2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ.理）高考数学（含答案）

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ.理）高考数学【含答案】2/2绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径一．选择题（1）复数A． B． C．12-13 D．12+13（2）记,那么A． B．- C． D．-（3）若变量满足约束条件则的最大值为A．4 B．3 C．2 D．1（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=A． B．7 C．6 D．（5）的展开式中x的系数是A．-4 B．-2 C．2 D．4（6）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A．30种 B．35种 C．42种 D．48种（7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为A． B． C． D．（8）设a=2，b=ln2，c=，则A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a（9）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为A． B． C． D．（10）已知函数f（x）=|lgx|，若0<a<b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是A． B． C． D．（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为A． B． C． D．（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为A． B． C． D．第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）（13）不等式的解集是.（14）已知为第三象限的角，，则.（15）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是.（16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）已知的内角，及其对边，。满足，求内角。（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3，各专家独立评审。（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（II）记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC。（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：.（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D。（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知数列中，.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围。2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）数学（理科）参考答案选择题1．A 2．B 3．B 4．A 5．C 6．A7．D 8．C 9．B 10．C 11．D 12．B二、填空题 13．{｜} 14． 15．（1，） 16．三、解答题17．解： 由a+b=acotA+bcotB及正弦定理得 sinA+sinB=cotA+cosB， sinA-cotA=cosB-sinB，从而sinaAcos-cosAsin=cosBsin-sinBcos， sin（A-）=sin（-B）。 又0<A+B<， 故A-=-B， A+B=， 所以，C=。18．解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用。 则D=A+B·C P（A）=0.5×0.5=0.25，P（B）=2×0.5×0.5=0.5，P（C）=0.3 P（D）=P（A+B·C） =P（A）+P（B·C） =P（A）+P（B）P（C） =0.25+0.5×0.3 =0.40（Ⅱ）X~B（4,0.4），其分布列为： P（X=0）=（1-0.4）4=0.1296， P（X=1）=×0.4×（1-0.4）3=0.3456， P（X=2）=×0.42×（1-0.4）2=0.3456， P（X=3）=×0.43×（1-0.4）=0.1536， P（X=4）=0.44=0.0256。 期望EX=4×0.4=1.619．解法一：（Ⅰ）连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG=GC=BG=1,即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD。 又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD， 所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE。 作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE。DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直。 DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB。………………4分 SB=， DE= EB=，SE=SB-EB= 所以，SE=2EB。（Ⅱ）由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知AE=，又AD=1，故△ADE为等腰三角形。取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF=。连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE。所以，∠AFG是二面角A—DE—C的平面角。连结AG，AG=，FG=，，所以，二面角A—DE—C的大小为120°。解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如下图所示的直角坐标系D—xyz，设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2）。（Ⅰ）（0，2，-2），（-1，1，0）。设平面SBC的法向量为n=（a，b，c），由n⊥，n⊥得n•=0，n•=0。故2b-2c=0，-a+b=0，令a=1，则b=1，c=1，n=（1,1,1），又设，则，，。设平面CDE的法向量m=（x，y，z），由m⊥，m⊥，得 m•=0，m•=0。故 ，2y=0。令x=2，则m=（2，0，）。由平面DEC⊥平面SBC的m⊥n，m·n=0，2-=0，=2。故SE=2EB。（Ⅱ）由（Ⅰ）知E（），取DE中点F，则F（），，故，由此得FA⊥DE。又，故，由此得EC⊥DE，向量与的夹角等于二面角A—DE—C的平面角。于是，，所以，二面角A—DE—C的大小为120°。20．解：（Ⅰ），xf′（x）=xlnx+1，题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a，令g（x）=lnx-x，则g’（x）=。当0<x<1时，g’（x）>0；当x≥1时，g’（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点， g（x）≤g（1）=-1。综上，a的取值范围是[-1,+∞）。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；当0<x<1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1） =lnx+x（lnx+-1） =lnx-x（ln-+1） ≥0所以（x-1）f（x）≥021．解： 设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，-y1），的方程为x=my-1（m≠0）（Ⅰ）将x=my-1代入y2=4x并整理得 y2-4my+4=0 从而y1+y2=4m，y1y2=1 直线BD的方程为：y-y2= 即y-y2= 令y=0，得x= 所以点F（1，0）在直线BD上。（Ⅱ）由①知： x1+x2=（my1-1）（my2-1）=4m2-2， x1x2=（my1-1）（my2-1）=1 因为=（x1-1，y1），=（x2-1，y2）， ·=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+4=8-4m2 故 8-4m2= 解得m=± 所以的方程为： 3x+4y+3=0，3x-4y+3=0 又由①知：y2-y1=± 故直线BD的斜率： 因而直线BD的方程为：3x+y-3=0，3x-y-3=0 因为KF为∠BKD的平分线，故