初中数学专题3一次函数中的交点问题（教师版）

PageSeq更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher专题3一次函数中的交点问题知识对接考点一、一次函数y=kx+b(k≠0)中k,b的符号对函数性质的影响1.k的符号决定函数的增减性:当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.2.b的符号决定函数的图象与y轴交点的位置:当b>0时,交点在y轴的正半轴上;当b=0时,交点在原点;当b<0时,交点在y轴的负半轴上.专项训练一、单选题1．若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．【详解】解：∵方程的解为x=2∴当x=2时mx+n=0；∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0）∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0）∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0）故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．2．如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A． B．C．方程的解是 D．随的增大而减小【答案】C【分析】利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵图象过第一、二、三象限∴k＞0，b＞0，y随x的增大而而增大，故ABD错误；又∵图象与x轴交于（−2，0）∴kx＋b＝0的解为x＝−2，故C正确；故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息，掌握一次函数的性质．3．如图，经过点的直线与直线相交于点，则的解集为（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA． B． C． D．【答案】D【分析】由图象得到直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标（-1，-2），求出直线y=4x+2与x轴的交点坐标，观察直线y=kx+b落在直线y=4x+2的下方且直线y=4x+2落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求．【详解】解：∵经过点B（-2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（-1，-2），

∴直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（-1，-2），

∵当x＞-1时，kx+b＜4x+2，

当x＜-时，4x+2＜0，

∴不等式kx+b＜4x+2＜0的解集为-1＜x＜-．

故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．4．如图，若一次函数与反比例函数的图象交两点，过点B作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】根据题意可得，再由图象可得不等式的解集为或，根据，可得长为2，底边上的高为，然后由，可得，根据反比例函数的特征可得，可求出，即可求解．【详解】解：由题知，，即为由图象可知，不等式的解集为或∵∴长为2，底边上的高为∴三角形的面积为∴∵点的图象在反比例函数的图象上∴，即∵∴∴不等式的解集为或．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数与不等式解集的关系，求出，利用数更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher形结合的思想是解题的关键．5．一次函数与图象的交点位于第二象限，则的值可能是（）A．-4 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据题意将两个函数联立方程组，再根据交点在第二象限列不等式组，即可求出m的取值范围．【详解】解：∵一次函数y＝-2x+m和y＝x+2图象相交∴解得∵交点位于第二象限∴解不等式①得解不等式②得∴不等式的解集为∴m的值可能为1故选B．【点睛】本题考查了解不等式及两直线相交：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．6．如图所示，已知函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA． B． C． D．【答案】D【分析】由两个函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，从而可得方程组的解.【详解】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P的坐标为（-4，-2）∴关于x，y的二元一次方程组的解是．故选D．【点睛】本题考查的是利用函数的交点坐标确定方程组的解，明确交点坐标的含义与掌握数形结合的方法解题是关键.7．若直线与轴的交点位于轴正半轴上，则它与直线交点的横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线与轴的交点可得．分两种情况讨论，即可得．联立两条直线解析式即可得交点横坐标，由的范围即可确定出的范围．【详解】解：直线与轴的交点位于轴正半轴上．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher令，解得：即，得．①当时，解得，与题设矛盾；②当时，解得，所以．当直线与直线相交时，解得：即又．故选：．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质与不等式的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键．8．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（）A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9【答案】D【分析】先利用正比例函数解析式,确定A点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b（k≠0）的图像，在正比更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher例函数图像上方所对应的自变量的范围.【详解】解：把A（m，﹣3）代入y＝x得m＝﹣3，解得m＝﹣9所以当x＞﹣9时，kx+b＞x即kx﹣x＞﹣b的解集为x＞﹣9．故选D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.9．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（）A．＞-2 B．＜-2 C． D．【答案】D【详解】由函数和的图象关于轴对称可由的图象得到函数的图象如图所示由图可知：函数的图象位于轴之上的部分在点（2，0）的左侧∴不等式的解集为：.故选D.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】（1）函数和的图象关于轴对称；（2）函数和的图象关于轴对称；（3）不等式的解集是函数的图象位于轴之上的部分图象所对应的自变量的取值范围；不等式的解集是函数的图象位于轴之下的部分图象所对应的自变量的取值范围.10．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2【答案】C【分析】当y＞0时，即函数图象在x轴上方时对应的x的取值范围，结合图象可求得答案．【详解】解：由图象可知当x＝﹣2时，y＝0，且y随x的增大而增大∴当y＞0时，x＞﹣2故选C．【点睛】本题主要考查了利用一次函数与x轴的交点坐标求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.二、填空题11．如果一次函数yax4与ybx2的图象的交点在x轴上，那么经过点（1，1）的直线yxc的表达式为__．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】【分析】根据一次函数yax4与ybx2的图象的交点在x轴上可求出，然后把(1，1)代入求出c即可．【详解】解：当y=0时ax4=0，bx2=0∴x=，x=．∵yax4与ybx2的图象的交点在x轴上∴=∴∴yxc把(1，1)代入，得1c∴c=∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标，以及待定系数法求函数解析式，根据一次函数yax4与ybx2的图象的交点在x轴上可求出是解答本题的关键．12．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；④当x＜3时，y1＜y2中．则正确的序号有____．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】①③．【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当x＜3时，一次函数y1＝kx+b在直线y2＝x+a的上方，则可对④进行判断．【详解】解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、三象限∴k＜0，b＞0，所以①正确；∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴，下方∴a＜0，所以②错误；∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3∴x＝3时，kx+b＝x﹣a，整理得kx﹣x＝a﹣b，所以③正确；当x＜3时，y1＝kx+b图像在y2＝x+a图像的上方∴y1＞y2，所以④错误．故答案为①③．【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．13．如图，直线与交点的横坐标为．则关于的不等式的解集为______．【答案】【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher求出直线与轴的交点，利用图象法即可解决问题；【详解】解：直线与的交点的横坐标为关于的不等式的解集为时，不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题．14．一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．【答案】【分析】根据题意，先把向右平移1个单位，得到，则结合图象可确定时，图象所在位置，进而可得答案．【详解】解：根据题意∵一次函数的图象与x轴的交点为（2，0）把向右平移1个单位，得∴与x轴的交点为（3，0）∴关于的不等式的解集为；故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的平移，一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想进行分析．15．如图，点A是一次函数图象上的动点，作AC⊥x轴与C，交一次函数的图象于B．设更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher点A的横坐标为，当____________时，AB=1．【答案】或【分析】分别用m表示出点A和点B的纵坐标，用点A的纵坐标减去点B的纵坐标或用点B的纵坐标减去点A的纵坐标得到以m为未知数的方程，求解即可．【详解】解：∵点A是一次函数图象上的动点，且点A的横坐标为∴∵AC⊥x轴与C∴∴∵∴解得，或故答案为或【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A点横坐标和点的坐标特征求得A、B点纵坐标是解题的关键．三、解答题16．平面直角坐标系内，一次函数经过点和．（1）求，的值；（2）求该直线与轴的交点坐标．【答案】（1）；（2）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【分析】（1）分别将A、B两点代入一次函数得到关于m，n的式子，即可作答；（2）借助依次函数与一元一次方程的关系进行求解，即将y=0代入函数即可作答．【详解】解：（1）将和代入一次函数中，得解得故答案为：；（2）令，得解得该直线与轴的交点坐标为；故答案为：．【点睛】本题主要考考查了根据一次函数方程计算坐标中的未知量，以及一次函数与一元一次方程的关系，属于基础题．17．已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）反比例函数的解析式是__________，一次函数的解析式是__________；（2）的面积是__________；（3）关于的不等式的解集是__________．【答案】（1），；（2）3；（3）或．【分析】（1）根据题意先求出反比例函数解析式，可得到，根据、两点，即可求出一次函数的解析式；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（2）设直线交轴于点，可得，从而得到，即可求解；（3）根据图象可得，当或时，，即可求解．【详解】解：（1）∵，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点∴∴反比例函数解析式为；把代入，得：，解得：∴把，代入，得：，解得：∴一次函数的解析式为；（2）如图，设直线交轴于点当时，∴∴；（3）根据图象可知：当或时，∴不等式的解集是或．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题主要考查了求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．18．已知直线和交于点P(−2，1)，则关于x的方程的解为___________．【答案】x=-2【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题．【详解】解：∵直线y=x+b和y=ax-1交于点P(−2，1)∴当x=-2时，x+b=ax-1=1即关于x的方程x+b=ax-1的解为x=-2．故答案为：x=-2．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．19．如图，直线l1经过点A(0，4)和C(12，﹣4)，点B的坐标为(8，4)，点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P，并与l1交于点M．（1）求直线l1的函数解析式；（2）若点M坐标为(1，)，求；（3）直线l2与x轴的交点坐标为，点P的移动过程中，k的取值范围是．【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）；（3）(﹣2，0)，≤k≤2．【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；（2）根据M点的坐标求出直线l2的解析式，确定P点的坐标，即可求出△APM的面积；（3）根据直线l2的解析式，求出与x轴的交点即可，根据点P在AB上，分别与点A和点B重合时求出临界值即可确定k的取值范围．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】解：（1）∵直线l1经过点A（0，4）和C（12，﹣4）设直线l1的解析式为y＝sx+t代入A点、C点坐标，得解得∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵点M坐标为(1，)，且点M在直线l2：y＝kx+2k（k≠0）上∴k+2k＝∴k＝∴直线l2的解析式为y＝x+∵点A(0，4)，点B(8，4)∴AB//x当y=4时，x+=4∴x=∴P点的坐标为(，4)∴S△APM＝×(﹣0)×(4﹣)＝；（3）∵直线l2：y＝kx+2k（k≠0）∴当y＝0时，k＝﹣2∴直线l2与x轴的交点坐标为(﹣2，0)∵点P在线段AB上∴当点P与A点重合时，2k＝4解得k＝2当点P与B点重合时，8k+2k＝4解得k＝，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴k的取值范围是≤k≤2故答案为：(﹣2，0)，≤k≤2．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，以及一次函数的性质，熟练使用待定系数法求解析式及用临界值法求取值范围是解题的关键．20．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．（1）求直线AB的表达式；（2）若直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．【答案】（1）y＝x+5；（2）点C的坐标为（﹣3，2）；（3）x＞﹣3【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；（3）根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣kx+b经过点A（﹣5，0）、B（﹣1，4）∴解方程组得．∴直线AB的解析式为y＝x+5；（2）∵直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴解得．∴点C的坐标为（﹣3，2）；（3）由图可知，关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集是x＞﹣3．【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式求解、二元一次方程组的求解和一次函数与一元一次不等式的关系，准确计算是解题的关键．21．如图，直线与直线交于点M（﹣1，2），与轴分别交于点A，B，与轴分别交于C，D．（1）根据图像写出方程组的解是__________．（2）根据函数图像写出不等式的解集_________．（3）求直线AC，直线BD与轴围成的△ABM的面积．【答案】（1）；（2）；（3）5【分析】（1）二元一次方程组的解根据两条直线交点坐标即可求得；（2）将题干转化为，然后根据图像即可判断；（3）将点M（﹣1，2）代入求得m的值，然后根据题意求出点A，B的坐标．然后根据三角形面积公式即可求解．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）根据题意，两直线交点为点M（﹣1，2），所以方程组的解为；（2）由题意得，即为，根据图像可以判断出当时，故答案为；（3）对于，当时，，解得，故A点坐标为A（﹣3，0）将点M（﹣1，2）代入，得，解得∴∴对于，当时，，解得，故B点坐标为B（2，0）∴，△ABM的高为∴．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式，关键是掌握交点在本类题型中的重要意义，熟悉掌握一次函数的基本性质是解题的关键．22．如图，已知一次函数与的图象交于点（1）求的值；（2）若点是直线上的点且，求点的坐标；（3）直接