《循环小数》教学方案-基于数学建模与差异化探究的设计

《循环小数》教学方案——基于数学建模与差异化探究的设计一、教学内容分析  本课隶属于人教版小学数学五年级上册第三单元《小数除法》，是学生在掌握了小数除以整数、一个数除以小数及用“四舍五入”法求商的近似数之后，对数系认识的又一次关键性扩展。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课内容直接对应“数与代数”领域中对小数除法的深化理解，其认知坐标在于引导学生从“有限”迈向“无限”，初步接触“循环”这一重要的数学现象。在知识技能图谱上，它既是小数除法计算中特殊情况的总结，又是未来学习分数与小数的互化、无限不循环小数（如圆周率）乃至中学阶段研究有理数与无理数的认知基石，起着承上启下的枢纽作用。课标强调的“模型意识”与“推理意识”在本课得以生动体现：学生通过连续的计算实践，从“永远除不尽”的现象中抽象出“循环小数”的数学模型，并学习用规范化的数学符号（循环节、循环点）予以表达，这本身就是一次微型的“数学建模”过程。其素养价值远超越计算本身，它引导学生正视计算中的“异常”，学会用发展的、精确的数学眼光去描述和定义一种新的数，从而培养敢于探究、严谨求实的理性精神，感悟数学的简洁与统一之美。  基于“以学定教”原则，本课的学情研判需立体展开。学生的已有基础是熟练的除法笔算技能和“四舍五入”的近似意识，生活经验中对“循环”（如日夜交替、四季轮回）有模糊感知，这为理解“循环”概念提供了感性支点。然而，潜在的认知障碍显著：一是思维定势，学生习惯于得出一个“确定的”商，面对“除不尽”的竖式易产生困惑与挫败感；二是抽象困难，从具体的、无限延续的竖式余数规律中，抽象出“循环小数”这一概念并理解其“无限性”本质，存在认知跨度；三是符号化障碍，掌握循环小数的两种记法，特别是循环点的正确标注，易出现遗漏或范围错误。因此，教学中的过程性评估至关重要，我将通过观察学生计算时的表情与自语、小组讨论中的观点交锋、随堂练习的典型错误，动态把握理解进程。针对不同层次学生，教学调适策略包括：为计算能力较弱的学生提供已部分完成的竖式脚手架，引导其聚焦观察余数规律；为思维敏捷的学生设置“为什么一定会循环？”的探究性追问，并鼓励其尝试解释循环产生的算理本质，实现差异化的思维攀升。二、教学目标  知识目标：学生通过一系列除法计算与观察比较，能准确识别循环小数的特征，理解循环小数是无限小数的一种，并能用自己的语言解释循环小数产生的原因（余数重复出现）。他们能掌握循环小数的两种表示方法，特别是用循环节和简便记法正确、规范地书写循环小数，同时能辨析有限小数、无限循环小数与后续将学的无限不循环小数之间的区别与联系，建构起关于小数更为完善的知识结构。  能力目标：重点发展学生的数学建模能力与逻辑推理能力。在“计算观察发现归纳”的探究过程中，学生能够从特殊的、个别的除法算式中，通过不完全归纳，抽象概括出循环小数的普遍定义与核心特征，完成从具体现象到数学概念的模型建构。同时，能基于除法计算中余数必须小于除数的规则，进行简单的推理论证，理解循环现象产生的必然性。  情感态度与价值观目标：在探索“除不尽”这一数学现象的过程中，激发学生面对认知冲突时的好奇心和探究欲，培养其不回避问题、深入思考的坚韧学习品质。通过欣赏循环小数中数字排列的规律之美，以及数学符号（循环点）创造的简洁之美，提升数学审美情趣，体会数学的精确与概括力量。  科学（学科）思维目标：本节课重点锤炼学生的归纳思维与模型化思维。设计“发现规律定义概念符号表示”的完整问题链，引导其经历从大量实例中寻找共性（归纳），再将共性提炼为本质属性并赋予名称和符号（模型化）的完整科学思维过程。同时，初步渗透极限思想，理解“无限”但“循环”的数学含义。  评价与元认知目标：引导学生学会依据“是否无限”、“是否循环”这两个核心标准对小数进行分类，并能对同伴的循环小数简写进行判断与修正。在课堂小结环节，通过结构化反思，回顾自己是如何从“除不尽”的困惑走向“认识循环小数”的清晰，提炼“观察猜想验证概括”的学习策略，提升学习的目的性与方法论意识。三、教学重点与难点  教学重点：循环小数概念的理解与正确表示。此重点的确立基于双重考量：从课标与学科本质看，“循环小数”是本课需要建构的核心大概念，是学生数感与符号意识发展的关键节点，对其理解深度直接影响后续数系扩展的学习。从学业评价导向看，循环小数的辨识、读写是各类评测中的基础高频考点，且常作为背景知识应用于解决实际情境问题，是体现学生是否真正掌握小数除法内涵的能力标尺。  教学难点：理解循环小数产生的本质原因，以及循环小数简便记法中循环节与循环点的精准确定。难点成因在于：第一，从“余数重复出现”推导出“商的小数部分数字依次不断重复出现”，这一逻辑链条对于部分学生而言具有隐蔽性，需突破仅关注商的表面观察，深入算理层面。第二，简便记法虽简洁，但学生极易混淆循环节的长度（如误将7.14545…记作7.145），或遗漏表示循环起止的点，这源于对“依次不断重复”这一动态过程进行静态符号化表征时，理解不够透彻。突破方向在于，利用竖式动态演示，将余数与商的对应关系可视化，并设计针对性辨析练习，在纠错中强化认知。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件，内含情境动画、动态竖式计算演示、分类对比图；实物投影仪。1.2学习材料：设计分层《课堂探究任务单》（含基础计算区、观察发现区、概念生成区、练习巩固区）；准备写有不同小数卡片的“小数回家”分类板贴。2.学生准备2.1知识准备：复习巩固小数除法的计算法则；完成前置性任务：寻找生活中的“循环”现象。2.2学具准备：常规文具。3.环境准备3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于讨论与互评。3.2板书记划：预留主板书区域，规划为“现象区”、“概念区”、“表示区”、“分类区”。五、教学过程第一、导入环节1.情境激疑，引发冲突1.1播放简短趣味动画：老和尚给小和尚讲故事——“从前有座山，山里有座庙…”故事内容循环往复，永无尽头。“同学们，这个故事有什么特点？”（预设回答：一直在重复，讲不完）。1.2承接生活，转向数学：“生活中有些现象会‘循环’。在我们的数学计算里，会不会也藏着这样的‘循环’秘密呢？请大家当一回‘计算侦探’，算一算这几道题。”课件出示：400÷75，28÷18，78.6÷11。1.3提出核心驱动问题：“请大家在任务单上认真计算。老师有个预感，这些算式的商可能会有点‘特别’。你们的计算结果会告诉我们什么秘密呢？这节课，我们就一起来揭开这个谜底。”第二、新授环节任务一：计算初探，感知“异常”1.教师活动：巡视全班，重点关注学生的计算过程。邀请第一位完成400÷75计算的学生上台板书竖式。教师指向其竖式，引导全体观察：“大家看，他算完了吗？商5.333…这个‘…’表示什么？他的竖式余数有什么变化？”（引导学生关注余数“25”重复出现）。接着，让其他学生汇报28÷18、78.6÷11的竖式计算过程和结果，教师同步课件动态演示竖式，用不同颜色标出依次出现的余数。2.学生活动：独立完成三道题的计算。观察自己和他人的竖式，聚焦余数的变化。发现并汇报：400÷75余数25不断重复，商的小数部分“3”不断重复；28÷18余数10、10交替出现？不，请再仔细看，是10、100、10、100…实际上商是1.555…；78.6÷11的余数出现循环，商是7.14545…。产生认知冲突：这些题都“除不尽”，而且余数和商的部分数字好像有规律地在重复。3.即时评价标准：1.计算过程是否规范，书写是否清晰。2.能否从“除不尽”的现象中，将注意力从“商”转移到观察“余数”的变化规律上。3.小组交流时，能否清晰描述自己发现的重复现象。4.形成知识、思维、方法清单：★计算发现：在进行小数除法时，有些情况是除不尽的。★关键观察点：当余数依次不断地重复出现时，商的小数部分相应的数字也会依次不断地重复出现。▲方法引导：遇到“除不尽”时，不要急于下结论或取近似值，应继续除下去，观察余数的规律。（教学提示：此环节重在制造“愤悱”状态，不必急于给出概念，让“循环”现象充分暴露。）任务二：深入辨析，理解“循环”本质5.教师活动：聚焦78.6÷11的竖式，提问：“为什么余数会5、6、5、6…地重复出现？想一想，在除法计算中，余数有没有可能无限地变大？”学生思考后，引导回忆：“余数必须比除数小。这里的除数是11，那么余数最大可能是几？”（10）。接着追问：“在除的过程中，余数的可能性有多少种？”（010，共11种）。继续推理：“既然可能性是有限的，我们一直除下去，总有一次，余数会怎么样？”引导学生得出结论：余数一定会重复出现。然后课件高亮显示“余数重复出现”与“商的小数部分数字重复出现”的对应关系。6.学生活动：跟随教师的提问进行思考与推理。理解因为余数的大小是有限的（小于除数），在无限次的除法步骤中，余数必然会出现重复，从而导致商的小数部分出现循环。尝试用自己的话解释循环产生的原因。7.即时评价标准：1.能否将“余数必须小于除数”这一旧知，与“余数重复出现”这一新现象建立逻辑关联。2.推理表达是否清晰、有逻辑。3.能否从个例理解上升到对循环必然性的一般化思考。8.形成知识、思维、方法清单：★核心原理：循环小数产生的原因是“余数的重复出现”。因为余数总是小于除数，所以在无限除下去的过程中，余数的种类是有限的，必然会出现重复。★思维升华：从有限（余数可能性有限）推导出无限过程中的规律（循环），是数学中一种重要的推理方式。▲概念前奏：像这样的小数，就是我们今天要认识的主角。这个“不断重复”的队伍，就是我们今天要认识的新朋友。任务三：归纳定义，建构概念9.教师活动：指着黑板上三个商：5.333…、1.555…、7.14545…，提问：“有没有同学发现这些商有什么共同特点？”引导学生说出“小数部分有数字在依次不断重复”。教师肯定并板书关键词。然后给出规范定义：“一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。”请学生齐读，并圈出定义中的关键词“某一位起”、“依次不断”、“重复出现”。随后，指着7.14545…问：“这个循环小数，是从第几位开始循环的？重复出现的‘队伍’是哪个？”引出“循环节”的概念。10.学生活动：观察、比较、归纳三个商的共同特征。尝试用自己的语言描述特征，再与数学规范定义进行对照，理解关键词的含义。找出7.14545…的循环起始位（第二位）和循环节（“45”）。11.即时评价标准：1.归纳是否准确，能否抓住“依次不断重复”这一本质特征。2.能否理解定义中“某一位起”的含义，并非所有小数部分从一开始就循环。3.能否准确找出给定循环小数的循环节。12.形成知识、思维、方法清单：★核心概念（循环小数）：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。★核心概念（循环节）：循环小数中依次不断重复出现的数字。例如，5.333…的循环节是“3”，7.14545…的循环节是“45”。★学习策略：理解数学定义时，要学会抓住关键词，并用自己的例子来解释它们。任务四：符号化表达，掌握简写13.教师活动：“同学们，每次写循环小数都要加‘…’太麻烦了。数学家们也这么觉得，所以他们发明了一种简便记法。”以5.333…和7.14545…为例进行示范：只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上各点一个实心圆点。强调：如果循环节只有一个数字，就只在这个数字上点一个点。板书示范：5.333…=5.3，7.14545…=7.145。设置辨析环节：出示错误写法如7.145，提问：“这样写对吗？错在哪里？”引导学生明确循环节是“45”，而非“145”。14.学生活动：观察教师示范，学习简便记法的规则。在任务单上尝试将之前遇到的循环小数用简便记法表示。参与辨析讨论，明确简写必须精准对应循环节。15.即时评价标准：1.简写格式是否规范，圆点位置是否准确。2.能否判断他人简写是否正确，并说明理由。3.能否解释清楚循环节与简便记法圆点位置的对应关系。16.形成知识、思维、方法清单：★规范表示（简便记法）：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。★易错点警示：必须准确判断循环节，不能多写或少写数字。例如，7.14545…的循环节是“45”，不能写成7.145。▲数学文化：数学符号是为了表达的简洁与精确。用这个符号把循环小队“保护”起来，既简单又明了。任务五：比较分类，完善认知17.教师活动：引导学生回顾以前学过的小数，如0.9375、1.5等，提问：“这些小数和循环小数有什么不同？”（它们的小数部分的位数是有限的）。引出“有限小数”概念。进而提问：“循环小数的小数部分位数是有限的吗？”（不是，是无限的）。所以，循环小数属于“无限小数”。利用板贴，开展“小数回家”活动：出示一组小数卡片（包括有限小数、循环小数），请学生判断并贴在板书相应的“有限小数”或“无限小数（循环小数）”区域。18.学生活动：对比有限小数与循环小数的区别，从“小数部分位数是否有限”的角度进行分类。理解循环小数是无限小数中的一类。参与分类游戏，巩固辨识能力。19.即时评价标准：1.能否清晰说出有限小数与无限小数（循环小数）的根本区别。2.分类操作是否快速准确。3.是否初步形成“小数→有限小数/无限小数→（无限小数又分为循环小数和不循环小数）”的认知结构图式。20.形成知识、思维、方法清单：★概念辨析（有限小数）：小数部分的位数是有限的小数。★概念辨析（无限小数）：小数部分的位数是无限的小数。循环小数是无限小数的一种。★知识结构：小数家族可以分为有限小数和无限小数两大部分，我们今天学习的循环小数就是无限小数家族中的重要成员。▲视野拓展：无限小数里还有不循环的成员，比如我们以后会认识的圆周率π，它是一个无限不循环小数。第三、当堂巩固训练  本环节设计分层、变式练习，旨在诊断学习效果，提供差异化巩固路径。1.基础层（全员通关）：完成《任务单》上的“辨识与书写”题。①判断哪些是循环小数（如：2.888、4.3737…、0.…）。②将循环小数用简便记法表示（如：0.…）。【反馈机制】同桌互换批改，教师投影典型答案，重点讲评循环节判断错误和简写格式不规范的案例。口语化点评：“看来‘循环节’这个小队长，大家要找得又准又快才行！”2.综合层（情境应用）：出示情境题：“一辆赛车在环形跑道上行驶，通过计时点的时间间隔依次是1.5分钟、1.5分钟、1.5分钟…哪个时间数据可能是循环小数？它表示的实际意义是什么？”此题需学生辨析有限小数与循环小数在现实语境中的不同含义。【反馈机制】小组讨论后汇报，教师引导理解1.5分钟代表时间间隔是无限精确且循环的，而1.5分钟是一个精确值。评价标准关注能否将数学概念与情境合理关联。3.挑战层（思维拓展）：探究题：“计算1÷7，2÷7，3÷7…观察它们的商，你发现了什么关于循环节的规律？”此题为学有余力者设计，引导其感受循环节长度与除数的关系，激发探究兴趣。【反馈机制】课后分享或于班级“数学角”展示，教师给予个性化反馈与鼓励。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。知识整合：“请同学们闭上眼睛，回想一下，这节课我们从小数除法的‘异常’出发，走过了一座怎样的知识桥梁？”鼓励学生用思维导图关键词（现象→原因→定义→表示→分类）复述学习路径。方法提炼：“我们用了什么‘法宝’认识了新朋友‘循环小数’？”（计算、观察、比较、归纳、推理）。作业布置：公布分层作业（详见第六部分）。并设下伏笔：“今天我们认识了无限小数中的循环小数，那无限小数里还有没有其他性格的成员呢？大家可以提前了解一下神秘的π。”最后，以亲切的结束语收束：“数学的世界里，有时‘除不尽’不是终点，而是发现新规律、认识新朋友的起点。希望大家永远保持这份探究的热情。”六、作业设计基础性作业（必做）4.完成教材练习九第1、2题。巩固循环小数的辨识与简便记法。5.写出两个循环小数，并标出它们的循环节，再用简便记法表示出来。拓展性作业（建议大多数学生完成）6.生活发现家：寻找生活中存在“循环”现象的例子，并尝试用数学的方式（文字或图画）描述其“循环节”。7.计算探秘者：任选一个除数（如3,6,9,12等），用分子是1的分数（如1/3,1/6…）化成小数，观察是否是循环小数，记录你的发现。探究性/创造性作业（选做）8.数学小论文（雏形）：以“为什么1/3=0.3？”为题，撰写一段简短的解释，要求从除法竖式的计算过程出发，说明循环小数与分数之间的关系。9.创意设计：设计一个图案或一段节奏，体现“循环”的美感，并为你的作品命名，指出其“循环节”。七、本节知识清单及拓展★循环小数定义：一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现。理解关键在于“依次不断”和“重复出现”。（提示：注意是从“某一位起”，不一定从小数点后第一位开始。）★循环节：循环小数中，依次不断重复出现的那个或那几个数字。它是循环小数的“身份证”。（提示：找循环节时，务必确认是从哪一位开始进入“依次不断重复”状态的。）★循环小数的简便记法：只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上方各点一个实心圆点。这是数学简洁美的体现。（易错点：循环节只有一个数字时，只在这个数字上点一个点；循环节是多个数字时，要找准首位和末位。）★循环小数的产生原因：源于除法计算中“余数的重复出现”。因为余数必须小于除数，余数的可能性是有限的，在无限除下去的过程中，重复必然发生。这是理解循环本质的算理基础。★有限小数：小数部分的位数是有限的小数。例如0.75、3.0。其本质是能够被精确表示为分母为10的幂的分数。★无限小数：小数部分的位数是无限的小数。循环小数是无限小数的一种重要类型。（认知拓展：无限小数包括循环小数和无限不循环小数，后者如π。）▲纯循环小数与混循环小数：循环节从小数部分第一位就开始的，叫纯循环小数（如0.3）；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫混循环小数（如7.145）。此为进一步分类了解。▲循环小数与分数的关系：所有的循环小数都可以转化为分数形式。例如，0.3=1/3。这为后续学习分数与小数的互化埋下伏笔。▲计算中的处理：在解决问题时，如果需要用循环小数的数值，通常根据实际情况取它的近似值（用“四舍五入”法），或者保留其简便记法形式以体现精确性。（教学提示：清单可作为学生课后复习的“知识地图”，引导其自主梳理，建立联系。）八、教学反思  假设本课教学已实施完毕，基于预设与生成的对照，进行如下深度反思：（一）目标达成度分析。从后测练习反馈看，约85%的学生能准确识别循环小数并进行规范简写，表明知识技能目标基本达成。在解释“为什么会产生循环”的访谈中，约70%的学生能关联到“余数重复”，但表达的逻辑严密性有差异，能力目标的达成呈现梯度。课堂中学生对“规律之美”的惊叹和探究的专注，印证了情感目标的渗透是有效的。然而，元认知目标中的策略提炼环节，学生自发生成的反思较浅，多停留在“要认真计算”，需教师更强的引导框架。（二）核心环节有效性评估。“任务二”的推理环节是本节课的思维高峰，也是分化点。实际教学中，通过动态课件将余数与商对应闪烁，有效搭建了视觉脚手架，帮助中等及以下学生理解了必然性。但小组讨论时，仍有部分学生停留在“看商”而非“析余数”，提示我在设计讨论提示语时，应更直指核心：“别光看商怎么重复，想想是什么在背后‘指挥’商重复？”任务四的简写辨析至关重要，学生出现的典型错误（如将7.145误写为7.145）与预设完全吻合，通过即时投影纠错，强化了正确认知。（三）差异化应对的深度剖析。课堂中，计算能力强的学生很快完成计算并发现规律，我通过追问“你能解释为什么余数最多只有10种可