这里为避免与题目中的k混淆，用k'表示一次项系数），b'=k+1。所以：2-k<0（即k'<0）k+1>0（即b'>0）解不等式2-k<0，得k>2。解不等式k+1>0，得k>-1。综合两个不等式的解集，取其公共部分，得k>2。(2)y随x的增大而增大，说明k'=2-k>0，即2-k>0，解得k<2。函数图像与y轴的交点在x轴的上方，即b'=k+1>0，解得k>-1。综合可得，-1<k<2。答案：(1)k>2；(2)-1<k<2。（三）一次函数与方程、不等式的结合例题4：如图，是一次函数y=ax+b的图像。（*此处应有图像：图像经过点(1,0)和(0,-2)*）根据图像回答下列问题：(1)求这个一次函数的表达式。(2)当x为何值时，y=3？(3)当x为何值时，y>0？当x为何值时，y<0？解析：(1)要求一次函数表达式y=ax+b，需确定a和b的值。图像经过点(0,-2)，即当x=0时，y=-2，代入得b=-2。图像还经过点(1,0)，即当x=1时，y=0，代入y=ax-2得：0=a*1-2，解得a=2。所以，一次函数的表达式为y=2x-2。(2)当y=3时，即2x-2=3。解方程2x=5，得x=5/2。(3)y>0，即函数图像在x轴上方时对应的x值。从图像上看，函数与x轴交于点(1,0)，且函数值y随x的增大而增大（a=2>0）。因此，当x>1时，y>0。同理，当x<1时，y<0。答案：(1)y=2x-2；(2)x=5/2；(3)x>1时，y>0；x<1时，y<0。（四）实际问题与建模例题5：小明从家出发去学校，先走一段平路，然后上坡到达学校。他平路每分钟走60米，上坡每分钟走40米，从家到学校共用了15分钟，路程共计800米。设他在平路上走了x分钟，上坡走了y分钟。(1)列出关于x、y的二元一次方程组。(2)若小明放学回家时，平路速度不变，下坡速度为每分钟80米，那么他从学校回家需要多少分钟？解析：(1)题目中涉及两个等量关系：①平路时间+上坡时间=总时间（15分钟），即x+y=15。②平路路程+上坡路程=总路程（800米）。平路路程=平路速度×平路时间=60x，上坡路程=上坡速度×上坡时间=40y，即60x+40y=800。所以方程组为：{x+y=15{60x+40y=800(2)要求放学回家的时间，需先求出平路路程和上坡路程（即放学时的下坡路程）。解(1)中的方程组：由x+y=15，得x=15-y。代入60x+40y=800：60(15-y)+40y=800900-60y+40y=800-20y=-100y=5。则x=15-5=10。平路路程=60x=60*10=600米。上坡路程=40y=40*5=200米，即下坡路程为200米。放学回家时，平路时间=平路路程/平路速度=600/60=10分钟。下坡时间=下坡路程/下坡速度=200/80=2.5分钟。总回家时间=10+2.5=12.5分钟。答案：(1)方程组为{x+y=15;60x+40y=800}；(2)12.5分钟。三、总结与提升一次函数作为初中数学的核心内容之一，其概念、图像、性质以及与方程、不等式的联系，都是学习的重点和难点。通过上述知识点的梳理和例题的练习，我们可以看到，学好一次函数，首先要深刻理解其定义和表达式中各参数的几何意义与代数意义，其次要能熟练运用