8.2立方根第1课时立方根的概念（导学案）（解析版）初中数学人教版（2024） 七年级下册

8.2立方根（第1课时，立方根的概念)（导学案）（1）理解立方根的定义，能准确表述立方根的概念；掌握立方根的性质，知道正数、0、负数的立方根的特点；会用符号表示一个数的立方根，能利用立方运算求一个数的立方根（包括整数、分数、小数的立方根）。（2）通过类比平方根的学习过程，经历“观察-猜想-验证-归纳”的探究过程，培养类比推理能力和抽象概括能力；在解决实际问题和例题练习中，提升运算能力和逻辑思维能力。（3）感受数学与生活的联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；在类比学习和探究过程中，培养合作意识和探究精神，增强学习自信心。重点是:立方根的概念和性质；立方根的符号表示和求法。难点是：理解立方根与平方根的区别与联系；求负数的立方根（突破“负数没有平方根”的思维定式）。第一环节自主学习温故知新：创设情景，引入新课问题1：现有一个正方体形状的礼品盒，体积为27cm³，想要给它包装封面，需要先知道它的棱长，你能求出这个正方体的棱长吗？问题2：如果正方体的体积为8cm³、1cm³、0cm³、-8cm³，它的棱长又分别是多少呢？引导思考：设正方体的棱长为xcm，根据正方体体积公式V=x³，上述问题可转化为：已知x³的值，求x的值，即“已知一个数的立方，求这个数”。【学法指导】自研课本P48-49页内容，（一）立方根的概念思考：如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？因为，所以这个数可以是2、除2以外，任何一个数的立方都不等于8，因此、如果一个数的立方等于8，那么这个数是2.抽象定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。符号表示：一个数的立方根记作“”，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略，与平方根的根指数2省略不同）。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．根据这种互逆关系、可以求一个数的立方根.（二）立方根的性质小组探究：计算下列各数的立方根，观察结果的特点，归纳立方根的性质。1.计算：，，.2.计算：，，.3.计算：.归纳性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0。（三）对比辨析思考讨论:填写表格，区分立方根与平方根的性质差异。项目平方根立方根正数的根有两个，互为相反数有一个，是正数负数的根没有平方根有一个，是负数0的根0的平方根是00的立方根是0根指数根指数2可省略根指数3不能省略【自研自探】自研课本P48-49页内容典型例题例1：求下列各数的立方根(1);(2)343;(3）－64;(4）.【分析】根据立方根的定义，找到一个数，使得等于被开方数，即可求出立方根。【详解】解：(1)的立方根是－2，即;(2)因为，所以343的立方根是7，即;(3)因为，所以-64的立方根是-4，即;（4）因为.所以的立方根是.总结方法：求一个数的立方根，关键是找到一个数，使其立方等于被开方数，可利用立方运算逆向求解；对于分数、小数的立方根，可转化为整数的立方根进行计算（如小数化分数、分数分子分母分别开立方）。例2：求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】先化简被开方数（若需要），再根据立方根的定义计算（先计算被开方数的减法，再求立方根）。【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）.第二环节合作探究讨论立方根的定义、符号表示、开立方与立方的互逆关系.讨论立方根的符号性质.讨论平方根与立方根的差异.拓展提升：1．若，求的值．【详解】解：∵，∴，∴或2，，当时，；当时，．课堂练习：课本课堂练习1、2、3.参考答案：1.1.(1)正确;(2)错误;(3)正确;(4)错误.2.(1)-1;(2)0.2;(3).3.6cm.1．（2025•眉山）﹣27的立方根是．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴3故答案为：﹣3．2．（2025•江西）化简：．【解答】解：根据开立方定义：x3＝a，则x叫a的立方根，记作，可得：，故答案为：2．3．（2025•柳州校考）已知的平方根是，的立方根是3．(1)求、的值；(2)求的算术平方根．【详解】（1）解：的平方根是，，，的立方根是3，，．（2）解：由（1）可知，，的算术平方根是9．知识总结：（1）立方根的定义：若，则叫做的立方根，记作；（2）立方根的性质：正数有一个正立方根，负数有一个负立方根，0的立方根是0；（3）立方根的求法：利用立方运算逆向求解，符号与被开方数一致。方法总结：(1)类比法：类比平方根的学习思路探究立方根的知识，是数学中重要的学习方法；(2)逆向思维法：求立方根时，逆向运用立方运算，找到满足条件的数；(3)对比法：通过对比立方根与平方根的性质，加深对两个概念的理解，避免混淆。易错提醒:(1)混淆立方根与平方根的符号：立方根的根指数3不能省略，平方根的根指数2可省略；(2)错误