1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷.文）高考数学试卷（含答案）

1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷.文）高考数学试卷【含答案】2/21997年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学第I卷一、选择题:本大题共15小题;第（1）-（10）题每小题4分,第（11）-（15）题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N=（A）｛x│0≤x<1｝（B）｛x│0≤x<2｝（C）｛x│0≤x≤1｝（D）｛x│0≤x≤2｝（2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是（6）满足tga≥ctga的角a的一个取值区间是（7）设函数y=f（x）定义在实数集上,则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于（A）直线y=0对称（B）直线x=0对称（C）直线y=1对称（D）直线x=1对称（8）长方体一个项点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是（9）如果直线l将圆:x2+y2-2x-4y=0平分,且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范围是（10）函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为是（12）圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是（13）定义在区间（-∞,+∞）的奇函数f（x）为增函数;偶函数g（x）在区间[0,+∞]的图象与f（x）的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f（b）-f（-a）>g（a）-g（-b）;②f（b）-f（-a）<g（a）-g（-b）;③f（a）-f（-b）>g（b）-g（-a）④f（a）-f（-b）<g（b）-g（-a）.其中成立的是（A）①与④（B）②与③（C）①与③（D）②与④（15）四面体的一个顶点为A,从其它项点与各棱的中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有（A）30种（B）33种（C）36种（D）39种第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.（17）已知直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是__________.（19）已知m、l是直线，α、β是平面,给出下列命题:①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;其中正确的命题的序号是______________.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（20）（本小题满分10分）（21）（本小题满分11分）（22）（本小题满分12分）甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比,且比例系数为b;固定部分为a元.（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数,并指出这个函数的定义域;（Ⅱ）为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？（23）（本小题满分12分）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.（Ⅰ）证明AD⊥D1F;（Ⅱ）求AE与D1F所成的角;（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;（Ⅳ）设AA1=2,求三棱锥E-AA1F的体积VE-AA1F.（24）（本小题满分12分）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上;（Ⅱ）当BC平行于x轴时,求点A的坐标.（25）（本小题满分12分）参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。第（1）-（10）题每小题4分,第（11）-（15）题每小题5分.满分65分.（1）B （2）B （3）A （4）C （5）B （6）C （7）D （8）C（9）A （10）B （11）A （12）D （13）C （14）C （15）B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.注:第（19）题多填、漏填和错填均给0分.三、解答题（20）本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识,考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力.满分10分.解法一：将已知复数化为复数三角形式:2分依题意有zω+zω38分解法二:zω+zω3=zω（1+ω2）4分8分（21）本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识,考查运算能力.满分11分.解：设等差数列｛an｝的首项a1=a,公差为d,则通项为an=a+（n-1）d,前n项和为,2分依题意有其中S5≠0.由此可得4分整理得解方程组得8分由此得an=1;8分（22）本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.满分12分.本为,4分故所求函数及其定义域为.5分（Ⅱ）依题意知S,a,b,v都为正数,故有.因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即当v=c时,全程运输成本y最小.（23）本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,考查逻辑推理和空间想象能力.满分12分.解：（Ⅰ）∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D1F面DC1,∴AD⊥D1F.2分（Ⅱ）取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,∠AHA1是AE与D1F所成的角.因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°,也即直线AE与D1F所成的角为直角.5分（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F,由（Ⅱ）知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1.7分（Ⅳ）∵体积VE-AA1F=VF-AA1E,又FG⊥面ABB1A1,三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2,（24）本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查运算能力和分析问题的能力,满分12分.解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x1,x2,由题设知,x1>1,x2>1.则点A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上,2分点C、D坐标分别为（x1,log2x1）,（x2,log2x2）.,4分.由此可知,k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.7分（Ⅱ）由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2,.9分代入x2log8x1=x1log8x2得.由于x1>1知log8x1≠0,.12分（25）本小题主要考查轨迹的思想,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解：设圆P的圆心为P（a,b）,半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆Pr2=2b23分又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.