第01讲 从梯子的倾斜度谈起：锐角三角函数的概念构建与初步应用

第01讲从梯子的倾斜度谈起：锐角三角函数的概念构建与初步应用一、教学内容分析  本课选自人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》的起始章节，是连接几何直观与代数运算、定性描述与定量分析的关键节点，在初等数学向高等数学的过渡中扮演着“函数思想”启蒙者的重要角色。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课内容直接对应“图形与几何”领域中对“图形的变化”和“图形的坐标”的深化要求，其知识技能图谱清晰：学生需在已掌握的直角三角形边角定性关系（大角对大边）及勾股定理定量关系的基础上，完成认知跃迁——理解当锐角固定时，其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边这三组比值为定值，从而抽象出正弦、余弦、正切三个核心函数概念。这一过程蕴含着深刻的数学建模思想：将现实世界中“倾斜程度”这一几何属性，通过比值运算转化为可度量的数值模型。其素养价值渗透于全课：在探究比值定值的过程中，发展学生的数学抽象与逻辑推理能力；在概念辨析与应用中，锤炼数学运算技能；在解决“测高测距”等实际问题时，孕育数学建模意识和应用意识。本课是后续解直角三角形及高中任意角三角函数的基石，其概念建构的扎实与否，直接决定整个三角函数知识体系的稳固性。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生在知识储备上，已熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及直角三角形中各边、角的名称与基本关系，这为发现“角定则比定”提供了坚实的逻辑起点。然而，潜在的认知障碍亦十分明显：其一，从“边角定性关系”到“边比定量函数”的跨越存在思维断层，学生难以自发想到用两边之比来刻画角度；其二，初次接触“函数”视角下的角与比值对应关系，容易与以往的具体数值计算混淆，理解其“对应关系”本质存在困难。为动态把握学情，教学将嵌入多重形成性评价：在导入环节通过生活实例设问探查前概念；在新授环节通过小组讨论中的观点碰撞与板书呈现，评估学生对“比值定值”的发现程度；在巩固环节通过分层练习的完成质量，诊断概念应用的熟练度与灵活性。针对上述学情，教学调适策略将体现差异化：为思维启动慢的学生提供更具体的直角三角形实例作为“脚手架”；为抽象理解快的学生设置“为什么只研究这三个比？”的进阶思考题；并全程利用几何画板动态演示，将抽象的“定值”可视化，化解认知难点。二、教学目标阐述  知识目标：学生能准确阐述正弦、余弦、正切的概念，理解其数学定义源于“锐角固定，则相应边之比为定值”这一核心事实；能熟练运用sinA、cosA、tanA的符号表示直角三角形中锐角A与三边比值之间的对应关系，并能在给出的直角三角形中正确写出任意锐角的三角函数值。  能力目标：学生经历从具体实例观察、猜想、验证到抽象概括的概念形成全过程，发展数学抽象与归纳推理能力；能够根据定义，在已知直角三角形的任意两边时，准确选择并计算锐角的三角函数值，并解决简单的边角互求问题，提升数学运算与几何直观能力。  情感态度与价值观目标：通过探索比值定值规律和三角函数的应用价值，学生体验数学发现的严谨与美妙，激发探究数学内在统一性的兴趣；在小组协作验证猜想的过程中，养成尊重证据、理性交流的科学态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型建构思维和函数思想。引导其将“倾斜度”等现实问题抽象为直角三角形模型，并进一步抽象出边角之间的数值对应关系（函数模型），初步体会用“变量”（角度）与“变量”（比值）的对应关系来刻画世界的一种数学方式。  评价与元认知目标：学生能够通过对比自己与他人的解题过程，运用三角函数定义作为标尺，判断求解步骤的合理性；在课堂小结时，能自主梳理概念间的逻辑关系（如正弦、余弦、正切的区别与联系），反思“从生活到数学”的抽象过程，并评估自己在本课概念建构中的理解层次。三、教学重点与难点析出  教学重点：锐角三角函数（正弦、余弦、正切）概念的理解与初步应用。其确立依据在于，该概念是本单元乃至整个三角学知识的逻辑起点与核心“大概念”。课标要求学生“探索并认识锐角三角函数”，正是强调对其概念本质（角与比值之间的单值对应关系）的理解，而非机械记忆公式。从中考命题趋势看，对三角函数概念的直接考查（如辨析定义）和间接应用（在复杂图形中识别或构造直角三角形并使用三角函数）均是高频考点，且贯穿于实际应用题的解决之中，体现了从知识立意到能力、素养立意的转变。  教学难点：难点一，是从具体、孤立的边长数值计算，跨越到抽象“比值”作为整体来表征角的大小，理解“对于确定的锐角，其三角函数值是唯一的”这一函数思想本质。成因在于学生的思维尚处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，对“关系的关系”进行抽象存在认知跨度。难点二，是在具体直角三角形中，能灵活、准确地根据所求，选择正确的两边之比进行计算，避免“张冠李戴”。其预设依据源于常见错误分析：学生常混淆对边、邻边与斜边，尤其是在非标准放置的直角三角形中。突破方向在于，强化对“对边”、“邻边”相对性的理解，并通过变式图形进行针对性训练。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含几何画板动态演示文件：展示大小不同的相似直角三角形中，对应锐角的对边/斜边等比值保持不变）、实物直角三角板。1.2学习材料：设计分层学习任务单（含探究记录表、分层练习题）、板书设计思维导图框架。2.学生准备2.1课前预习：回顾直角三角形各边名称（对边、邻边、斜边）及相似三角形性质。2.2学具：直尺、量角器、科学计算器（或具备三角函数计算功能的APP）。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：同学们，学校国旗杆的高度我们无法直接爬上去测量，但我们可以站在地面上，借助一些工具和方法来计算出它的高度。这其中就蕴含着一个古老的数学智慧。请大家看这个画面（出示一个倾斜的梯子靠在墙上的图片）。“梯子靠得陡一点安全，还是缓一点安全？”——对，大家都感觉陡了更危险。那么，如何数学地、精确地描述这个“陡”或“缓”的程度呢？仅仅看梯子本身的长短吗？还是看它与地面夹角的大小？2.唤醒旧知与提出核心问题：夹角大小固然直观，但在很多实际问题中，角度并不方便直接测量。我们能否用更容易测量的“长度”来刻画这个“倾斜程度”？观察这个梯子与墙面、地面构成的直角三角形。“想一想，在这个变化的直角三角形中，哪些量在变，哪些关系可能保持不变？”今天，我们就化身数学侦探，一起来探索直角三角形中，边与角之间那种隐秘而稳定的数量关系，从而解锁像测量国旗杆高度这样的一类问题。我们的探索路线是：从具体计算中发现规律→抽象出核心概念→学习用规范的数学语言表述→进行初步应用。第二、新授环节任务一：探究“倾斜度”的数学表征——从定性到定量的跨越1.教师活动：首先，引导学生聚焦于描述梯子的倾斜度。展示一组倾斜角度相同但长度不同的梯子（即一系列相似的直角三角形）。提问：“这些梯子倾斜程度一样吗？你的眼睛告诉你是一样的，那数学如何‘证明’它们一样呢？”引导学生思考，除了角度相等，是否还有其他数量关系能表征这种相同？接着，提供学习任务单上的“探究活动1”：给定一个锐角为30°的直角三角形，让学生用尺子测量并计算∠A的对边与斜边的长度比值（精确到0.01）。然后，改变这个直角三角形的大小（但保持∠A=30°），再次测量计算该比值。“请大家把两次算得的结果大声告诉我……哎？大家算出来的数好像都很接近？是不是约等于0.5？”组织学生汇报结果，并利用几何画板动态演示，当拖动点改变三角形大小时，这个比值在屏幕上实时显示为一个恒定值。引出猜想：对于一个确定的锐角A，∠A的对边与斜边的比值可能是一个固定值。2.学生活动：观察图片，直观判断倾斜程度。进行小组合作，动手测量、计算、记录两组数据。对比计算结果，发现惊人的一致性，产生认知冲突与探究兴趣。观察几何画板的动态验证，确信猜想，并尝试用语言描述发现的规律：“角不变，这个比值就不变。”3.即时评价标准：1.4.操作规范性：能否正确测量直角三角形的边长，并执行精确的比值计算。2.5.合作有效性：小组成员是否分工明确，测量、记录、计算、核对各司其职。3.6.归纳与表达：能否从具体数据中观察到共性，并用清晰的语言向全班陈述本组的发现。7.形成知识、思维、方法清单：★核心发现：在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，无论三角形大小如何变化（即无论对边和斜边的具体长度是多少），∠A的对边与斜边的比值是一个固定值。这个结论是我们今天所有概念的基石。“记住这个‘变中之不变’，它是数学最美的风景之一。”任务二：概念初构——正弦概念的诞生1.教师活动：肯定学生的发现，并指出这个固定的比值，就像锐角A的一个“身份代码”或“名片”，它唯一地刻画了这个角的大小特征。于是，数学家赋予它一个专有名称和符号。正式给出正弦的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边=a/c。板书规范书写。“来，我们一起读一遍这个定义，注意它的结构：是谁的？什么和什么的比？”随后，立即出示两个变式位置的直角三角形（∠A不在左下角），提问：“在这个三角形里，∠A的正弦是什么？是BC/AB吗？大家找找看，谁是∠A的对边？谁是斜边？”通过变式辨析，强化“对边”与“斜边”的识别，确保概念理解不受图形位置干扰。2.学生活动：跟随教师朗读定义，理解符号“sinA”的意义。在变式图形中积极辨认边角关系，上台指认或口答。初步进行模仿性书写，如sinA=BC/AB。3.即时评价标准：1.4.概念理解准确性：能否在非标准图形中，准确无误地指出或说出指定锐角的正弦所对应的两边。2.5.符号使用规范性：书写sinA时，是否明确角标，等号右边的比值表达式是否正确。6.形成知识、思维、方法清单：★正弦定义：sinA=∠A的对边/斜边。理解的关键在于，sinA是一个整体，表示一个比值，而不是“sin”乘以“A”。“sinA就像一个包裹，里面装着一个计算好的比值。”▲概念辨析：定义中的“对边”和“斜边”是针对你所关注的那个锐角而言的。斜边是固定不变的（直角所对的边），而对边和邻边是相对的。“找对边，就是找这个角的‘对面’；找斜边，就是找直角对面的那条‘最长边’。”任务三：类比迁移——余弦与正切概念的自主生成1.教师活动：有了正弦的探索经验，教师引导学生进行类比迁移。“我们发现了对边与斜边的比是定值，那么，邻边与斜边的比呢？对边与邻边的比呢？它们会不会也是定值？”组织学生以小组为单位，参照任务一的探究模式（可借助几何画板验证），快速验证这两个猜想。验证后，邀请小组代表分享结论。随后，教师顺势给出余弦（cosine）和正切（tangent）的定义及记法：cosA=∠A的邻边/斜边=b/c；tanA=∠A的对边/邻边=a/b。“看，数学家起名字很有规律，‘正’弦是对边比斜边，‘余’弦是余下的那条直角边（邻边）比斜边，‘正’切是对边比邻边。”将三个定义并列板书，形成清晰对比。2.学生活动：进行合理的数学猜想。小组合作，通过计算或观察几何画板，验证猜想。参与全班分享，聆听其他小组的结论。类比正弦，学习并识记余弦、正切的定义与符号。对比观察三个定义，寻找异同。3.即时评价标准：1.4.类比迁移能力：能否主动提出合理的猜想，并设计简单的验证思路。2.5.合作探究深度：验证过程是流于形式，还是能认真计算、观察并得出结论。3.6.结构化认知：能否清晰指出三个三角函数定义在“比”的前项、后项上的区别。7.形成知识、思维、方法清单：★余弦与正切定义：cosA=∠A的邻边/斜边；tanA=∠A的对边/邻边。至此，锐角三角函数的三个核心概念全部登场。★概念统整（锐角三角函数定义）：我们把∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数。它们都是∠A的“函数”，因为对于每一个确定的锐角A，这三个比值都是唯一确定的。“没错，就像给这个‘关系’起了个专门的名字，叫‘正弦’；它们一家子兄弟，统称‘锐角三角函数’。”任务四：概念辨析与关系初探1.教师活动：设计快速抢答和辨析活动。出示几个含有具体边长的直角三角形，提问如“sinB等于多少？”“cosA和sinB有什么关系？”。特别设计一个陷阱：在Rt△ABC中，∠C=90°，提问“sinA能不能等于BC/AC？”。引导学生辨析。进一步，引导学生观察同一个角的正弦、余弦、正切之间的关系，以及互余两角三角函数的关系（sinA=cosB）。“大家有没有发现，∠A的正弦和∠B的余弦，表达式居然是一样的？这是巧合吗？”引导学生从定义和∠A+∠B=90°的角度进行解释，渗透互余角的三角函数关系，为后续学习埋下伏笔。2.学生活动：参与抢答，快速应用定义进行计算。辨析错误说法，加深对定义细节的理解。观察、猜测互余角三角函数的关系，并尝试用定义证明：sinA=BC/AB，cosB=BC/AB，所以sinA=cosB。3.即时评价标准：1.4.反应速度与准确性：抢答环节能否快速、正确地给出答案。2.5.辨析的深刻性：能否指出错误原因，是混淆了边，还是混淆了函数名称。3.6.关系发现的敏锐度：能否观察到互余角正弦与余弦相等的现象，并尝试论证。7.形成知识、思维、方法清单：▲重要关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB,cosA=sinB。这个结论非常有用，它体现了三角函数的奇妙对称性。“记住‘互余正弦等于余弦’，可以帮我们快速转换视角。”★易错点警示：求三角函数值时，必须明确是哪个角的三角函数，以及使用的是哪两条边的比。顺序不能颠倒，边不能找错。“一定要做到‘名角对名边’，这是解三角题的第一要务。”任务五：示范与应用——已知两边求三角函数值1.教师活动：回到最初的“梯子问题”模型。给出一个具体例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求sinA,cosA,tanA的值。教师进行完整板演示范。第一步：“作战先看地形图！”画出图形，标出已知边。第二步：“要想用定义，三边需知三。”利用勾股定理求出斜边AB=5。第三步：“按定义，对号入座。”分别写出sinA=BC/AB=3/5，cosA=AC/AB=4/5，tanA=BC/AC=3/4。强调解题的规范步骤：画图（标记）→求所需边长（必要时用勾股定理）→代入定义求值。随后，将题目变式：已知AB=10，BC=6，求sinA和tanB。让学生模仿练习。2.学生活动：观看教师示范，学习规范的解题步骤与书写格式。在练习本上完成变式题，同桌互查。可能出现的问题是求tanB时，需先确定∠B的对边和邻边（AC和BC），而AC未知，需要先用勾股定理求出。3.即时评价标准：1.4.步骤完整性：是否遵循“画图求边代入”的三步法。2.5.计算准确性：勾股定理计算及比值化简是否正确。3.6.变式适应能力：在问题角度和已知条件变化时，能否灵活识别边角关系。7.形成知识、思维、方法清单：★基本应用步骤：已知直角三角形两边求锐角三角函数值，标准流程为：①构图标已知；②必要时（缺边）用勾股；③依定义，选边求比。“这三步好比我们解题的‘规定动作’，先练熟它。”▲思想方法：数形结合。三角函数是连接角（形）与比值（数）的桥梁。解题时图形与代数运算必须紧密结合。第三、当堂巩固训练  现在，请大家拿出学习任务单，完成巩固练习部分。我们分三个层次进行：1.基础层（全体必做，限时5分钟）：(1)在Rt△DEF中，∠E=90°，已知DE=5，EF=12，直接写出sinD,cosD,tanF的值。(2)判断题：在Rt△ABC中，∠C=90°，则sinA=BC/AB。()；则tanA=AC/BC。()“第一题是直接应用，看谁做得又快又准。第二题是‘大家来找茬’，要细心哦。”2.综合层（大多数学生完成，限时7分钟）：(3)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=6，AD=8，若∠B=α，求tanα的值。(4)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=4/5，BC=12，求AB和AC的长。“第3题要‘眼观六路’，找到α所在的直角三角形。第4题是‘逆向思维’，知道比值和一条边，反推其他边。”3.挑战层（学有余力者选做）：(5)探究：通过计算30°、45°角（在等腰直角三角形和含30°的直角三角形中）的正弦、余弦、正切值，你发现了什么特点？尝试记住这些特殊值。“挑战题是为好奇的探险家准备的，你会发现一些非常整洁漂亮的数字，它们在未来会像老朋友一样常见。”  反馈机制：完成后，首先进行同桌互评，用红笔批改基础题。教师巡视，收集综合层题目的典型解法与错误案例。随后，教师利用投影展示一位学生的优秀解答（步骤清晰）和一个典型错误（如第3题未正确找到α所在的Rt△ABD）。针对错误进行集中讲评：“看这个例子，问题出在把△ABC当成了直角三角形，但∠A未必是90°。我们必须让所研究的角‘住’在直角三角形里才行，这里需要锁定Rt△ABD。”对于挑战题，请做出来的同学分享其发现（如等腰直角三角形中，sin45°=cos45°，tan45°=1），激发全班兴趣。第四、课堂小结  同学们，经过一节课的探索，我们收获颇丰。现在，给大家3分钟时间，请结合板书，以小组为单位，用思维导图或结构图的方式，梳理本节课的核心内容。想一想：我们是如何一步步抽象出三个三角函数概念的？它们的定义、符号、区别与联系是什么？“请一位同学来分享一下你们组的‘知识地图’。”在学生分享的基础上，教师进行升华总结：本节课，我们从生活实例出发，通过“发现定值定义概念应用概念”的路径，构建了锐角三角函数的认知框架。其核心思想是函数思想和模型思想。我们不仅学到了三个新的数学符号，更掌握了一种用数值精确刻画角度、用数学模型解决实际问题的强大工具。  作业布置：1.必做题（巩固基础）：课本本节后对应练习13题。2.选做题（拓展应用）：尝试设计一种方案，利用今天的知识（一个锐角的三角函数和一条可测边长），计算学校国旗杆或教学楼的高度（只需写出方案步骤和所需工具，不需实际测量）。  下节课，我们将进一步学习如何利用计算器由角求值、由值求角，并解决更复杂的实际问题。“带着今天构建的这把‘三角尺’，我们将能丈量更广阔的世界。”六、作业设计基础性作业（必做）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，求sinA,cosA,tanA的值。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanA=3/4，求AC和AB的长。3.辨析概念：判断正误并改正：“在任意三角形中，sinA都等于对边比斜边。”（要求说明理由）设计意图：第1题直接套用定义，巩固基本求值步骤；第2题逆向应用定义，初步体验“知比值求边”；第3题强化概念成立的前提条件（直角三角形），深化概念理解。拓展性作业（建议完成）4.【情境应用题】如图，一个楼梯的剖面图，已知每级台阶的高度为15cm，深度为30cm。求楼梯斜坡与水平地面所成锐角α的正切值。这个值反映了楼梯的什么特性？5.【综合探究题】在网格纸中，给定两点A、B，请你构造一个点C，使得Rt△ABC中∠B的正弦值为0.6。（提示：先思考sinB=0.6意味着哪两条边的比是3:5？）设计意图：第4题将数学概念回归生活原型，理解正切值在实际中刻画坡度的意义；第5题将数值关系反向转化为几何构造，综合运用勾股定理、相似及三角函数定义，提升几何直观与综合应用能力。探究性/创造性作业（选做）6.【数学文化探究】查阅资料，了解“正弦”（sine）一词的历史渊源，它最初来自哪个文明？与“弦”有什么关系？制作一张简单的知识卡片。7.【跨学科小项目】三角函数在物理学（如力的分解）、工程学、音乐等领域有广泛应用。请选择一个你感兴趣的领域，查找一个简单实例，说明其中是如何运用三角函数概念的（可以图文结合）。设计意图：第6题链接数学史，增进文化理解，体会知识的演进；第7题打破学科壁垒，引导学生发现数学的工具价值，激发持久的学习内驱力，培养信息检索与整合能力。七、本节知识清单及拓展★1.锐角三角函数的起源问题：源于用“可测量的边长之比”来刻画“不易直接测量的角度大小”这一实际需求。核心是建立角与数之间的对应关系。★2.正弦（sin）定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=∠A的对边/斜边=a/c。教学提示：先找斜边（直角的对边），再找所关注锐角的对边。★3.余弦（cos）定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=∠A的邻边/斜边=b/c。记忆窍门：“余”弦，是“余”下的那条直角边（邻边）比斜边。★4.正切（tan）定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=∠A的对边/邻边=a/b。理解关键：正切值可以大于1，它描述的是直角边的“陡峭”对比。★5.概念的核心本质：对于确定的锐角A，其正弦、余弦、正切值都是唯一确定的比值。这体现了函数思想：角度是自变量，比值是因变量。★6.符号的含义：sinA、cosA、tanA都是一个整体符号，代表一个具体的数值（比值），不能理解为sin·A。▲7.边角的相对性：“对边”与“邻边”是针对所选锐角而言的。斜边固定不变。在不同位置的图形中要仔细辨认。★8.已知两边求三角函数值的一般步骤：①画图并标注已知；②利用勾股定理求所需第三边（若未知）；③根据定义，代入对应边长求比值。▲9.互余角的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB。应用价值：在解题时可以进行灵活转换。★10.锐角三角函数的取值范围：在初中阶段，对于锐角A，有0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。可从直角三角形边的大小关系推导。▲11.特殊角的三角函数值（初步感知）：在等腰直角三角形中，∠A=45°，sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1。在含30°的直角三角形中，sin30°=1/2,cos30°=√3/2,tan30°=√3/3。建议通过具体图形计算理解记忆。★12.易错点警示：使用三角函数定义时，必须确保角是锐角，且位于直角三角形中。在非直角三角形中直接套用定义是常见错误。八、教学反思  （一）目标达成度评估：本节课预设的知识与技能目标基本达成。通过课堂观察和巩固练习反馈，绝大多数学生能准确说出正弦、余弦、正切的定义，并能在标准图形中正确计算。能力目标方面，学生经历了有效的探究过程，但在“从具体比值抽象为函数概念”这一思维跃迁上，部分学生仍显吃力，更多地将sinA等视为一个静态的计算结果，而非动态的对应关系。这提醒我，函数思想的渗透需要更长的周期和更多的实例。情感目标在小组探究和解决实际问题的环节中得以实现，学生表现出较强的兴趣。  （二）环节有效性分析：导入环节的“梯子问题”成功创设了认知冲突，激发了探究动机。“当