第13课 角平分线2

第一章三角形的证明及其应用第13课角平分线(2)

三角形中角平分线的性质1.

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离

相等．

例1

如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点P.

过点P作

PD⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为点D，M，N.

求证：

PD＝PM＝PN，且点P在∠A的平分线上．证明：∵BE平分∠ABC，PD⊥AB，PM⊥BC，∴PD＝PM.

同理，得PM＝PN.

∴PD＝PM＝PN.

又PD⊥AB，PN⊥AC，∴点P在∠A的平分线上．证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D.

∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝

PD.

同理，得PN＝PD.

∴PM＝PN.

又PM⊥AB，PN⊥AC，∴AP平分∠MAN.

2.

如图，BP，CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点

M，PN⊥AC于点N.

求证：AP平分∠MAN.

例2

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.

(2)求证：AB＝BC＋CD.

3.

如图，△ABC的三条角平分线交于点O，OD⊥BC，

OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F.

已知OD＝3，△ABC

的周长是14，求△ABC的面积．

1．

如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，

下列结论中正确的是（B）A．

∠1＞∠2B．

∠1＝∠2C．

∠1＜∠2D．

∠1＝2∠2B2．

如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝

40°，则∠BOC＝（A）A．

110°B．

115°C．

125°D．

130°A3．

如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．(1)如果要求油库到两条公路AB，AC的距离相等，那么如何选择

油库的位置？解：(1)如图所示，油库的位置在射线AD上．(2)如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？解：(2)如图所示，油库的位置应该在两条角平分线AD与BE的交点O上．

4．

如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，连

接AO并延长交BC于点D，OH⊥BC于点H.

若∠BAC＝60°，OH＝

5，则OA＝

⁠．105．

【北师八下P43随堂练习T1变式】如图，在△ABC中，∠B＝

60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点

F.

求证：FE＝FD.

证明：如图，过点F作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H.

∵∠BAC，∠BCA的平分线AD，CE交于点F，∴点F在∠ABC的平分线上．又FG⊥AB，FH⊥BC，∴∠FGE＝∠FHD＝90°，FG＝FH.

与角平分线有关的面积问题(1)如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD

＝AB∶AC.

图1

图2

图3(2)如图2，当点E在角平分线AD上的任何位置(不与点A重合)，都

有S△ABE∶S△ACE＝AB∶AC.

(3)如图3，在△ABC中，点O是其三条角平分线的交点，连接

OA，OB，OC，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝AB∶AC∶BC.

6．

如图，已知△ABC的周长是30，BO，CO分别平分∠ABC和

∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积为

⁠．457．

如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，

S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是

⁠．3☆

问题解决策略：反思【北师八下P46问题改编】综合与探究：探索等腰三角形中相等的

线段．【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底

边中点到两腰的距离相等吗？【问题初探】(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1.在

△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足

分别为点E，F.

经过合作，该小组的同学得出的结论是DE＝DF，并

且展示了他们的证法如下：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(依据1)．

(1)证明：如图，连接AD.

∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.

等边对等角AAS【类比探究】(2)奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个正确结论：①

在图3中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE＝DF

仍然成立．②在图4中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分

线，那么DE＝DF仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程．(3)未来小组的同学经过探究又有新的发现，在(1)的条件下，如果

在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图5，则CG与DE有确

定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为

⁠．CG＝2DE(2)解：选择①.证明如下：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC，即∠DAE＝∠DAF.

∴AE＝AF.

又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(SAS)．∴DE＝

DF.

(①②选其一即可)

勾股定理的证明【北师八下P27阅读欣赏改编】欧几里得在《几何原本》中证明勾

股定理的大致过程如下：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.分

别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG(如图2)，

连接EB，CH，过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N.

∵EA＝CA，∠EAB＝90°＋∠CAB＝∠CAH，AB＝AH.

∴△EAB≌△CAH(SAS)．又S正方形ACDE＝2S△EAB，S长方形AHNM＝2S△CAH，∴b2＝S长方形AHNM.

同理，得a2＝S长方形MNIB.

∴c2＝a2＋b2.请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、正

方形BCFG、正方形ACHI.

(1)连接BI，CE，求证：△ABI≌△AEC；证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AI＝AC，∠BAE＝∠CAI＝90°.∴∠BAI＝90°＋∠BAC＝∠EAC.

∴△ABI≌△AEC(S