专题19.5 二次根式（十九高频易错题题型训练 共38题）解析版 初中数学人教版（2024）八年级下册

专题19.5二次根式（高频易错题题型训练）【解析版】题型一求二次根式的值1．（23-24八年级下·宁夏吴忠·月考）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键．【详解】解：∵，，，，，，，∴第个数为，∴第10个数是，故选C．2．代数式的最小值为．【答案】2【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．【详解】解：根据题意可得，∴，∴的最小值为2，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．题型二求二次根式中的参数3．（2023·河南洛阳·二模）代数式的值为0时，的值为．【答案】3【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解题的关键．根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可．【详解】解：∵代数式的值为0，∴，解得：．∴的值为3．故答案为：3．4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．(1)【回顾旧知，类比求解】解方程：．解：去根号，两边同时平方得一元一次方程，解这个方程，得．经检验，是原方程的解．(2)【学会转化，解决问题】①运用上面的方法解方程：；②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)，3，3(2)①无解，②不能，理由见解析【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程．（1）根据题意可直接进行求解；（2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解；②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答．【详解】（1）解：去根号，两边同时平方得一元一次方程，解这个方程，得．经检验，是原方程的解．（2）解：①移项，得去根号，两边同时平方得，即解得：，检验：时，方程左边右边，∴不是原方程的解，原方程无解；②若代数式的值等于7，即，移项，得，两边同时平方，得，化简，得，两边同时平方，得，∴该方程无解，∴代数式的值不能等于7．题型三二次根式有意义的条件5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，是实数，且满足，则的值为．【答案】1【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据二次根式有意义条件，确定的值，进而求出的值，然后计算的值即可．【详解】解：由二次根式有意义条件，得解得，当时，．∴．故答案为：1．6．（1）已知x、y为实数，且，求的值；（2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：．【答案】（1）5；（2）【分析】此题考查二次根式的化简求值，实数与数轴，整式的加减运算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．（1）根据题意得出，确定，得出，然后代入求解即可；（2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，，得出，，再化简计算即可．【详解】解：（1）根据题意得：，∴，∴，∴，∴；（2）根据题意得：，，∴，，．题型四利用二次根式的性质化筍7．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键．先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果．【详解】解：由数轴可知，，且，因此，故，∵，∴原式．故选：A．8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值．小刚是这样解的：第一步第二步第三步…小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程．【答案】一；过程见解析【分析】先确定的符号，再利用二次根式的性质结合的关系得出它们的符号，进而化简求出答案．【详解】解：小刚同学未讨论的符号直接进行化简，∴第一步是错误的故答案为：一．正确过程如下：，，可得，，．把，代入，得，的值为3．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．题型五二次根式的乘法9．（25-26八年级下·全国·周测）计算：(1)．(2)（，）．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简；（2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算；（3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算；（4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简．【详解】（1）解： 原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：先化简各根式：，，原式．【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键．（1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．题型六二次根式的除法11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位）(1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？【答案】(1)(2)0.27m．【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可；（2）已知周期，通过公式变形求解摆长．【详解】（1）解：已知，，，代入公式：．（2）解：已知，对公式变形得：代入、、：．【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度．12．（24-25八年级下·全国·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式除法，二次根式乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．（）根据二次根式性质，二次根式除法法则化简，然后合并即可；（）通过二次根式性质，平方差公式，二次根式乘法法则进行运算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．题型七二次根式的乘除混合运算13．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（1）．（2）．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简．（1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可．【详解】解：（1）原式（2）原式故答案为：①，②．14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键．（1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．题型八最简二次根式的判断15．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式．【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式：①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意；②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意；③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意；④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意．综上，是最简二次根式的有②③，共个．故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式．16．（23-24八年级下·云南德宏·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义对各选项判断作答即可．【详解】解：由题意知，A中，不是最简二次根式，故不符合要求；B中，不是最简二次根式，故不符合要求；C中，是最简二次根式，故符合要求；D中，不是最简二次根式，故不符合要求；故选：C．题型九化为最简二次根式17．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，．仿照上面的方法解决下列问题：(1)化简：①；②；③．(2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．【答案】(1)①②③(2)【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简；（2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简．【详解】（1）解：①．②．③．（2）解：把中根号外的因式移到根号内：由有意义，得，即．将变形为，再平方移入根号内：原式．【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简．18．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．【详解】解：选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的条件．选项B：，被开方数含分母2，需化简为，不满足条件②．选项C：，0.2可写为，被开方数含分母5，需化简为，不满足条件②．选项D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不满足条件①．故选：A．题型十已知最简二次根式求参数19．如果最简根式和是同类二次根式，则【答案】2【分析】根据同类二次根式的定义：两个最简二次根式，被开方数相同，列式求解即可．【详解】解：由题意，得，解得：，故答案为：2．【点睛】本题考查同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．20．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．【详解】解：∵最简二次根式和能合并，∴，∴，解得，故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．题型十一同类二次根式21．当时，两个最简二次根式和可以合并．【答案】1【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算．根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案．【详解】解：∵最简二次根式和可以合并，∴被开方数相同．∴．解得．故答案为：1．22．（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查二次根式的混合运算（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可；掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解题的关键．【详解】（1）解：；（2）．题型十二二次根式的加减运算23．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式；（3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式；（4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式．【详解】（1）解：原式=．（2）解：原式=．（3）解：原式=．（4）解：原式=．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次根式．24．（25-26八年级下·全国·周测）计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（1）先化简，然后计算加减法即可；（2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．题型十三二次根式的混合运算25．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行化简，再进行估算即可．【详解】解：∵又∵∴∴∴数轴上最接近的是A．故选：A．26．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的混合运算，平方根、绝对值、负整数指数幂、零指数幂以及乘法公式等，解题关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．（1）先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，零次幂，再计算加减即可；（2）先根据平方差公式，二次根式的除法计算，再计算减法即可．【详解】（1）解：；（2）解：．题型十四分母有理化27．（25-26八年级下·全国·期中）计算：(1)；(2)；(3)。【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂、立方根运算及因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用因式分解简化计算．（1）先化简二次根式、分母有理化、计算负整数指数幂，再合并同类项；（2）先计算完全平方、化简根式、立方根，再进行除法运算，最后合并；（3）提取公因式简化高次幂项，再逐步计算．【详解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式28．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式．第1个等式：；第2个等式：；…请你根据上述方法完成下列题目：(1)计算：______________；(2)计算：______________；(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)2024【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化．（1）分母有理化即可；（2）分母有理化即可；（3）利用（2）中的规律将原式变形为，再进一步计算即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：故答案为：；（3）解：．题型十五已知字母的值，化简求值29．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)1【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键．（1）首先将，进行分母有理化，再计算即可；（2）首先对该分式进行化简，最后将，的值代入即可．【详解】（1）解：化简，，故．（2）解：原式将，代入上式得．故30．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：已知，求的值．他们是这样解答的：，，即，，．请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：(1)．(2)化简：．(3)若，①求的值，②求的值．【答案】(1)(2)(3)①1；②6【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并二次根式即可；（3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：原式；（3）解：①∵，∴，∴，∴；②∵，∴；题型十六已知条件式，化简求值31．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知，求的值．小明是这样分析与解答的：，，，，，．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)计算：________；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键.（1）根据分母有理化的方法可以解答本题；（2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题．【详解】（1）解：，故答案为：．（2）解：∵∴∴∴32．（23-24八年级下·山东·期末）计算∶(1)；(2)先化简，再求值∶，其中．【答案】(1)(2)，【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键：（1）根据混合运算的法则进行计算即可；（2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可．【详解】（1）解：原式；；（2）原式；当时，原式．题型十七比较二次根式的大小33．比较大小：．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键．先对和分子有理化，然后比较分母即可解答．【详解】解：，，∵，∴，∴．故答案为：．34．（24-25八年级下·云南临沧·月考）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）；（2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由；（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？【答案】（1），，；（2），见解析；（3）【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．（1）根据二次根式比较大小的方法求解即可；（2）当，时，，则可证明；（3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：．【详解】解：（1）由题意，，，∵，；∵，∴，，，．，，．故答案为：，，．（2）理由如下：当，时，，，，．（3）设花圃的长为米，宽为米，，，．根据（2）的结论可得：，篱笆至少需要米．故答案为：．题型十八二次根式的应用35．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？【答案】(1)(2)元【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．（1）利用长方形的周长公式即可求解；（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．【详解】（1）长方形的周长，答：长方形的周长是；（2）蔬菜地的面积，（元），答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么