2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ.理）高考数学（含答案）

2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ.理）高考数学【含答案】2/22009普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学（理科）本卷本12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。参考公式如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）。如果时间A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）。如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率球的表面积公式 其中R表示球的半径球的体积公式其中R表示球的半径一、选择题：1．=A．-2+4i B．-2-4i C．2+4i D．2-4i2．设集合A=＞，B=＜，则AB=A． B．（3，4） C．（-2，1） D．（4，）3．已知△ABC中，=，则=A． B． C． D．4．曲线在点（1，1）处的切线方程为：A．B．C．D．5．已知正四棱柱ABCD—中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余炫值为A． B．C．D．6．已知向量a=（2，1），A． B． C．5 D．257．设则A． B． C． D．8．若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为A． B． C． D．9．已知直线与抛物线相交与A、B两点，F为C的焦点。若，则k=A． B． C． D．10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A．6种

B．12种

C．30种

D．36种11．已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为

的直线交C于A、B两点。若

则C的离心率为A． B． C． D．12．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A．南 B．北 C．西 D．下第II卷（非选择题，共90分）本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上。。13．的展开式中的系数为14．设等差数列{}的前n项和为，若。则=15．设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于，则球O的表面积等于16．已知AC、BD为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为三解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）设的内角A,B,C,的对边长分别为a，b，c，，=ac，求B.18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC,,D、E分别为、的中点，平面．（Ⅰ）证明：=；（Ⅱ）设二面角为，求与平面BCD所成角的大小．19．本小题满分12分设数列{}的前n项和为，已知=1，=4+2（1）设=-2，证明数列{}是等比数列；（11）求数列{}的通项公式.20．（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，先采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望.21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交与A、B两点，当的斜率为1时，坐标原点O到的距离为.（Ⅰ）求a，b的值。（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某位置时，有成立？若存在，求出所有的P点坐标与l的方程；若不存在，说明理由。22．（本小题满分12分）设函数f（x）=x+aln（1+x）有两个极值点x，x，且x<x。（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x）>。2009普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学（理科）参考答案一、选择题：1．解：原式。故选A.2．解：..故选B.3．解：已知中，，.故选D.4．解：,故切线方程为,即故选B.5．解：令则,连∥异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C6．解：。故选C7．解：.故选A.8．解：，又.故选D9．解：设抛物线的准线为，直线恒过定点P.过分别作于,于,由,则,点B为AP的中点.连结,则,点的横坐标为,故点的坐标为,故选D10．解：用间接法即可.种．故选C11．解：设双曲线的右准线为,过分别作于,于,,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又故选A12．B解：展、折问题。易判断选B第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。13．6。解：，只需求展开式中的含项的系数：14．9解：为等差数列，15．.解：设球半径为，圆的半径为，因为。由得.故球的表面积等于.16．5解：设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．分析：由，易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得或（舍去）.故。事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。18．（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF,从而DA。连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE.又从而，所以（II）作于，连，则，为二面角的平面角，.设由由得解得故因为连接AE、DF，设连接CH，则为B1C与平面BCD所成的角因ADEF为正方形，所以。19．解：（I）由及，有由，．．．①则当时，有．．．．．②②－①得又，是首项，公比为2的等比数列．（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列．，评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置，主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20．解：（I）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人。（II）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则（III）的可能取值为0，1，2，3Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0,1,2B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人。Ai与B独立，i=0,1,2.，，，故的分布列为0123P21．解：（I）设，直线，由坐标原点到的距离为则，解得.又.（II）由（I）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有：．．．．．．．．①.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点，点P在椭圆上，即。整理得。又在椭圆上，即.故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②将及①代入②解得,=,即.当;当.评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角