《机械结构有限元分析及强度设计》-第5章

5.1引言平面问题是工程实际中最常遇到的问题，许多工程实际问题都可以简化为平面问题来进行求解。平面问题一般可以分为两类：一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。下一页返回5.1引言

在平面应力问题中，连续体的二维坐标尺寸远大于其第三维尺寸（如板），因此，其平面的法向应力可以忽略不计。在平面应变问题中，连续体的二维坐标尺寸远小于其第三维尺寸，因此，加载平面的法向应变可以假设为零。故在分析该连续体的应力和位移时，可以通过分析其法向应变为零的一个横断面来完成。上一页返回5.2平面杆单元杆系结构通常由许多构件组成，其每个构件可被视为一个单元，这些简单的单元仅在有限个节点上彼此相连。对于每个单元而言，其力与位移之间的关系等结构特性可以用节点上所确认的自由度来唯一地加以规定，而整体杆系结构的特性则可以通过组集这些单元的特性来加以描述。5.2.1杆单元分析图5.3所示为一个由二根杆件组成的铰链桁架。杆件的面积为A，弹性模量为E，长度分别为l1和l2。该桁架在各铰接点处有外力X1、Y1、X2

、Y2、X3、Y3。由于杆件在节点处是铰接，不承受弯矩，只承受轴向力，因此，其每个节点的力和位移各有两个分量，即每个节点均具有两个自由度，所以每个单元具有4个自由度。下一页返回5.2平面杆单元

为此，可以用4个方程来描述每个单元的力与位移之间的关系。对于单元，有：上一页下一页返回5.2平面杆单元

式中上一页下一页返回5.2平面杆单元

可将式（5.3a）写成矩阵的形式，有：或将其简记为：上一页下一页返回5.2平面杆单元

式中若令：上一页下一页返回5.2平面杆单元

这表明，当节点1沿着x方向产生一单位位移，而其余节点和自由度方向上的位移为零时，其刚度系数就等于施加于该单元各自由度方向上的力。如图5.4所示，在此状态下，单元的长度将缩短Δl1=cosθ。根据材料力学的知识，在节点1处需要向单元施加的轴向压力为：上一页下一页返回5.2平面杆单元

由此，可以求得作用于单元节点1处的两个自由度方向上的力，即该轴向压力在x方向和y方向上的分量：而作用于节点2的两个自由度方向上的力，则与之大小相等、方向相反。即：上一页下一页返回5.2平面杆单元

再继续做类似的分析，即可得到其余的刚度系数，即：同理，可以求出单元的刚度矩阵为：上一页下一页返回5.2平面杆单元

为了求整体结构的力与位移的关系，需要引入整体结构节点位移分量和单元位移分（上标“i”为单元编号）之间的协调关系，即：上一页下一页返回5.2平面杆单元

另外，根据力的平衡条件，作用在节点上的外力应该等于与该节点相连的各单元所受到的节点力之和。因此，可得到结构的力与位移的关系为：上一页下一页返回5.2平面杆单元

将其写成矩阵的形式，则有：上一页下一页返回5.2平面杆单元

或简记为：式中{R}——由作用在节点上的外载荷组成的向量，称为载荷向量（或载荷列阵）；{δ}——由基本未知量即节点位移组成的向量；[K]——结构的整体刚度矩阵，则有：上一页下一页返回5.2平面杆单元

式（5.7）就是有限单元法所要建立的基本方程组。上一页下一页返回5.2平面杆单元

不难看出，结构的整体刚度矩阵是由各单元的刚度矩阵叠加而成的。在式（5.8）的[K]矩阵中，左上方的实线框部分恰好是单元的刚度矩阵，而右下方的实线框部分正好是单元的刚度矩阵；两实线框的重叠部分中的元素则是两个单元刚度矩阵在同一位置处的元素之和。上一页返回5.3平面悬臂梁单元梁在横向外载荷（可以是集中力、分布力或力矩等）的作用下会产生弯曲变形，在水平载荷的作用下会产生线位移。梁上任一点均受到三个力的作用，即：水平力Fx、剪切力Fy和弯矩M。其相应的位移为水平线位移v、转角为θ。图5.19中该平面梁单元有两个节点。平面梁单元的位移场v(x)的表达式为：下一页返回5.3平面悬臂梁单元式中a1，a2，a3，a4——常量。因此，梁的斜率为：上一页下一页返回5.3平面悬臂梁单元并将节点代入位移场得：进一步整理求解，得：上一页下一页返回5.3平面悬臂梁单元再将a1，a2，a3，a4代入位移函数，得：进一步简化，可写成：上一页下一页返回5.3平面悬臂梁单元式中[N]——平面梁的形函数；{δe}——节点位移向量，因此得：上一页下一页返回5.3平面悬臂梁单元其中，梁的变形能为：对其进行二阶求导，得：上一页下一页返回5.3平面悬臂梁单元则：将上式代入梁的变形能公式，得：上一页下一页返回5.3平面悬臂梁单元进一步整理，得：式中[k]——平面梁单元的刚度矩阵，上一页下一页返回5.3平面悬臂梁单元[B]是x的函数，对上式积分得到平面梁的刚度矩阵为：上一页返回5.4平面三角形单元5.4.1单元分析对三角形的单元分析依次分为位移函数、单元力学特性分析、载荷移置和整体分析四步。5.4.2三角形单元整体分析讨论了单元的力学特性之后，还要进一步对结构的整体分析。下面将弹性体划分为N个单元和n个节点，对每个单元按上一节所述的方法进行分析计算，即可得到N个形如式（5.37）的单元刚度矩阵方程。将这些方程组集起来，就得到整个弹性体的平衡关系式。以下介绍两种组集方法。下一页返回5.4平面三角形单元

1.直接组集法利用直接组集法可形成有限元计算模型。对于平面问题，每个节点有x和y两个方向的自由度。1）引入整个弹性体的节点位移列阵δ2n×1它由所有节点位移按节点整体编号顺序从小到大排列而成，即：其中，节点i的位移分量为：上一页下一页返回5.4平面三角形单元

2）确定结构整体载荷列阵设某单元的三个节点（1、2、3节点）对应的整体编号分别为i、j、m，（i、j、m的次序按从小到大排列），每个单元三个节点的等效节点力分别记为，其中，。将弹性体的所有单元的节点力列阵加以扩充，使之成为2n×1阶列阵，即：上一页下一页返回5.4平面三角形单元

各单元的节点力列阵经过扩充之后就可以进行相加。把全部单元的节点力列阵叠加在一起，便可得到整个弹性体的载荷列阵其结构整体载荷列阵可记为：其中，节点i上的等效节点载荷为：上一页下一页返回5.4平面三角形单元

由于结构整体载荷列阵是由移置到节点上的等效节点载荷按节点号码对应叠加而成的，其相邻单元公共边的内力引起的等效节点力在叠加过程中必然会全部相互抵消，所以结构整体载荷列阵只会剩下外载荷所引起的等效节点力，因此，在结构整体载荷列阵中大量元素一般都为0值。3）直接集成结构的整体刚度矩阵把平面三角形单元的6阶单元刚度矩阵[k]e进行扩充，使之成为一个2n阶的方阵[k]eext。单元三个节点（1、2、3节点）对应的整体编号分别为i、j、m（i、j、m的次序从小到大排列），单元刚度矩阵[k]e中的2×2阶子矩阵[k

ij]将处于上式中的第i双行、第j双列中。上一页下一页返回5.4平面三角形单元

扩充后的单元刚度矩阵[k]eext为：上一页下一页返回5.4平面三角形单元

单元刚度矩阵经过扩充以后，除了对应的i、j、m双行和双列上的9个子矩阵之外，其余元素均为零。把式（5.54）对N个单元进行求和叠加，则得到结构整体刚度矩阵，记为：4）根据虚功原理建立结构整体的有限元方程用整体刚度矩阵、节点位移列阵和节点载荷列阵表达的结构有限元方程为：上一页下一页返回5.4平面三角形单元

这是一个关于节点位移的2n阶线性方程组。弹性体有限元的整体刚度矩阵[K]中每一列元素的物理意义为：要使弹性体的某一节点在坐标轴方向发生单位位移，而其他节点都保持为零的变形状态，则在各节点上所需要施加的节点力具有如下性质：[K]中的主对角元素总是正的，它是一个对称矩阵，且是一个带状稀疏矩阵。整体刚度矩阵[K]是一个奇异矩阵，在排除刚体位移之后，它还是一个正定矩阵。只有在消除了整体刚度矩阵的奇异性之后，才能联立方程组并求解出节点位移。一般情况下，所要求解的问题，其边界往往具有一定的位移约束条件，即本身已排除了刚体运动的可能性。整体刚度矩阵的奇异性需要通过引入边界约束条件、消除结构的刚体位移来实现。上一页下一页返回5.4平面三角形单元

这里介绍两种引入已知节点位移的方法，这两种方法都可以保持原矩阵的稀疏、带状和对称等特性。保持方程组为2n×2n阶不变，仅对[K]和{R}进行修正。例如，若指定节点i在方向y上的位移为vi，则令[K]中的元素k2i、2i为1，而第2i行和第2i列的其余元素都为零。{R}中的第2i个元素则用位移vi的已知值代入，{R}中的其他各行元素均减去已知节点位移的指定值和原来K中该行的相应列元素的乘积。上一页下一页返回5.4平面三角形单元

2.形成整体刚度矩阵的转换矩阵法如上所述，对于离散化的弹性体有限元计算模型，首先要求得出或列出的是各个单元的刚度矩阵、单元位移列阵和单元载荷列阵。在进行整体分析时，需要把结构的各项矩阵（包括列阵）表达成各个单元对应的矩阵之和，同时要求单元各项矩阵的阶数和结构各项矩阵的阶数（即结构的节点自由度数）相同。为此，引入单元节点自由度对应扩充为结构节点自由度的转换矩阵[G]。上一页下一页返回5.4平面三角形单元

设结构的节点总数为n，某平面三角形单元对应的整体节点序号为i、j、m，该单元节点自由度的转换矩阵为：上一页下一页返回5.4平面三角形单元

也就是说，在[G]矩阵中，将单元三个节点对应的整体编号位置（i,j,m）所在的子块设为2阶单位矩阵，而其他均为0。利用转换矩阵[Ge]可以直接求和，得到结构的整体刚度矩阵为：结构节点载荷列阵为：上一页返回5.5平面矩形单元平面矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的4个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用平面三角形的分析方法完成对这种单元的力学特性分析，引入一个局部坐标系ξ、η，就可以推导出比较简洁的结果。1.坐标变换与形函数取矩形单元的形心为局部坐标系的原点，ξ和η轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在以下的坐标变换关系，即：下一页返回5.5平面矩形单元

式中上一页下一页返回5.5平面矩形单元

其中(x

i,yi)是矩形单元节点i的整体坐标系坐标，i=1,2,3,4。局部坐标系中，节点i的坐标为(ξi,ηi

)，其值分别为±1。矩形单元局部坐标系下的位移模式为：将四节点的局部坐标值代入式（5.62），可以得到用形函数矩阵和节点位移表示的矩形单元的位移模式为：上一页下一页返回5.5平面矩形单元

式中其中，i=1,2,3,4。则形函数为：上一页下一页返回5.5平面矩形单元

2.单元刚度矩阵应变矩阵[B]的分块矩阵为：则可得到四节点矩形单元的应变矩阵为：上一页下一页返回5.5平面矩形单元

四节点矩形单元刚度矩阵的子矩阵为：式中[D]——平面弹性矩阵；t——单元厚度。即：上一页下一页返回5.5平面矩形单元

式中E——材料的弹性模量；μ——泊松比。平面四节点矩形单元的刚度矩阵为：上一页返回5.6平面等参单元5.6.1等参单元的基本概念如果任意形状的四边形四节点单元采用矩形单元的位移模式，则在公共边界上不满足位移连续性条件。为了既能得到较高的计算精度，又能适应复杂的边界形状，可以采用坐标变换的方法。图5.25所示的任意四边形单元上，用等分四条边的两族直线分割四边形，以两族直线的中心为原点，建立局部坐标系(ξ,η)，沿ξ及η增大的方向作为ξ轴和η轴，并令4条边上的ξ及η值分别为±1。为了求出其位移模式，以及局部坐标与整体坐标之间的变换式，在局部坐标系中定义一个四节点正方形单元，如图5.26所示。下一页返回5.6平面等参单元

参照矩形单元，四节点正方形单元的位移模式为：其中的形函数为：上一页下一页返回5.6平面等参单元

4个节点的坐标为(ξ

i,η

i)，定义新的变量：形函数可表示为：把ξ及η作为任意四边形单元的局部坐标，把式（5.73）的位移模式和式（5.73）的形态函数用于任意形状的四边形单元，则可得到4个节点的位移。上一页下一页返回5.6平面等参单元

把局部坐标与整体坐标的变换式也取为下式。只要给出任意四边形单元4个节点的整体坐标，用式（5.74）就可以建立局部坐标系中的正方形单元和整体坐标系中的任意四边形单元之间的坐标变换关系。把图5.25中的局部坐标系中的正方形单元称为基本单元；把图5.26中的整体坐标系中的任意四边形单元看作由基本单元通过坐标变换得来的单元，称为实际单元。