离散数学课后习题解答

离散数学课后习题解答离散数学作为计算机科学与技术、软件工程等专业的核心基础课程，其概念抽象、逻辑性强，对后续课程的学习影响深远。课后习题不仅是检验知识掌握程度的手段，更是深化理解、培养逻辑思维与问题解决能力的关键环节。本文将针对离散数学中的若干典型习题进行详细解答，并剖析解题思路，以期为同学们提供有益的参考。第一章：命题逻辑1.1命题与联结词习题1.1.3：判断下列语句是否为命题。若是命题，指出其真值。(1)北京是中国的首都。(2)请勿吸烟！(3)明天是否会下雨？(4)2+3=5。(5)x+5>7。解答与思路：首先，我们需要明确命题的定义：命题是具有唯一真值的陈述句。这里有两个关键点：“陈述句”和“唯一真值”。真值可以是真（True）或假（False），但必须是确定的。(1)“北京是中国的首都。”这是一个陈述句，且其陈述的事实是确定无疑的，真值为真（T）。因此，这是一个命题。(2)“请勿吸烟！”这是一个祈使句，其目的是表达请求或命令，而非陈述一个事实，因此它没有真值。所以，这不是一个命题。(3)“明天是否会下雨？”这是一个疑问句，用于询问信息，而非陈述事实，同样没有真值。所以，这不是一个命题。(4)“2+3=5。”这是一个陈述句，其数学关系是确定的，真值为真（T）。因此，这是一个命题。(5)“x+5>7。”这是一个陈述句，但由于变量x的值未被指定，因此无法确定其真值。当x取3时为真，取1时为假，不满足“唯一真值”的条件。所以，这不是一个命题。小结：判断语句是否为命题，首要考察其是否为陈述句，其次考察其是否具有唯一确定的真值。对于含有变量的语句，若变量未被量化或赋值，则通常不是命题。1.3等值演算习题1.3.5：用等值演算法判断下列公式的类型（重言式、矛盾式或可满足式）。(1)(p→q)∧p→q(2)¬(p→(p∨q))∧r解答与思路：等值演算是基于已知的等值式（如双重否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律、德摩根律、吸收律、蕴含等值式、等价等值式等）对命题公式进行变换，以简化公式或判断其类型。重言式（永真式）是无论命题变元取何值，公式均为真；矛盾式（永假式）则相反；可满足式是至少存在一组赋值使公式为真。(1)对于公式(p→q)∧p→q：首先，利用蕴含等值式A→B⇔¬A∨B，将(p→q)转换为¬p∨q。原式变为(¬p∨q)∧p→q。接下来，对(¬p∨q)∧p使用分配律：(¬p∧p)∨(q∧p)⇔0∨(p∧q)⇔p∧q。（因为¬p∧p是矛盾式，记为0；0∨A⇔A）此时公式简化为(p∧q)→q。再次使用蕴含等值式：¬(p∧q)∨q。然后，利用德摩根律¬(A∧B)⇔¬A∨¬B，得到(¬p∨¬q)∨q。根据结合律和交换律，(¬q∨q)∨¬p⇔1∨¬p⇔1。（因为¬q∨q是重言式，记为1；1∨A⇔1）最终结果为1（重言式），因此该公式是重言式。(2)对于公式¬(p→(p∨q))∧r：同样先处理内层的蕴含式p→(p∨q)。利用蕴含等值式：¬p∨(p∨q)。根据结合律和吸收律：¬p∨p∨q⇔(¬p∨p)∨q⇔1∨q⇔1。因此，¬(p→(p∨q))⇔¬1⇔0。原式变为0∧r⇔0。（因为0与任何命题变元的合取都是0）最终结果为0（矛盾式），因此该公式是矛盾式。小结：等值演算的关键在于熟练掌握基本等值式，并能根据公式特点灵活运用。对于判断公式类型，若能化简为1则为重言式，化简为0则为矛盾式，否则需进一步分析或通过真值表判断是否为可满足式。1.5范式习题1.5.4：求命题公式(p∨q)→r的主析取范式和主合取范式，并判断公式的类型。解答与思路：范式是命题公式的标准形式，主析取范式由极小项的析取构成，主合取范式由极大项的合取构成。它们都能清晰地展示公式的真值情况。首先，将原公式化为析取范式或合取范式，再通过添项法或等值演算得到主范式。原公式：(p∨q)→r。利用蕴含等值式：¬(p∨q)∨r⇔(¬p∧¬q)∨r。（这是一个析取范式，但不是主析取范式）求主析取范式：主析取范式要求每个析取支都是极小项。极小项是包含所有命题变元的合取式，每个变元或以原形或以否定形式出现且仅出现一次。公式中包含p,q,r三个命题变元。当前析取支为(¬p∧¬q)和r。对于(¬p∧¬q)，它缺少变元r。我们可以利用同一律A⇔A∧(B∨¬B)，即：(¬p∧¬q)⇔(¬p∧¬q)∧(r∨¬r)⇔(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)。对于r，它缺少变元p和q。同理：r⇔r∧(p∨¬p)∧(q∨¬q)⇔[r∧(p∨¬p)]∧(q∨¬q)⇔(p∧r∨¬p∧r)∧(q∨¬q)⇔p∧q∧r∨p∧¬q∧r∨¬p∧q∧r∨¬p∧¬q∧r。现在将两部分合并：(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)。注意到(¬p∧¬q∧r)出现了两次，根据幂等律可以合并为一次。按极小项的角标顺序排列（通常按p,q,r的顺序，0表示否定，1表示肯定，二进制对应十进制角标）：¬p∧¬q∧¬r对应000，记为m0；¬p∧¬q∧r对应001，记为m1；¬p∧q∧r对应011，记为m3；p∧¬q∧r对应101，记为m5；p∧q∧r对应111，记为m7。因此，主析取范式为m0∨m1∨m3∨m5∨m7，可简记为Σ(0,1,3,5,7)。求主合取范式：主合取范式要求每个合取支都是极大项。极大项是包含所有命题变元的析取式，每个变元或以原形或以否定形式出现且仅出现一次。方法一：可以从合取范式出发。原公式(¬p∧¬q)∨r⇔(¬p∨r)∧(¬q∨r)。（利用分配律A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)，这里是(¬p∧¬q)∨r⇔(¬p∨r)∧(¬q∨r)）现在得到的是合取范式：(¬p∨r)∧(¬q∨r)。每个合取支需要包含所有变元p,q,r。对于(¬p∨r)，缺少q。利用A⇔A∨(B∧¬B)的对偶形式，即A⇔A∧(B∨¬B)不适用于此，应使用A⇔(A∨B)∧(A∨¬B)？不，这里是析取式要变成极大项，应补全缺失的变元。极大项是(变元或其否定)的析取，包含所有变元。(¬p∨r)⇔¬p∨0∨r⇔¬p∨(q∧¬q)∨r⇔(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)。（分配律）同理，(¬q∨r)⇔(p∨¬q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)。因此，原合取范式变为：[(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)]∧[(p∨¬q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)]去重后得到：(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r)。这就是主合取范式。极大项的记法：命题变元按p,q,r顺序，出现的是原变量记为0，否定记为1，构成二进制数，对应十进制角标。¬p∨q∨r：p否定(1)，q原(0)，r原(0)→100→4，记为M4。¬p∨¬q∨r：p否定(1)，q否定(1)，r原(0)→110→6，记为M6。p∨¬q∨r：p原(0)，q否定(1)，r原(0)→010→2，记为M2。所以主合取范式为M2∧M4∧M6，简记为Π(2,4,6)。方法二：主析取范式和主合取范式的下标是互补的。已知主析取范式为Σ(0,1,3,5,7)，则主合取范式的下标就是所有未在主析取范式中出现的下标，即2,4,6，因此Π(2,4,6)，与上述结果一致。判断公式类型：由于主析取范式包含了部分极小项（非全部也非空），主合取范式包含了部分极大项（非全部也非空），因此该公式是可满足式。小结：求主范式的过程需要细心，确保所有变元都被包含，并且正确转换和合并。主析取范式和主合取范式是对偶的，掌握其中一种的求法，另一种可以通过互补关系得到。第二章：集合论2.2集合的运算习题2.2.7：设A,B,C为任意集合，证明：A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)。解答与思路：集合的运算包括交、并、补、差等。证明集合相等，通常的方法是证明等式两边的集合互为子集，即对于任意元素x，若x属于左边集合则必属于右边集合，反之亦然。要证明A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)。证明：(1)先证A∩(B-C)⊆(A∩B)-(A∩C)。任取x∈A∩(B-C)。根据交集的定义，x∈A并且x∈(B-C)。由差集的定义，x∈(B-C)意味着x∈B并且x∉C。所以，x∈A，x∈B，x∉C。因此，x∈A∩B（因为x∈A且x∈B）。同时，假设x∈A∩C，则x∈A且x∈C，但我们已知x∉C，矛盾，故x∉A∩C。于是，根据差集定义，x∈(A∩B)-(A∩C)。由x的任意性，A∩(B-C)⊆(A∩B)-(A∩C)得证。(2)再证(A∩B)-(A∩C)⊆A∩(B-C)。任取x∈(A∩B)-(A∩C)。根据差集定义，x∈(A∩B)并且x∉(A∩C)。由x∈(A∩B)知，x∈A并且x∈B。由x∉(A∩C)知，并非(x∈A且x∈C)。因为我们已经有x∈A，所以“并非(x∈A且x∈C)”等价于x∉C（否则，若x∈C，结合x∈A，就有x∈A∩C，矛盾）。因此，x∈A，x∈B，且x∉C。由差集定义，x∈B-C。再由交集定义，x∈A∩(B-C)。由x的任意性，(A∩B)-(A∩C)⊆A∩(B-C)得证。综上，由集合相等的定义，A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)成立。小结：证明集合等式是集合论中的基础题型，核心在于理解集合运算的定义，并能熟练运用逻辑推理进行子集关系的证明。“任取元素”是基本出发点，然后根据定义逐步拆解和推导。总结与学习建议离散数学的习题解答，不仅仅是为了得到一个正确的答案，更重要的是在解题过程中理解概念的内涵与外延，掌握逻辑推理的方法与技巧。每一道习题都是对知识点的一次深入探讨，也是对思维能力的一次锤炼。在学习过程中，建议同学们：1.吃透概念：离散数学的概念是