八年级数学下册矩形知识点归纳及典型例题解析

八年级数学下册矩形知识点归纳及典型例题解析矩形是我们在初中阶段学习的一种非常重要的特殊平行四边形，它在日常生活和几何问题中都有着广泛的应用。学好矩形的性质与判定，不仅能够帮助我们更深入地理解平面几何的逻辑体系，也能为后续学习更复杂的图形打下坚实基础。下面，我们将系统梳理矩形的知识点，并结合典型例题进行解析。一、矩形的定义我们知道，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。这个定义非常关键，它揭示了矩形与平行四边形之间的联系与区别：矩形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质；其次，它有一个独特的属性——有一个角是直角。二、矩形的性质基于矩形的定义，我们可以推导出矩形的一系列性质：（一）矩形具有平行四边形的所有性质这是因为矩形是特殊的平行四边形。具体包括：1.对边平行且相等。2.对角相等。3.对角线互相平分。4.邻角互补。（二）矩形的特有性质1.四个角都是直角：由于矩形有一个角是直角，而平行四边形的邻角互补，对角相等，因此可以很容易地证明矩形的四个角都是直角。这一性质在计算角度、证明垂直关系时经常用到。2.对角线相等：矩形的两条对角线长度相等。这是矩形非常重要的一个性质，也是区别于一般平行四边形的显著特征之一。我们可以通过证明两个三角形全等（例如，矩形的一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，两条对角线则构成了两对全等的三角形）来得出这个结论。（三）矩形的对称性矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。同时，矩形也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是对边中点的连线所在的直线。三、矩形的判定判定一个四边形是不是矩形，我们可以从以下几个角度出发：（一）定义法有一个角是直角的平行四边形是矩形。这是最基本、最直接的判定方法。（二）从角的角度判定有三个角是直角的四边形是矩形。*思路分析：如果一个四边形有三个角是直角，那么根据四边形内角和为360度，第四个角也必然是直角。四个角都是直角的四边形，其对边必然平行且相等（可通过同旁内角互补证明平行），因此它首先是一个平行四边形，再结合有一个角是直角，即可判定为矩形。（三）从对角线的角度判定对角线相等的平行四边形是矩形。*思路分析：这是矩形特有性质“对角线相等”的逆定理。在平行四边形中，如果对角线相等，那么可以通过三角形全等证明其相邻的两个角相等，再结合平行四边形邻角互补的性质，得出这两个角都是直角，从而判定为矩形。四、要点提示与学习建议1.深刻理解“特殊”二字：矩形的学习要时刻与平行四边形联系起来，它是特殊的平行四边形，所以既有共性，又有特性。学习性质时，要清楚哪些是继承来的，哪些是它独有的；学习判定时，要明确哪些是在平行四边形基础上附加的条件。2.性质与判定的互逆关系：矩形的许多性质和判定之间存在互逆关系，例如“矩形的对角线相等”与“对角线相等的平行四边形是矩形”。理解这种互逆关系有助于更好地掌握和运用这些知识。3.注重逻辑推理：无论是性质的推导还是判定的应用，都离不开严密的逻辑推理。在解题时，要养成“言必有据”的习惯，每一步结论都要有相应的定理、定义或已知条件作为支撑。4.善用辅助线：在解决与矩形相关的复杂问题时，作出恰当的辅助线往往能起到事半功倍的效果。例如，连接矩形的对角线，利用其相等的性质；或者作出对称轴，利用其对称性。5.多动手，勤画图：结合图形进行学习是几何学习的重要方法。通过画图，可以更直观地理解矩形的性质和判定，也能帮助我们发现题目中的隐含条件。五、典型例题解析例题1：（利用矩形性质求线段长度）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4。求AC的长及矩形ABCD的面积。思路分析：矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO。题目中给出∠AOB=60°，因此△AOB是一个有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形。由此可得出AO的长度，进而求出AC的长度。在直角三角形ABC中，已知AB和AC，利用勾股定理可求出BC的长度，从而计算出矩形面积。解答过程：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形对角线相等），AO=OC=1/2AC，BO=OD=1/2BD（矩形对角线互相平分），∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。∴AO=BO。又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形。∴AO=AB=4。∴AC=2AO=8。在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，根据勾股定理，BC²=AC²-AB²=8²-4²=64-16=48，∴BC=√48=4√3（负值舍去）。∴矩形ABCD的面积=AB×BC=4×4√3=16√3。点评：本题主要考查了矩形对角线的性质以及等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用。关键在于从矩形对角线的性质入手，发现△AOB是等边三角形。例题2：（利用矩形性质求角度）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE于F。求证：DF=DC。思路分析：要证明DF=DC。观察图形，DC是矩形的一条边，DF是直角三角形ADF的一条直角边。考虑通过证明三角形全等，将DF和DC联系起来。已知AD=AE，AD∥BC，可得到∠DAF=∠AEB。再结合∠AFD=∠B=90°，可尝试证明△ADF≌△EAB，从而得到DF=AB，而AB=DC，故DF=DC。解答过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC（矩形对边平行），AB=DC（矩形对边相等），∠B=90°（矩形四个角都是直角）。∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°。∵AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。在△ADF和△EAB中，∠AFD=∠B=90°，∠DAF=∠AEB，AD=EA（已知），∴△ADF≌△EAB（AAS）。∴DF=AB。又∵AB=DC，∴DF=DC。点评：本题综合考查了矩形的性质（对边平行且相等、四个角是直角）以及全等三角形的判定与性质。通过寻找全等条件，将待证线段进行转化，是解决此类问题的常用思路。例题3：（矩形的判定）已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°。求∠OAB的度数。思路分析：题目给出的是平行四边形ABCD，对角线相交于点O，且OA=OD。我们知道平行四边形的对角线互相平分，所以OA=OC，OB=OD。现在OA=OD，可推得OA=OB=OC=OD，即AC=BD。对角线相等的平行四边形是矩形，因此可判定□ABCD是矩形。在矩形中，∠DAB=90°，已知∠OAD=50°，即可求出∠OAB的度数。解答过程：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD（平行四边形对角线互相平分）。又∵OA=OD，∴OA=OB=OC=OD。∴AC=BD。∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）。∵∠OAD=50°，∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=90°-50°=40°。点评：本题巧妙地结合了平行四边形的性质和矩形的判定定理。通过已知条件推导出平行四边形的对角线相等，从而判定其为矩形，进而利用矩形的性质解决角度问题。这体现了知识之间的内在联系和综合运用能力。例题4：（矩形性质与折叠问题结合）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E。若AB=4，BC=8，求AE的长。思路分析：折叠问题的关键是抓住折叠前后的对应边相等、对应角相等。由折叠可知，BC'=BC=AD=8，C'D=CD=AB=4，∠C'=∠C=90°，∠C'BD=∠CBD。因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，从而∠ADB=∠C'BD，故BE=DE。设AE=x，则DE=AD-AE=8-x，所以BE=8-x。在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可。解答过程：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠A=90°，AD∥BC。由折叠性质得：BC'=BC=8，∠C'BD=∠CBD，C'D=CD=4，∠C'=∠C=90°。∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∴∠ADB=∠C'BD（等量代换）。∴BE=DE（等角对等边）。设AE=x，则DE=AD-AE=8-x，∴BE=DE=8-x。在Rt△ABE中，∠A=90°，AB=4，AE=x，BE=8-x，根据勾股定理得：AB²+AE²=BE²，即4²+x²=(8-x)²。16+x²=64-16x+x²。16=64-16x。16x=64-16。16x=48。x=3。∴AE的长为3。点评：折叠问题是矩形中常见的题型，通常会与勾股定理、等腰三角形的判定等知识结合考查。解决此类问题的关键是利用折叠的性质找出相等的线段和角，然后结合图形特点，运用方程思想求解。六、总