第七讲环形跑道问题

同学们，今天我们继续探讨行程问题中的一个重要分支——环形跑道问题。相较于我们之前学习的直线行程问题，环形跑道因其封闭性，使得运动过程更具周期性和重复性，这也往往是解题的关键所在。掌握环形跑道问题，不仅能深化对速度、时间、路程三者关系的理解，更能培养我们分析周期性运动和寻找规律的能力。一、环形跑道问题的特殊性环形跑道与直线赛道最大的不同在于其“封闭性”。这意味着运动物体在经历一段时间的运动后，有可能回到出发点，从而形成循环。这种循环性使得相遇和追及问题在环形跑道上呈现出与直线跑道不同的特点：1.相遇问题的多样性：在环形跑道上，两个物体可以从同一点出发，也可以从不同点出发；可以同向运动，也可以反向运动，这些都会导致相遇情况的不同。2.追及问题的周期性：对于同向运动的物体，快的物体每追上慢的物体一次，就意味着它比慢的物体多跑了一圈（或特定的多圈数，取决于初始位置）。这种追及具有周期性。3.路程计算的巧妙性：由于跑道是环形的，物体运动的路程往往不能简单地用直线距离衡量，而是要考虑其在跑道上运动的圈数和剩余距离。二、核心类型与解题思路（一）相遇问题环形跑道上的相遇问题，我们主要关注两种典型情况：1.同地反向出发：*特点：两个物体从环形跑道上的同一地点同时出发，沿相反方向运动。*核心规律：每当两个物体共同跑完一圈（即路程之和为一圈的长度）时，它们就会相遇一次。*数量关系：*首次相遇所需时间=跑道周长÷（甲速度+乙速度）*在一定时间内的相遇次数，则需要根据总路程与跑道周长的关系来判断。*例题解析：*例1：一条环形跑道长400米，甲、乙两人从同一点同时出发，反向而行。甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米。问：两人经过多少分钟首次相遇？*思路点拨：甲、乙反向而行，他们的相对速度为两者速度之和。首次相遇时，两人合跑的路程正好是一圈400米。*解答：相对速度=120+80=200(米/分钟)首次相遇时间=400÷200=2(分钟)答：两人经过2分钟首次相遇。2.异地出发（可同向可反向，以反向为例）：*特点：两个物体从环形跑道上的不同地点同时出发，沿相反方向运动。*核心规律：首次相遇时，两人所跑路程之和等于初始相距的路程。之后的每次相遇，则与“同地反向出发”类似，每合跑一圈相遇一次。*数量关系：*首次相遇所需时间=初始相距路程÷（甲速度+乙速度）*首次相遇后，再相遇一次所需时间=跑道周长÷（甲速度+乙速度）（二）追及问题环形跑道上的追及问题，通常研究的是两个物体同向运动的情况：1.同地同向出发：*特点：两个物体从环形跑道上的同一地点同时出发，沿相同方向运动，且速度不同（通常为一快一慢）。*核心规律：快的物体每追上慢的物体一次，快的物体就比慢的物体多跑了一圈。*数量关系：*首次追及所需时间=跑道周长÷（快速度-慢速度）*在一定时间内的追及次数，需根据快者比慢者多跑的总路程与跑道周长的关系来判断。*例题解析：*例2：沿一个周长为300米的环形跑道，甲、乙两人同时同地同向出发。甲每分钟跑100米，乙每分钟跑60米。问：甲第一次追上乙需要多少分钟？*思路点拨：甲速度比乙快，甲要追上乙，就必须比乙多跑一圈（300米）。他们的速度差决定了甲每分钟能比乙多跑多少米。*解答：速度差=100-60=40(米/分钟)首次追及时间=300÷40=7.5(分钟)答：甲第一次追上乙需要7.5分钟。2.异地同向出发：*特点：两个物体从环形跑道上的不同地点同时出发，沿相同方向运动。*核心规律：首次追及时，快的物体比慢的物体多跑的路程等于两者初始的距离差（这个距离差是指沿运动方向的最短距离）。若快的在慢的后面，则距离差为初始间距；若快的在慢的前面，则可能需要多跑（跑道周长-初始间距）才能首次追上。之后每次追及，快的都需要比慢的再多跑一圈。三、解题要点与常见技巧1.明确运动方向和初始位置：这是解决所有环形跑道问题的前提。同向、反向，同地、异地，直接决定了后续的分析方向。2.善用“相对速度”：在相遇问题中，反向运动时，相对速度为速度之和；在追及问题中，同向运动时，相对速度为速度之差。3.抓住“圈数”关系：*反向相遇：每相遇一次，合跑一圈。*同向追及：每追上一次，多跑一圈。这是解决多次相遇和多次追及问题的核心。4.画图辅助理解：对于复杂的环形跑道问题，特别是涉及多次相遇或追及，或者有多个参与者时，画出简易的示意图能够帮助我们清晰地梳理运动过程和各量之间的关系。5.关注“周期性”：环形跑道问题天然带有周期属性，很多时候我们需要计算在一个周期内发生了什么，然后看总时间包含多少个周期，以及余下多少时间。6.方程思想的运用：对于一些较为复杂的问题，特别是当直接算术方法不易求解时，可以设未知数，根据路程、速度、时间的关系或上述“圈数”关系列方程求解。四、例题解析与拓展*例3：在一个400米的环形跑道上，A、B两点相距100米（如图所示，假设A在B的逆时针方向100米处）。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。问：甲追上乙需要多少秒？*思路点拨：这是一个异地同向追及问题。甲在A点，乙在B点，且A在B逆时针方向100米，即甲要追上乙，需要比乙多跑100米（因为是沿逆时针方向，这是他们初始的距离差）。*解答：速度差=5-4=1(米/秒)追及距离=100米追及时间=100÷1=100(秒)答：甲追上乙需要100秒。*思考：如果题目改为甲、乙都按顺时针方向跑步，甲在A点，乙在B点（A在B逆时针100米，则B在A顺时针100米，A在B顺时针方向300米），那么甲要追上乙需要多跑多少米呢？答案是300米。此时追及时间就是300÷(5-4)=300秒。可见，初始位置和运动方向共同决定了追及距离。*例4：甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上练习跑步。两人同时从同一地点出发，反向而行。甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒。问：两人出发后，经过多少秒第3次相遇？*思路点拨：反向而行，每次相遇合跑一圈。第3次相遇时，两人合跑的总路程是3圈。*解答：每次相遇合跑路程=400米第3次相遇合跑总路程=3×400=1200米速度和=3+2=5米/秒所需时间=1200÷5=240秒答：经过240秒第3次相遇。五、总结与提升环形跑道问题虽然有其特殊性，但万变不离其宗，核心依然是速度、时间和路程三者的关系。只要我们牢牢掌握了反向相遇时“速度和”与“合跑圈数”，同向追及时“速度差”与“多跑圈数”这两组关键联系，辅以画图分析和方程思想，就能从容应对各种环形跑道问题。在实际解题中，建议同学们：1.仔细审题，圈点关键信息（跑道长度、出发位置、运动方向、速度、所求问题等）。2.尝试画出简易跑道图，标出运动物体的初始位置和方向。3.根据相遇或追及的类型，确