高一数学函数概念教学重点解析

高一数学函数概念教学重点解析函数概念是高中数学的核心内容，也是学生从具体数学思维向抽象数学思维过渡的关键节点。高一阶段对函数概念的理解深度，直接影响后续函数性质、基本初等函数以及更复杂数学知识的学习。因此，在教学过程中，如何帮助学生准确、深刻地理解函数概念的内涵与外延，掌握其核心要素，是教学的重中之重。本文将从教学实践出发，对高一数学函数概念教学的重点进行解析。一、从具体到抽象，构建函数概念的初步认知函数概念的引入，切忌一开始就抛出抽象的定义。学生在初中阶段已经接触过“变量说”的函数定义，即“在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数”。高一教学应充分利用这一认知基础，通过回顾初中所学的具体函数（如一次函数、二次函数、反比例函数），引导学生观察这些函数的共同特征：都涉及两个变量，且变量之间存在着一种确定的依赖关系。在此基础上，通过设计更多丰富的实例，如购票问题、行程问题、气温变化问题等，让学生体会在不同情境下，两个变量之间的对应关系。这些实例应包含数值对应、图像对应、表格对应等多种形式，避免学生将函数狭隘地理解为仅由解析式表示。在充分感知的基础上，教师逐步引导学生从“变量之间的依赖关系”过渡到“两个集合之间的对应关系”，为抽象出函数的近代定义做好铺垫。这个过程是学生思维从具体到抽象的飞跃，需要耐心和细致的引导，允许学生有一个逐步理解和消化的过程。二、深入剖析函数定义的核心要素当学生对函数有了初步的感性认识后，教师应适时给出函数的精确定义：“设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。”这个定义包含了三个核心要素：定义域A、对应关系f和值域（集合B的子集{f(x)|x∈A}）。1.定义域A：定义域是函数的“灵魂”，是自变量x的取值范围，即集合A。教学中必须强调定义域是函数不可分割的一部分，研究函数必须首先考虑定义域。要引导学生理解定义域的“非空数集”特性，并掌握求函数定义域的基本方法，如分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零等。同时，要结合具体问题情境，理解实际问题中定义域的限制条件。2.对应关系f：对应关系f是函数的“核心”，它刻画了自变量x如何对应到函数值y的过程。教学中要帮助学生理解f的含义，它不仅仅是一个字母，更是一种“法则”或“规则”。这种规则可以是解析式、图像、表格，甚至是文字描述。要通过实例让学生明白，不同的对应关系即使定义域相同，得到的函数也是不同的。例如，f(x)=x与g(x)=2x，尽管定义域可能相同，但对应关系f和g不同，因此是不同的函数。3.值域：值域是函数值的集合，由定义域和对应关系共同决定。虽然值域是函数的三要素之一，但在教学中，通常是在明确定义域和对应关系之后再去研究值域。要让学生理解值域的“被动性”——它是由前两者唯一确定的。在剖析这些要素时，要强调“任意性”和“唯一性”。“任意一个数x”体现了定义域A中的元素都要参与对应；“唯一确定的数f(x)”则强调了对应结果的确定性和唯一性，这是函数概念的本质属性，也是判断一个对应是否为函数的关键标准。三、函数的表示方法及其教学策略函数的表示方法是函数概念的具体体现，常用的有解析法、列表法和图像法。教学中应使学生掌握各种表示方法的特点和适用范围，并能根据实际问题选择合适的表示方法。1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，其优点是简洁、准确，便于进行理论分析和运算。教学中要引导学生理解解析式中字母的含义，能根据解析式求函数值、判断函数类型。同时，也要指出并非所有函数都能用解析式表示。2.列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，其优点是直观、具体，适用于自变量取值较少或有特定取值的情况。例如，平方表、三角函数表等。教学中可以让学生尝试自己制作表格来表示一些简单函数。3.图像法：用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系，其优点是形象、直观，能清晰地反映函数的变化趋势和某些性质（如单调性、奇偶性）。“数形结合”是数学的重要思想方法，函数图像是培养学生数形结合能力的重要载体。教学中要重视图像的画法指导，如描点法的步骤（列表、描点、连线），并引导学生学会观察图像、从图像中获取信息。在介绍这三种表示方法时，要注意它们之间的联系与转化，例如，能根据解析式画出图像，能根据图像写出简单的解析式或列出表格。四、函数图像的直观意义与作图技能的培养函数图像是函数概念的直观反映，是研究函数性质的重要工具。教学中，培养学生的识图、作图、用图能力至关重要。首先，要让学生理解函数图像上的点(x,y)与函数解析式y=f(x)之间的对应关系：图像上任意一点的横坐标x是定义域内的元素，纵坐标y是对应的函数值f(x)。反之，满足y=f(x)的任意一对(x,y)都在函数图像上。其次，要掌握基本函数的图像特征。例如，一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是抛物线。对于这些基本图像，不仅要会画，还要理解其形状与解析式中系数的关系。在画函数图像时，描点法是最基本的方法，但不应仅仅停留在机械描点，更要引导学生在描点前对函数的定义域、奇偶性、单调性等进行初步分析，以便更准确、快速地画出图像。此外，要引导学生通过观察图像来理解函数的性质，如函数的增减性、最值点、与坐标轴的交点等。例如，从图像的“上升”或“下降”可以直观判断函数的单调性。五、函数概念的初步应用与常见问题辨析理解函数概念的最终目的是为了应用。在初步学习函数概念后，可以通过一些简单的应用题，让学生体会函数在描述客观世界变化规律中的作用，如建立简单的函数模型解决实际问题。同时，针对学生在理解函数概念时常出现的困惑，进行问题辨析是非常必要的。例如：*辨析1：如何判断两个函数是否为同一函数？这需要从函数的三要素入手，只有当两个函数的定义域相同、对应关系也完全相同时，它们才是同一函数，与表示自变量和函数值的字母无关。*辨析2：“y=f(x)”中各个符号的含义是什么？强调f是对应关系，x是自变量，f(x)是x对应的函数值，y是函数值的另一种表示。*辨析3：“唯一确定”的含义是什么？通过举例（如一对多的对应不是函数），加深学生对函数概念中“唯一性”的理解。在辨析过程中，要鼓励学生积极思考、讨论，通过正反两方面的例子，澄清模糊认识，巩固所学知识。结语高一数学函数概念的教学，是一个循序渐进、螺旋上升的过程。教师在教学中应始终坚持以学生为主体，从学生的认知实际出发，注重概念的形成过程，引导学生从具体实例中抽象出