苏科版九年级数学上册《确定圆的条件》探究式教学设计

苏科版九年级数学上册《确定圆的条件》探究式教学设计一、教学内容分析  本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域中的“图形的性质”主题。从知识技能图谱看，它是继学生学习了“圆的基本概念”和“圆的基本性质”之后，对“圆”这一核心几何对象的进一步精确刻画，亦是为后续学习“三角形的外心”、“圆与圆的位置关系”乃至高中的“解析几何”奠定坚实的公理化思想和逻辑推理基础。其认知要求跨越“理解”与“应用”层级：学生需从圆的定义（动态生成观与静态集合观）出发，通过尺规作图等数学活动，探究并理解“确定一个圆”的本质在于确定其圆心和半径，从而归纳出“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这一核心定理，并能运用该定理解释和解决简单几何问题与生活实际问题。从过程方法路径看，本节课是渗透数学公理化思想、分类讨论思想以及反证法的绝佳载体。探究过程将引导学生经历“观察—猜想—操作验证—说理证明”的完整科学探究路径，将直观感知与逻辑论证紧密结合，有效发展几何直观与推理能力。从素养价值渗透看，“确定圆的条件”本身即是对“确定性思维”的一种数学建模。引导学生探究“几个点、何种位置关系才能唯一确定一个圆”，是对其数学抽象、逻辑推理和模型观念等核心素养的深度锤炼。同时，尺规作图的严谨性有助于培养学生一丝不苟、精益求精的科学态度与理性精神。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：九年级学生已具备圆的定义、基本性质及线段垂直平分线性质等知识储备，拥有初步的几何直观和合情推理能力，能进行简单的尺规作图。然而，将“确定圆”这一生活化表述转化为严谨的数学问题（即确定圆心和半径），并理解“确定”的唯一性，可能存在思维跨度。常见的认知障碍在于：误以为“两点即可确定一个圆”，或对“三点共线时为何不能作圆”仅停留在操作感知层面，缺乏严格的逻辑说明。因此，教学将通过“前测问题”（如：给定一点、两点、三点，你能画出多少个圆？）动态诊断学情起点。针对不同层次的学生，提供差异化支持：对于基础薄弱者，强化操作感知与直观演示；对于学有余力者，引导其深入探究证明方法（如反证法）及定理的变式与应用（如共圆四点的条件）。教学将设计阶梯式任务与弹性练习，确保所有学生都能在最近发展区内获得成长。二、教学目标阐述  知识目标：学生将能准确叙述“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这一定理，理解“确定”的数学含义是“圆心和半径唯一”。他们不仅能解释该定理与圆的定义之间的逻辑联系，还能辨析“确定”与“有”圆（如过两点有无数圆）的本质区别，并能在具体情境中判断给定点能否确定一个圆。  能力目标：学生能够熟练运用尺规作出过不在同一直线上三点的圆，掌握确定圆心（即三边垂直平分线交点）的关键操作技能。在探究过程中，能够从特殊到一般进行归纳推理，并对“三点共线不能作圆”的结论尝试进行简单的推理论证（如利用反证法或直角三角形的性质），发展严谨的逻辑表达能力。  情感态度与价值观目标：通过小组合作探究与交流，学生能在讨论中认真倾听同伴观点，尊重不同的解题思路，体验团队协作的价值。在尺规作图活动中，养成耐心、细致、规范的作图习惯，感受几何的精确之美，培育理性求实的科学态度。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的分类讨论思想与逆向思维。通过引导对“一点、两点、三点”等不同情况的分类探究，学生将学会系统化思考几何问题。同时，通过追问“要确定一个圆，至少需要几个什么条件的点？”，促进学生从结论反推条件的逆向思维训练，深化对几何确定性的理解。  评价与元认知目标：设计课堂小结环节，引导学生依据“知识逻辑是否清晰”、“探究过程是否完整”、“结论表述是否严谨”等维度，对个人与小组的学习成果进行评价与反思。鼓励学生回顾探究路径，思考“我是如何发现这个结论的？”、“遇到障碍时是如何解决的？”，初步形成对几何探究方法的元认知意识。三、教学重点与难点  教学重点是“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理理解及其初步应用。确立依据在于，该定理是圆的确定性这一核心“大概念”的具体体现，它沟通了圆的定义、性质与作图，是构建圆相关知识体系的枢纽。从中考考查视角看，该知识点常与三角形外心、尺规作图、点与圆的位置关系等结合，以作图题、简单证明题或填空题形式出现，虽直接分值不一定极高，但却是理解复杂几何问题的关键基础，体现了对几何基本原理和空间观念的核心考查。  教学难点在于对“确定”含义的深度理解，以及对“为什么三点共线时无法确定圆”的逻辑说明。难点成因主要有二：其一，学生对“确定”的理解容易停留在生活语义（“能找到”），难以升华到数学语义（“唯一存在”），这是一个从直观到抽象的认知跨越。其二，“三点共线无圆”的结论，学生通过尺规作图操作不难感知，但要求他们用已学知识（如“直径所对的圆周角是直角”的逆命题思考，或反证法）进行严格说理，需要克服思维定势，建立逆向推理链条，对逻辑思维能力要求较高。突破方向在于，利用几何画板等动态演示强化“唯一性”的视觉认知，并通过搭建问题脚手架（如：“假设共线三点能作圆，圆心会在哪里？这会导致什么矛盾？”）引导学生走向逻辑自洽的说明。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含几何画板动态演示模块：一点、两点、三点情况下圆的生成过程）、实物投影仪。  1.2学习材料：设计并印制《“确定圆的条件”探究学习任务单》（内含前测问题、探究记录表、分层巩固练习）、圆形纸片（供学生折叠探究圆心）。2.学生准备  2.1学具：圆规、直尺、铅笔、橡皮。  2.2知识预备：复习圆的定义、线段垂直平分线的性质和尺规作法。3.环境布置  教室桌椅调整为46人小组合作形式，便于讨论与操作；黑板划分为主板书区（定理、图示、推理要点）和副板书区（学生生成性观点与问题）。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：  同学们，我们先来看一个实际中的问题。考古学家发现一块破碎的圆形瓷盘残片，如何才能在工厂里复制出一个和原来一模一样的完整瓷盘呢？（稍作停顿）对，关键是找到原来圆盘的“圆心”和“半径”。这其实就引出了一个数学问题：究竟需要哪些条件，才能“确定”一个圆？今天，我们就化身数学侦探，一起来揭开“确定圆的条件”这个谜底。2.唤醒旧知与路径明晰：  回想一下，圆是怎么定义的？（动态：到定点距离等于定长的点的集合；静态：满足这个条件的图形。）所以，确定一个圆，本质上就是确定哪两个要素？（圆心和半径。）那我们该如何寻找确定这两个要素的条件呢？我们将从最简单的“一个点”开始，逐步增加点的数量，通过动手画图、观察思考，来发现其中的规律。准备好了吗？我们的探究之旅，现在开始！第二、新授环节本环节预计用时28分钟，围绕核心问题“几个点、何种位置关系可以确定一个圆？”，设计以下五个递进式探究任务。任务一：回顾定义，明确“确定”的含义教师活动：首先，通过提问“过一个点A，你能画出多少个圆？”引导学生思考。利用几何画板，在点A处动态生成无数个大小不一的圆，让学生直观感受。接着追问：“这说明‘一个点’能‘确定’一个圆吗？为什么？”引导学生用自己语言解释“确定”应意味着“唯一”。然后提出驱动性问题：“看来一个点不够，那么两个点呢？需要增加什么限制条件吗？三个点又会怎样？让我们一步步探究。”学生活动：观察教师的动态演示，快速回答过一个点可以画无数个圆。在教师追问下，尝试表述“确定”应指圆心和半径都唯一。对后续的探究充满期待，明确本课的核心探究路径。即时评价标准：1.学生能否迅速关联圆的定义解释“过一点有无数圆”的现象。2.学生口头表达中是否出现“圆心不固定”、“半径可以变”等关键表述，显示其对“确定”的初步思考。形成知识、思维、方法清单：★圆的确定性本质：确定一个圆↔确定其圆心和半径。▲探究的起点：从最简单情况（一点）入手，通过逐步增加条件（点数）来探索规律，这是数学中常用的研究方法。任务二：探究“过两点”作圆——发现圆心轨迹教师活动：发布任务：“请同学们在任务单上任意画两个点A、B。尝试用圆规作出经过这两个点的圆，看你能作出几个？并思考圆心在哪里。”巡视指导，关注学生作图规范性。收集典型作品（能画出多个圆的；声称只能画一个的）用实物投影展示。提问：“这些圆的圆心位置有什么共同规律？为什么圆心一定会在这里？”引导学生发现圆心在线段AB的垂直平分线上，并用圆的定义（OA=OB）进行解释。利用几何画板动态演示：圆心在AB垂直平分线上移动，半径随之变化，生成过A、B的所有圆。“所以说，过两个点能‘确定’一个圆吗？”学生活动：动手操作，尝试画出过A、B的圆。大部分学生能画出多个，并观察到这些圆的圆心似乎在一条直线上。在教师引导下，利用刻度尺或折叠法验证该直线是AB的垂直平分线。通过思考“为什么OA=OB”，理解圆心必在AB中垂线上的逻辑。最终得出结论：过两点可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上，因此两点不能确定一个圆。即时评价标准：1.作图是否规范、清晰。2.小组讨论时，能否通过观察合作发现圆心分布规律。3.解释原因时，能否自觉地回到“到定点距离相等”的圆的定义进行说理。形成知识、思维、方法清单：★过两点的圆：圆心在线段AB的垂直平分线上，有无数个。▲关键技能：连接两点作其垂直平分线，是寻找相关圆心的重要步骤。▲思维提升：从“画出图”到“发现规律（圆心轨迹）”，是直观感知到理性归纳的飞跃。任务三：探究“过三点”作圆（共线情况）——引发认知冲突教师活动：提出挑战：“看来两个点也不行，那么加上第三个点C吧。请先在任务单上画一条直线，在直线上取三个点A、B、C。再试试，能否作出一个同时经过这三点的圆？”给予充分操作时间。预计大部分学生无法成功。提问：“为什么这次画不出来了？谁能解释一下？”鼓励学生大胆猜想。借助几何画板，展示尝试寻找圆心（需同时满足在AB和BC的中垂线上）但最终两条中垂线平行、没有交点的过程。“看，两条‘可能的圆心轨迹’线平行了，没有交点，这意味着找不到一个同时满足到A、B、C距离相等的点。从圆的定义看，这说明了什么？”学生活动：在三点共线的条件下努力尝试用圆规作图，均告失败。产生强烈的认知冲突：“为什么两点可以，三点反而不行了？”观察几何画板演示，理解其原理：因为A、B、C共线，导致AB和BC的中垂线平行，没有交点，即不存在一个到三点距离相等的点（圆心）。初步感知三点共线时无法作圆。即时评价标准：1.学生是否真实经历了操作失败和困惑的过程。2.能否将作图失败的现象与圆心需满足的条件（在两条中垂线上）联系起来思考。形成知识、思维、方法清单：★三点共线：无法作圆。因为圆心需同时在线段AB和BC的垂直平分线上，而这两条线平行，无交点。▲逻辑桥梁：将“作不出圆”转化为“找不到圆心”，再将“找不到圆心”转化为“两条中垂线无交点”，这是将几何问题转化为代数（位置关系）问题的思维方法。任务四：探究“过三点”作圆（不共线情况）——发现定理教师活动：“看来点不能都在一条直线上。那么，如果第三个点C不在直线AB上呢？请大家在纸上画出不共线的三点A、B、C，再挑战一次！”巡视中，重点关注学生如何确定圆心。邀请一位成功的学生上台演示作法：分别作AB和BC的垂直平分线，交点为O，则以O为圆心，OA为半径画圆。追问全体：“为什么要作两条中垂线？交点O为什么就是圆心？”（因为O在AB的中垂线上，所以OA=OB；O又在BC的中垂线上，所以OB=OC；等量传递，OA=OB=OC，故O是圆心）。几何画板验证其唯一性。“那这样的圆心只有一个吗？为什么？”引导学生理解两条直线相交只有一个交点。至此，引导学生用准确语言归纳结论：“经过不在同一直线上的三个点，能且只能作一个圆。”“好，我们终于找到了‘确定圆’的条件！”学生活动：对不共线三点进行尺规作图。经历“作两条中垂线找交点”的过程，成功画出唯一的圆。聆听同伴演示和教师讲解，理解每一步作法的依据（垂直平分线性质、等量代换）。齐声或用自己的语言归纳定理，感受发现数学规律的成就感。即时评价标准：1.尺规作图步骤是否清晰、准确（特别是垂直平分线的作法）。2.能否清晰地口头或书面阐述作图原理，逻辑链条是否完整。3.归纳定理时，语言是否严谨，尤其是否强调“不在同一直线上”这一前提。形成知识、思维、方法清单：★核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。★圆心与半径：这个圆的圆心是这三条边所构成三角形的三边垂直平分线的交点（外心），半径等于交点到任意顶点的距离。★尺规作图步骤：1.连接三点成三角形；2.作任意两边的垂直平分线，得其交点O；3.以O为圆心，O到任一点的距离为半径作圆。任务五：定理辨析与初步巩固教师活动：进行概念辨析练习。提问：“下列说法对吗？1.过三点一定可以作圆。2.一个圆有且只有一个内接三角形。”让学生抢答并说明理由。接着，出示简单应用：“已知△ABC，用直尺圆规作出它的外接圆⊙O。”巡视指导，并选择典型作品投影。提问：“钝角三角形、直角三角形的外心位置有什么特点？我们下节课会深入研究。现在，大家是否已经完全掌握了‘确定圆的条件’？”学生活动：快速辨析命题正误，巩固对定理前提条件的认识。独立完成已知三角形的外接圆作图，进一步熟练技能。思考不同三角形外心的位置，产生新的好奇。即时评价标准：1.对辨析题的反应速度和理由陈述是否正确。2.作图是否熟练、规范，能否说明所作圆必经过第三个顶点。形成知识、思维、方法清单：▲易错点辨析：“三点确定一个圆”的前提是“三点不共线”。▲定理的应用：可用来作三角形的外接圆。▲延伸思考：三角形的外心（三边垂直平分线交点）因三角形形状不同，位置各异（锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部）。第三、当堂巩固训练  现在，我们来通过一组分层练习检验一下大家的掌握情况。请大家根据自己的情况，至少完成A、B两组。  A组（基础巩固）：1.判断题：经过任意三点一定可以作一个圆。()2.作图题：平面上有不在同一直线上的三点P、Q、R，请用尺规作图确定过这三点的圆的圆心（保留作图痕迹，不要求写作法）。  B组（综合应用）：3.实际问题：某社区计划修建一个圆形广场，要求广场边缘同时经过三个已建好的景观亭（位置已知且不共线）。如果你是设计师，如何向施工方确定这个圆形广场的圆心位置？请简述你的方案和数学依据。4.思考题：小明说：“我找到了一个圆的圆心，只要在这个圆上任意取两点，作连接它们的线段的垂直平分线，这条线一定经过圆心。”他说得对吗？为什么？  C组（挑战探究）：5.探究题：四个点能否确定一个圆？如果能，需要满足什么条件？请结合你刚刚学过的知识进行猜想，并和同学简单交流你的想法。  反馈机制：学生独立练习约57分钟。随后，教师公布A、B组答案，学生同桌互换批改A组题。B组第3题邀请一位学生讲述设计思路，教师点评其数学语言运用的准确性。第4题作为集体讨论，澄清“圆上任意两点”与“确定圆的两点”的区别。C组题鼓励学有余力的学生在课后继续研究，可作为课外兴趣小组的议题。通过这种即时、多层次的反馈，确保各层次学生都能得到有效指导与提升。第四、课堂小结  同学们，探索之旅即将告一段落，谁能来为我们今天的发现画一张“知识地图”？鼓励学生用思维导图或关键词串联的方式，回顾从“圆的定义”出发，经历一点、两点、三点（分共线与不共线）的探究，最终得到“不在同一直线上的三点确定一个圆”这一定理的完整过程。可以提问：“在这个过程中，你印象最深刻的数学思想方法是什么？”（分类讨论、从特殊到一般、数形结合等）。“在小组合作中，你从同伴身上学到了什么？”引导学生进行过程性反思。最后布置分层作业：必做作业（教材对应练习题，巩固定理与作图）；选做作业（1.探索“破镜重圆”问题中，如何利用残片弧形找出圆心和半径？2.搜集生活中利用“三点确定一圆”原理的实例，如GPS定位、考古复原等，并做简单记录）。下节课，我们将深入研究这个确定下来的圆的圆心——三角形的“外心”，它还有哪些奇妙的性质呢？敬请期待！六、作业设计基础性作业（必做）  1.熟记“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这一定理，并能够用图形和符号语言进行表述。  2.完成课本配套练习册中关于“确定圆的条件”的基础练习题，重点练习过不共线三点的尺规作图。  3.判断下列各组点能否确定一个圆（即能否作一个且只作一个圆），并说明理由：(1)直线上三个点；(2)等腰三角形的三个顶点。拓展性作业（建议完成）  4.（情境应用题）如图，一块圆形零件碎片，只剩下弧AB和弧BC部分。请你利用尺规作图的方法，帮助工人师傅找到这个零件原来圆心的位置，以便进行加工复原。写出主要步骤，并解释每一步的数学道理。  5.（推理小短文）试说明“三角形的三条垂直平分线交于一点”与“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这两个结论之间的联系。你认为哪个是证明另一个的基础？为什么？探究性/创造性作业（选做）  6.（微项目）主题：“寻找身边的‘三点定圆’”。请以小组为单位，利用课余时间，在校园、家庭或社区中，寻找至少一个应用“三点确定一个圆”原理的实际案例（如：机械设备上的定位孔、体育比赛的投掷圈设置、艺术设计中的构图等）。用照片、草图或文字记录下来，并尝试从数学角度进行分析，制作成一张简易的数学发现海报。七、本节知识清单及拓展  1.★圆的确定性问题本质：确定一个圆，本质是唯一确定其圆心位置和半径大小。  2.★一点的情况：平面内过一个点可以作无数个圆。这些圆的圆心构成一个以该点为圆心的“同心圆”的圆心集合？不对，圆心可以是平面内除该点外的任意点，实际上所有可能的圆心遍布整个平面（除了该点本身）。  3.★两点的情况：平面内过两个点可以作无数个圆。这些圆的圆心都在这两点所连线段的垂直平分线上。提示：作图的关键是连接两点并作其垂直平分线，圆心在这条线上任选。  4.★三点共线的情况：如果三点在同一条直线上，那么无法作出一个圆经过这三点。因为分别作其中任意两点的线段垂直平分线，这些中垂线互相平行，没有交点，即找不到到三点距离相等的点（圆心）。  5.★核心定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。这里的“确定”含义是“有且只有”一个圆经过这三点。  6.★定理的几何解释：设三点为A、B、C。圆心O必须同时满足OA=OB和OB=OC。因此，O既在线段AB的垂直平分线上，也在线段BC的垂直平分线上。由于A、B、C不共线，所以AB和BC的中垂线必定相交，且只有一个交点，该交点即为唯一圆心O。  7.★尺规作图法（过不共线三点作圆）：步骤：①连接三点中任意两点（如AB、BC）；②分别作线段AB和BC的垂直平分线，两条线交于点O；③以点O为圆心，以OA（或OB、OC）长为半径画圆。则⊙O即为所求。  8.★三角形的外接圆与外心：经过三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。注意：外心是三角形三边垂直平分线的交点。  9.▲外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等（都等于外接圆半径）。这个性质是垂直平分线性质的直接应用。  10.▲外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。这是一个重要的识别特征。  11.▲反证法思想的渗透：在说明“三点共线不能作圆”时，可以引导学生用反证法思考：假设能作圆，则圆心到三点距离相等，那么圆心必须在AB和BC的中垂线上，但由于三点共线，这两条中垂线平行，不可能有交点，产生矛盾。故假设不成立。  12.▲定理的逆思考：一个圆上任意三个不重合的点，都不在同一条直线上。这是定理的简单逆用。  13.▲四点共圆的条件（拓展）：并非任意四点都能共圆。一个常用条件是：这四点所构成的四边形对角互补（或一个外角等于其内对角）。这是后续圆内接四边形要学习的性质，本节课可作伏笔。  14.▲实际应用链接：该定理在工程定位（如确定大型圆形设备的中心）、考古复原（恢复圆形器皿）、计算机图形学（生成平滑曲线）等领域有广泛应用。其思想体现了用最少条件确定一个几何图形的“最优化”思维。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析。从课堂练习反馈与小结展示来看，“知识目标”与“能力目标”达成度较高。绝大多数学生能准确复述定理，并规范完成过不共线三点的尺规作图。B组第3题（社区广场设计）的解答情况显示，约七成学生能将实际问题成功抽象为数学问题，并清晰阐述利用“三点定圆”原理确定圆心的方法，表明“模型观念”与“应用意识”得到初步发展。然而，在“科学思维目标”的深度上显现差异：关于“三点共线为何无圆”的逻辑说明，部分学生仍停留在操作感知层面，未能自主运用反证法思想或严格演绎进行表述，这是后续教学中需要强化的思维训练点。  （二）核心教学环节有效性评估。导入环节的“破镜重圆”情境有效地激发了学生的探究兴趣，并自然锚定了“确定圆心和半径”这一核心问题。新授环节的五个任务，遵循了从简单到复杂、从具体操作到抽象概括的认知规律，脚手架搭建较为扎实。“任务二”中让学生先大量画图再寻找圆心轨迹，比直接告知更能促进其主动建构。几何画板的动态演示在“任务一”、“任务三”中发挥了关键作用，将“无数个”、“没有”等抽象结论可视化，有效突破了学生的想象局限。小组合作在探究过程中氛围积极，但个别小组存在“能者多劳”现象，后续需设计更具体的角色分工或记录要求，确保全员深度参与。  （三）差异化关照的实施与剖析。本节课通过“探究任务单”中的引导性问题、分层巩固练习和