2025-2026学年北京市房山区高三（上期）期末考试数学试卷（含答案）

第1页/共1页2026北京房山高三（上）期末数学本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（

）A. B.C. D.2.已知复数满足，则在复平面内对应点的坐标为（

）A. B. C. D.3.如果，那么下列不等式恒成立的为（

）A. B.C. D.4.直线与圆的位置关系是（

）A.相交 B.相切C.相交或相切 D.相离5.等差数列的首项为1．若成等比数列，则所成等比数列的公比为（

）A.1 B.2 C. D.6.已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（

）A. B. C. D.7.已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知抛物线，过焦点作与轴垂直的直线交抛物线于点，，设为抛物线上的一个动点，点，则的最小值为（

）A.2 B.3 C.4 D.59.奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（

）（参考数据：．结果保留整数）A.25分钟 B.30分钟 C.35分钟 D.40分钟10.下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为（

）A. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____．12.的展开式中，所有的二项式系数之和为_____；若的系数为－40，则实数______．13.若函数的最大值为，则常数的一个取值为_____．14.数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则前7层棋子数总和_____；第层的棋子数_____15.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，给出下列四个结论：①任意点，都有；②存在点，使得；③的最小值为；④三棱锥的体积是定值．其中正确结论的序号是_____三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成角的大小．17.在中，，．（1）求的值；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上中线的长．条件①：边上的高为；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000公里》的文章．目前市面上不同品牌新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低温区（）和寒冷区（）两种不同测试环境下的实际续航里程（单位：）进行了测试，结果如下表：汽车品牌123456789101112厂家标注续航里程816806800710665660606567515510410405低温区实际续航里程717681737569584486550566480489356303低温区续航达成率（%）87.984.592.180.187.873.690.899.893.295.986.874.8寒冷区实际续航里程319331385293301295234313236269189178寒冷区续航达成率（%）39.141.148.141.345.344.738.655.245.852.746.144.0续航达成率.（1）从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率；（2）从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为，求的分布列与数学期望；（3）若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温区的续航达成率为72.5%，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，试比较与的大小.（结论不要求证明）19.已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，直线的斜率与直线的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．20.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；（2）若在区间上恰有一个极值点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由．21.已知集合，数列：，：，其中，且当时，，，当时，．（1）若，求的值；（2）当时，若为奇数，分别判断与是奇数还是偶数，并说明理由；（3）若数列中有项为奇数，求的最大值．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案ADBCADABCD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】由双曲线的定义可知，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于.所以.故答案为：2.12.【答案】二项式系数之和为；二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的第四项为，又的系数为－40，所以，解得.故答案为：①；②.13.【答案】，，依题意，，即，化简得，解得.故答案为：（，即可）.14.【答案】依题意，可得，所以；所以.故答案为：①；②.15.【答案】因为棱柱为正方体，所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，因为正方体棱长为，所以，，，，，，，，因为为的中点，所以，设，，则，所以，，，所以，故①正确；，，所以，令，解得，又因为，所以存在点，使得，故②正确；，，，可得，所以，即令，令，所以，故③正确；因为为等边三角形，所以，设平面的法向量为，，，所以，令，则，，所以平面的法向量为，所以点到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积非定值，故④错误.故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）因为在四棱锥中，，所以，又底面为平行四边形，所以，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，平面，故,而，故，，平面，所以平面，以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，平面的一个法向量可取为；，设平面的法向量为，则，即得，令，则，即设平面与平面所成角为，由图可知该角为锐角，则，即平面与平面所成角的大小为.17.【答案】（1）由可得，，即，由正弦定理可得，，所以.又，所以.（2）已知，，，所以为锐角，且.条件①：边上的高为，则，即，所以.又，所以，所以，综上，，，，所以存在且唯一.在中，，，，所以.故边上中线的长为.条件②：由可得，，又，所以可以为钝角，也可以为锐角，不唯一.条件③：，则为钝角，此时存在且唯一..由可得，.在中，，，，所以,整理得，，解得或（舍去）.在中，，，，所以.故边上中线的长为.18.【答案】（1）由题，12款纯电轿车中在低温区续航达成率超过90%的有：，共5个，所以这款车在低温区续航达成率超过90%的概率为.（2）在寒冷区续航达成率超过45%的有：共6个，未超过的有6个，的可能取值为，服从超几何分布，则，所以，，，，所以的分布列为：0123数学期望.（3）12款纯电轿车在低温区的续航达成率的和：，所以原均值，加入的达成率为，因此这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值.19.【答案】（1）由短轴长为可得，.由椭圆过点可得，，解得，所以.所以椭圆的方程为.离心率为.（2）设直线的方程为，设，.因为，分别为椭圆的左、右顶点，所以，.联立，整理得，，所以，.，，所以.当直线斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程解得.不妨设，，则.综上，直线的斜率与直线的斜率的比值为定值，定值为.20.【答案】（1）由题意得，的定义域为，，因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，则；（2），当时，，若，则，则在上单调递增，则在上无极值，不符合题意；若，则，则在上单调递减，则在上无极值，不符合题意；若，即，则得；得；则在上单调递减，在上单调递增，则在区间上恰有一个极值点，故的取值范围为；（3）因为，所以，则，则因为关于的函数在上单调递减，则，因为，，所以，故，则函数在区间上单调递增.21.【答案】（1）已知是集合的一个排列，所以，由题意，，所以令可得，，因为，所以，所以.（2）设的前项和为，由递推式，可得