2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅱ.理）高考数学（含答案）

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅱ.理）高考数学【含答案】2/22005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅰ卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)表的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=πR3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其是R表示球的半径Pn(k)=CPk(1－P)n－k一、选择题（1）函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（A）（B）（C）π（D）2π（2）正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形（3）函数y=－1（x≤0）的反函数是（A）y=(x≥－1)（B）y=－(x≥－1)（C）y=(x≥0)（D）y=－(x≥0)（4）已知函数y=tanωx在（－，）内是减函数，则（A）0＜ω≤1（B）－1≤ω＜0（C）ω≥1（D）ω≤－1(5)设a、b、c、d∈R，若为实例，则（A）bc+ad≠0（B）bc－ad≠0（C）bc－ad＝0（D）bc+ad=0（6）已知双曲线＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（A）（B）（C）（D）（7）锐角三角形的内角A、B满足tanA－=tanB,则有（A）sin2A－cosB=0（B）sin2A+cosB=0（C）sin2A－sinB=0（D）sin2A+sinB=0（8）已知点A（，1），B（0，0），C（，0）。设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中λ等于（A）2（B）（C）－3（D）－（9）已知集合M＝{x｜x2－3x－28≤0}，N={x|x2－x－6＞0}，则M∩N为（A）{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}（B）{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}（C）｛x|x≤－2或x＞3｝（D）{x|x＜－2或x≥3}（10）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位），设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（A）（－2，4）（B）（－30，25）（C）（10，－5）（D）（5，－10）(11)如果a1，a2，…a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（A）a1a8＞a4a5（B）a1a8＜a4a5（C）a1+a8＞a4+a5（D）a1a8=a4a5(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（A）（B）2+（C）（D）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。(13)圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为______________。(14)设α为第四象限的角，若，则tan2α=_______________。(15)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个。（16）下面是关于三棱锥的四个命题：① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。其中，真命题的编号是_____________________.(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）设函数f(x)=2|x＋1|－|x－1|,求使f(x)≥2的x取值范围。（18）（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn=,n=1,2,3….(Ⅰ)证明{bn}为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}各项的和S=,求数列{an}的首项a1和公差d.(注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前n项和的极限)（19）（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛、根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响。令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望。（精确0.0001）（20）（本小题满分12分）如图、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。（21）（本小题满分14分）P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且·=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。（22）（本小题满分12分）已知a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)ex.（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.参考答案一、选择题1-5CDBBC6-10CACAC11-12BC二、填空题13.(x－1)2+(y－2)2=4.14.－15.19216.①，④三、解答题17.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法.考查分析问题的能力和运算能力.满分12分.解：由于y=2x是增函数，f(x)≥2等价于|x+1|－|x－1|≥.①……2分(i)当x≥1时，|x+1|－|x－1|=2.……5分∴①式恒成立.(ii)当-1<x<1时，|x+1|－|x－1|=2x,①式化为2x≥.即≤x≤1.……8分(iii)当x≤－1时，|x+1|－|x－1|=－2,①式无解.综上，x取值范围是[，+∞）.……12分（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以能为运用这些知识的能力.满分12分.（Ⅰ）证明：∵lga1、lga2、lga4成等差数列，……2分∴2lga2=lga1+lga4，即a2=a1·a4.等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d),这样d2=a1d.从而d(d－a1)=0.……4分(i)若d=0，则{an}为常数列，相应{bn}也是常数列.此时{bn}是首项为正数，公式为1的等比数列.……6分(ii)若d=a1≠0，则=a1+(2n－1)d=2nd，bn=.这时{bn}是首项b1=，公比为的等比数列.综上知，{bn}为等比数列.……8分（Ⅱ）解：如果无穷等比数列{bn}的公比q=1，则当n→∞时其前n项和的极限不存在.因而d=a1≠0，这时公比q=，b1=.这样，{bn}的前n项和Sn=，则S=Sn==.……11分由S=得公差d=3，首项a1=d=3.……12分19.本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4.比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P(ξ=3)=0.63+0.43=0.28.……3分比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而P(ξ=4)=C32×0.62×0.4×0.6+C32×0.42×0.6×0.4=0.3744.……6分比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第五局甲胜或乙胜.因而P(ξ=5)=C42×0.62×0.42×0.6+C42×0.62×0.42×0.4=0.3456.……9分所以ξ的概率分布为ξ345P0.280.37440.3456ξ的期望Eξ=3×P(ξ=3)+4×P(ξ=4)+5×(ξ=5)=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=4.0656.……12分20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.方法一：（Ⅰ）证明：连结EP，∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内，∴PD⊥DE.又CE=ED，PD=AD=BC，∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE=BE.∵F为PB中点，……2分∴EF⊥PB.由三垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA.∵PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB.……6分（Ⅱ）解：不妨设BC=1，则AD=PD=1，AB=，PA=，AC=.∴△PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1，且AF⊥PB.∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB⊥平面AEF.连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF.……9分∠GAH为AC与平面AEF所成的角.由△EGC∽△BGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC=.由△EGH∽△EBF可知GH=BF=.∴sin∠GAH=.……12分AC与平面AEF所成的角为arcsin.方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系.（Ⅰ）证明：设E(a,0,0)，其中a>0，则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,,).=(0,,),=(2a,1,－1),=(2a,0,0).·=0，∴EF⊥PB.……3分·=0，∴EF⊥AB.又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B，∴EF⊥平面PAB.……6分（Ⅱ）解：由AB=BC，得a=.可得=(,－1,0),＝(,1,－1),cos<,>==异面直线AC、PB所成的角为arccos.……9分=(,－,),∴·=0，PB⊥AF.又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，∴PB⊥平面AEF.∴AC与平面AEF所成的角为－arccos(=arcsin).即AC与平面AEF所成的角为arcsin.……12分21.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力.满分14分.解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1.将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx－1=0.设P、Q两点的坐标分别为（x1,y1），（x2,y2），则x1=，x2=.……3分从而|PQ|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2.=，亦即|PQ|=……5分(i)当k≠0时，MN的斜率为－，同上可推得|MN|=故四边形面积S=|PQ|·|MN|==.令u=k2+，得S=,因为u=k2+≥2，当k=±1时，u=2,S=，且S是以u为自变量的增函数，所以≤S<2.……11分(ii)当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ|·|MN|=2.综合(i)，(ii)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为.……14分22.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）对函数f(x)求导数，得f＇(x)=(x2－2ax)ex+(2x－2a)ex=[x2+2(1－a)x－2a]ex,令f＇(x)=0，得[x2+2(1－a)x－2a]ex=0,从而x2+1(1－a)x－2a=0.解得x1=a－1－，x2=a－1+，其中x1<x2，当x