2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷.理）高考数学（含答案）

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷.理）高考数学【含答案】2/22005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II）参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）（）（A）；（B）；（C）1；（D）（2）函数的反函数图像大致是（）（A）（B）（C）（D）（3）已知函数，则下列判断正确的是（）（A）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（B）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（C）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（D）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（4）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）（A）（B）（C）（D）（5）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7（B）（C）21（D）（6）函数，若f(1)+f(a)=2则的所有可能值为（）（A）1（B）（C）（D）（7）已知向量a、b，且，，则一定共线的三点是（）（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、C、D（8）设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为（）（A）；（B）；（C）；（D）（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，，每人1张，至少有1人中奖的概率是（）（A）（B）（C）（D）（10）设集合A、B是全集的两个子集，则AB是的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（11），下列不等式一定成立的是（）（A）；（B）（C）；（D）（12）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4第II卷（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.（13）.(14)设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率.(15)设、满足约束条件则使得目标函数的值最大的点是.(16)已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：①若则；②若则；③若，则④是两条异面直线，若，则上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量和，且求的值.(18)(本小题满分12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中所有的白球的个数；（II）求随机变量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.（19）（本小题满分12分）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.(20)(本小题满分12分)如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.（I）求异面直线与所成的角；（II）求平面与平面所成的二面角（锐角）的大小；（III）求点到平面的距离.（21）（本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.(22)(本小题满分14分)已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案一、选择题题号123456789101112答案DBBDCCADDAAB二、填空题13、14、15、16、③④三.解答题：17.解法一：===由已知得.又，所以 ∴，∴，∴，∴解法二：====由已知得,∴，∴,∴18.（考查知识点：概率及分布列）解:(I)设袋中原有个白球,由题意知所以n(n-1)=6，解得(舍去)即袋中原有3个白球.(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5所以，取球次数的分布列为:12345(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记“甲取到白球”为事件,则P(A)=P(“=1”，或“=3”，或“=5”).因为事件“=1”、“=3”、“=5”两两互斥，所以19.（考查知识点：函数结合导数）(I)解因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=.当时，有，当变化时，与的变化如下表：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）解法一：由已知，得，即∵，∴即（*）设，其函数图象的开口向上，由题意（*）式恒成立，∴∴.即的取值范围为解法二：由已知，得，即，∵，∴（*）1*x=1时，（*）式化为0<1恒成立，∴。2*x≠1时，∵（*）式化为,令t=x－1，则t∈[－2,0)，记g(t)=t－,则g(t)在区间[－2,0)是单调增函数。∴g(t)min=g(－2)=由（*）式恒成立，必有又m<0，∴综上1*、2*知20．(考查知识点：立体几何)解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图。由已知可得。又平面，从而与平面所成的角为，又，，，从而易得（I）∵=即异面直线所成的角为（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由取∴即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，所以距离=所以点到平面的距离为解法二：(Ⅰ)连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K，∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直，∴又因此FK∥AE.∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角。连结BK，由FK⊥面BDDB得FK⊥BK。从而△BKF为Rt△在Rt△BKF1和Rt△B1D1A1由得FK===又 BF=∴cos∠BFK=。∴异面直线BF与AE所成的角为arcos。（Ⅱ）由于DA⊥面AA1B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG。∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角且∠DAG=90°，在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点S。∵F为A1B1的中点，A1F∥AB。∴A1、F分别为SA、SB的中点。即SA=2A1A=2=AB。∴Rt△BAS为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即F、G重合，易得AG=AF=SB=，在Rt△BAS中，AD=，∴tan∠AGD=∴∠AGD=arctan即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小为arctan（Ⅲ）由(Ⅱ)知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角所在的平面，∴面AFD⊥面BDF。在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离，由AH·DF=AD·AF，得所以点A到平面BDF的距离为。21．（考查知识点:数列）解：（Ⅰ）由已知∴两式相减，得，即，从而，当时∴又，∴，从而故总有，、又∵∴从而即是以为首项，2为公比的等比数列。（II）由（I）知。∵∴。从而==-===。由上-==12（*）当时，（*）式=0∴；当时，（*）式=－12∴当时，又∴即（*）从而（或用数学归纳法：n≥3时，猜想由于n-1>0，只要证明2n>2n+1。事实上，1*当n=3时，23>2×3+1不等式成立，2*设n=k时（k≥3），有2k>2k+1则2k+1>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1).∵k≥3，∴2k-1>0.从而2k+1>2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1即n=k+1时，亦有2n>2n+1.综上1*、2*知，2n>2n+1对n≥3，n∈N*都成立。∴n≥3时，有）综上n=1时，n=2时，n≥3时，22、（考查知识点:圆锥曲线）解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线