2. 1 古典概型的概率计算公式

§2古典概型2.1古典概型的概率计算公式明确目标发展素养1.结合具体实例，理解古典概型的概念及特征．2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.1.通过对古典概型概念的学习，培养数学抽象素养．2.通过对古典概型概率的简单应用，提高数学建模和数学运算素养.(一)教材梳理填空1．随机事件的概率对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的

．概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画．概率2．古典概型的定义一般地，若试验E具有如下特征：(1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数

，即样本空间Ω为_____________.(2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性

．则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．有限有限样本空间相等(二)基本知能小试1．判断正误(1)任何一个事件都是一个样本点．

(

)(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．

(

)(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．

(

)×√√2．下列试验中，是古典概型的为

(

)A．种下一粒花生，观察它是否发芽B．向正方形ABCD内任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合C．从1,2,3,4四个数中任取两个数，求所取两数之一是2的概率D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率答案：C题型一古典概型的判断

【学透用活】[典例1]下列是古典概型的是

(

)A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止[解析]

A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．[答案]

C[方法技巧]判断一个试验是不是古典概型的步骤(1)明确试验及其结果．(2)判断所有结果(样本点)是否有限．(3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言．

【对点练清】(多选)下列试验是古典概型的为

(

)A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B．同时掷两枚骰子，点数和为6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：A、B、D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．答案：ABD

题型二简单古典概型的概率的计算问题

[探究发现](1)古典概型的概率计算公式是什么？【学透用活】[典例2]在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．(1)列出所有可能结果；(2)求取出的两个球上标号为相同数字的概率；(3)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．[解]

(1)设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用(x，y)表示抽取结果，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，n(Ω)＝16.[方法技巧]古典概型的概率求解步骤(1)读：反复阅读题目，收集整理题目中的各种信息；(2)判：判断试验是否为古典概型；(3)列：求出试验的样本空间和所求事件所包含的样本点的个数；(4)算：计算出古典概型的概率．

【对点练清】抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数分别为a，b.求：(1)满足a＋b≤6的概率；(2)满足log2|a－b|≥1的概率．解：(1)抛掷两枚质地均匀的骰子，记向上的点数为(a，b)，有36个样本点．满足a＋b≤6的样本点有15个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)．题型三较复杂的古典概型计算问题

【学透用活】[典例3]口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：(1)从口袋中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；(2)从口袋中摸出一个球后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．[方法技巧]解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特征和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类问题时需要注意以下两点：(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．(2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.

【对点练清】1．[变设问]保持本例前提条件不变，若从袋中摸出一个球后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球、第二次摸出白球的概率．解：有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，白)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，第一次摸出红球，2．[变设问]保持本例前提条件不变，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球、第二次摸出白球的概率．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．王斌同学在解答问题“同时掷两枚骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少”时，给出了如下答案：记{m，n}为投掷两枚骰子向上的点数分别为m，n，则投掷两枚骰子的所有可能结果为{1,1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,3}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,4}，{4,5}，{4,6}，{5,5}，{5,6}，{6,6}，共计21种．(1)你认为王斌同学的解答正确吗？简述理由．(2)如果王斌同学的解法不正确，请在下面给出正确的解答．解：(1)王斌同学的解答不正确．因为所列的可能结果不都是等可能事件，如{1,1}表示掷两枚骰子得到的点数都是1，只有一种情况；而{1,2}表示掷两枚骰子得到的点数一个是1，一个是2，有两种情况．二、应用性——强调学以致用2．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示的三个汉字可以看成轴对称图形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”