概率论与数理统计课件-3.2 离散型随机变量

设离散型随机变量X

的所有可能取值为且对于离散型随机变量来说,若知道其所有可能的取值及其每一个可能取值的概率,就可知道其统计规律.通常称为离散型随机变量的分布律或分布列。X的分布律用表格形式表示P2、离散型随机变量的分布律由概率的定义可知,离散型随机变量的分布律满足如下性质：※（1）非负性：（2）归一性：例如，随机变量X的分布律为求参数a。注：若一数列满足性质1,2，则必为某离散型随机变量分布律。性质1,2是鉴别一数列是否为某离散型随机变量分布律的充分必要条件。计算离散型随机变量的分布律步骤:(1)明确随机变量的含义；(2)确定随机变量的所有可能取值;(3)计算随机变量取每个值的概率值，求出R.V.的分布律。Exe.1：将一枚硬币连续抛掷3次,求正面出现次数Y的分布律。例1：袋中有2个黑球6个红球,从中任取2个,求取到红球的个数X的分布律.Exe.2：某篮球运动员投中篮圈的概率为0.9，求他2次独立重复投篮投中次数W的分布律。已知离散型随机变量的分布律,求出随机事件的概率.练习：设随机变量X的分布律为求P例2：某人的手枪里有5发子弹，他向一个目标独立地射击，直到首次击中才停止射击。已知每发子弹命中目标的概率为0.6，求消耗子弹数X的分布律。

一般地，对于离散型随机变量X

，若其分布律为

,k=1,2,…,x1<x2<…,则

X的分布函数为二、离散型随机变量的分布函数随机点实数点注：分布函数F(x)在x处的函数的值表示X落在区间的累积概率。例3：已知X的分布律，求X的分布函数。P1、已知分布律，求分布函数※分布函数的图形如下：在间断点处的跳跃值等于X取这个值的概率。例如。。。它的图形是一条右连续的阶梯型曲线,

在每一个可能取值点

x=xk(k=1,2,…)处发生跳跃,且跳跃高度为pk.。练习:一袋中有6个球,其中2个标号为1，3个标号为2,1个标号为3,任取1个球,以X表示取出的球的标号，求X的分布函数。例4:若已知某个离散型随机变量的分布函数F(x)，求X的分布律。2、已知分布函数，求分布律思考题解：设p为每组信号灯允许汽车通过的概率，则有（1）理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握离散型随机变量分布律的性质；（2）会利用离散型随机变量的分布律计算有关随机事件的概率问题。②若有一组数，满足它是不是某个离散型随机变量的分布律？课后讨论题：①离散型随机变量的分布律步骤？（如信号灯问题）本节知识点小结3.2-2离散型随机变量

常见分布三、离散型随机变量的几种常见分布1、两点分布若X只能取0,1两个值,且分布律为则称X服从两点分布,或(0-1)分布主要：两点分布、二项分布、泊松分布、超几何分布X的分布律为实例：抛硬币试验,观察正反两面情况.

则随机变量X服从两点分布.其分布律为练习：100个产品中有5个次品，从中抽1件进行检查，试求：抽到的合格品数X的分布律。1、两点分布注：两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男是女、面试成功与否、明天是否下雨、种籽是否发芽等都服从两点分布.※在伯努利试验中，事件A发生记作X=1，事件A不发生记作X=0，事件A发生次数X服从两点分布.1、两点分布设X表示n重伯努利试验中事件A发生的总次数.X的分布律为2、二项分布X所有可能取值为0,1,2,…,n称X服从参数为n,p的二项分布.记作例1：在相同条件下独立地进行5次投篮试验,每次投中篮筐的概率为0.6,求5次投篮试验投中次数X的分布律.练习：某人进行射击训练，假设每次射击的命中率为0.75，求此人独立射击400次命中次数X的分布律。2、二项分布分析：这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例22、二项分布X的分布律图2、二项分布3、泊松分布

(Poisson)例4:设随机变量X服从参数为的泊松分布,且,求参数，练习1：设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，求参数例3：某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布，求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率。3、泊松分布练习2：设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有1辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有2辆车通过的概率。Poisson分布在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题有较多应用.很多“排队”问题例如某段时间内的电话用户呼叫数、车站的候车人数、某种事故（如地震、火山爆发、特大洪水等）的发生数都可以近似地看作服从泊松分布.3、泊松分布几个分布之间的关系1.二项分布与两点分布：两点分布是二项分布n=1时的特殊情形;反之如果随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,且都服从两点分布,则X1+X2+…+Xn服从二项分布。2.二项分布与泊松分布：如果X服从二项分布B(n,p),且n充分大(n>100),p充分小(p<0.1),而np适中,则二项分布可以近似地服从泊松分布例如，有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过出事故的次数X的分布律以及出事故的次数X不小于2的概率？解：1000辆车出事故的次数为X若X的分布律为则称X服从超几何分布，记作X~h(n,N,M)例如,有一批产品共N件，其中M件次品，N-M件正品，先从这批产品中随机地抽取n件不同产品，则这n件中次品的件数为X，它的可能取值为0,1,…,n,则X服从超几何分布。4、超几何分布例如，袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以Y表示3个球中的最大号码,则Y服从超几何分布。知识点与基本要求：（1）理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握离散型随机变量的分布律的性质；（2）理解四种常见分布的实际意义，掌握四种分布(两点分布、二项分布、泊松分布、超几何分布)及其应用；（3）理解泊松定理的结论和应用条件，了解应用泊松分布近似表示二项分布；教学重点：离散型随机变量的分布律性质，四种常见分布的分布律及其应用；教学难点：四种常见分布的分布律及其应用。本节小结：1.某设备由3个独立工作的原件构成，该设备在一次试验中每个原件发生故障的概率均为0.1，试求该设备在一次试验中发生故障的原件个数X的分布律，至多有2个原件发生故障的概率。

2.某学生参加一项测验，其中有20道是非题，纯粹是随机地选择“是”与“非”，试求该生至少作对14道题目的概率。3.一个工人同时看管n部机床，设每部机床在每一分钟内需要修理的概率为p,0<p<1,试求：(1)n部机床在同一分钟里有k部需要修理的概率。(2)若此工人不能及时修理机床的概率不到1%，他最多能看管几台机床？练习：设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数