2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅲ.理）高考数学（含答案）

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅲ.理）高考数学【含答案】2/22005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第一卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、 已知为第三象限的角，则所在的象限是()A第一或第二象限B第二或第三象限C第一或第三象限D第二或第四象限2、已知过点和的直线与直线平行，则m的值为()ABCD3、若的展开式中的系数是()ABCD4、设三棱柱的体积为，分别是侧棱、上的点，且，则四棱锥的体积为()ABCD5、()ABCD6、若，则()Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDb<a<c7、设，且，则（）ABCD8、()ABC1D9、已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且，则点到轴的距离为（）ABCD10、设椭圆的两个焦点分别为，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）ABCD11、不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A3个B4个C6个D7个12、计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则（）A6EB72C5FDB0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。13、已知复数：，复数满足，则复数14、已知向量，，，且A、B、C三点共线，则__________15、设为平面上过点的直线，的斜率等可能地取，用表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望。16、已知在中，，是上的点，则点到的距离乘积的最大值是三、解答题：本大题共6个小题，共74分。17、（本小题满分12分）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小19、（本小题满分12分）中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（Ⅰ）求的值（Ⅱ）设，求的值。20（本小题满分12分）在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列成等比数列，求数列{}的通项21、（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。22、（本小题满分14分）已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；（Ⅱ）设，函数,，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案DBBCACCBCDDA二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。13．14．15．16．三、解答题：本大题共6个小题，共74分。17．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照”为事件C，由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A、B、C是相互独立事件。（Ⅰ）由已知得解得：，，所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5（Ⅱ）记的对立事件为，的对立事件为，的对立事件为，则：，，于是所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.718．方法一：（Ⅰ）证明：（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE∵△VAD是正三角形∴AE⊥VD，AE=AD∵AB⊥平面VAD∴AB⊥AE又由三垂线定理知BE⊥VD因此，是所求二面角的平面角于是，，即得所求二面角的大小为方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。（Ⅰ）证明：不妨设，则，由，得又，因而与平面内两条相交直线VA，AD都垂直。∴平面（Ⅱ）解：设为中点，则由，得，又因此，是所求二面角的平面角。∵∴解得所求二面角的大小为19．解：（Ⅰ）由得由及正弦定理得于是=（Ⅱ）由得，由可得，即由余弦定理得∴20．解：依题设得，∴，整理得∵，∴得所以，由已知得是等比数列由，所以数列也是等比数列，首项为1，公比为，由此得等比数列{kn}的首项，公比，所以即得到数列{kn}的通项为21．解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0∴上述条件等价于∵∴上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点。（Ⅱ）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程,得为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设的中点的坐标为，则，由，得，于是即得在轴上截距的取值范围为22．解：对函数求导，得