8.1平方根第2课时 算术平方根与平方根关系、算术平方根的性质及应用（教学设计）初中数学人教版（2024）七年级下册

8.1平方根（第2课时)（教学设计）1.教学内容本课时是人教新版七年级下册第八章《实数》8.1平方根的第2课时，核心内容包括：1.进一步探究平方根的性质；2.利用平方根的性质解决简单计算与实际问题；3.平方根与算术平方根的联系与区别。2.内容解析平方根是实数的基础内容，承接七年级上册有理数的运算，为后续立方根、实数的运算及二次根式的学习奠定基础。本课时在第一课时算术平方根的基础上，拓展到平方根的完整概念，是从“非负平方根”到“正负平方根”的认知延伸，帮助学生建立对“开方运算”的全面理解。本课时通过对平方根性质的探究，培养学生的逻辑推理素养；通过符号表示与计算，提升数学抽象和运算能力；通过实际问题应用，强化数学建模意识。本课时知识点抽象性较强，符号表示易混淆（如和），需结合具体实例和对比分析突破难点；性质的探究过程需体现“观察—猜想—验证—归纳”的思维路径。基于以上分析，确定本节课教学重点是:平方根的性质（正数、0、负数的平方根情况）；平方根的符号表示与解决实际问题及简单计算；算术平方根与平方根的区别与联系。教学目标（1）掌握平方根的性质，明确正数有两个平方根、0的平方根是0、负数没有平方根；能正确区分算术平方根与平方根的符号表示，会用符号表示一个数的平方根；能根据平方根的性质进行简单的计算（如求一个数的平方根、根据平方根求原数）。（2）通过类比算术平方根的定义，探究平方根的概念与性质，体会“从特殊到一般”的探究方法；借助实例对比算术平方根与平方根的区别与联系，提升分析、归纳能力；通过典型例题和真题练习，巩固知识应用，培养规范解题的习惯。（3）在探究过程中感受数学知识的连贯性与逻辑性，激发学习数学的兴趣；增强学好数学的自信心；培养严谨的数学思维和实事求是的科学态度。2.目标解析（1）平方根的性质是本课时的核心，要求学生不仅能记忆“正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根”，还能结合具体数字（如4、0、-2）说明理由；符号表示是重点技能，需让学生明确表示算术平方根（非负），表示平方根，能准确写出给定正数的平方根（如）；计算能力需达到“给定一个非负数，能快速求出其平方根；给定一个数的平方根，能求出原数”（如已知是121的平方根，求的值）；实际问题应用需能将文字信息转化为数学问题，如“一个正方形的面积是25平方米，求它的边长的平方根”。（2）类比算术平方根的探究过程，引导学生自主提出“如果一个数的平方等于，这个数除了算术平方根还有其他情况吗”的问题，逐步推导平方根的性质；通过列表对比算术平方根与平方根的定义、符号、个数、取值范围等，帮助学生构建清晰的知识框架；例题教学中强调解题步骤的规范性，如求平方根时需先判断被开方数的正负，再根据性质求解。（3）通过探究负数没有平方根的原因，让学生体会数学的严谨性；结合生活中与平方根相关的实例（如正方形场地的边长计算、折叠问题等），让学生感受数学与生活的联系；鼓励学生在练习中主动发现错误、纠正错误，培养勇于探索的精神。学生在第一课时已学习算术平方根的定义、表示方法及非负性，能求出非负数的算术平方根；掌握了有理数的平方运算，知道任何有理数的平方都是非负数，这为探究平方根的性质奠定了基础。七年级学生处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对抽象的符号表示和性质推导容易产生困惑；注意力集中时间有限，需通过情境创设、实例分析、互动练习等方式保持学习兴趣；容易混淆相近概念（如算术平方根与平方根），需通过对比强化区分。可能忽略被开方数的非负性，出现“求-9的平方根”这类错误；符号使用不规范，如将“4的平方根”写成（正确应为)；对“平方根是互为相反数”的理解不深刻，在解决“已知一个数的平方根是2x+1和x-4，求这个数”时容易出错。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解“负数没有平方根”的本质原因（平方运算的非负性）；准确区分如和的含义，探究有多大。创设情景，引入新课回顾旧知：上节课我们学习了算术平方根，谁能说说“4的算术平方根是多少？”“0的算术平方根是多少？”“-4有算术平方根吗？”（学生交流回答：；；-4没有算术平方根）。提出问题：小明家有一块面积为25平方米的正方形花园，他想知道“这个正方形花园的边长是多少？”，我们可以用算术平方根求出边长为5米。但如果问题变成“这个正方形花园的边长的平方等于25，那么边长可能还有其他值吗？”“如果面积是16平方米、9平方米，情况又会怎样？”引出课题：继续学习8.1平方根第2课时（板书课题）。（设计意图：通过问题情景，引入新课.）探究点1平方根与算术平方根的定义与性质追问1：平方根和算术平方根的定义是什么？你能举例说明吗？一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果，那么叫做a的平方根。举例说明：因为，，所以5和-5都是25的平方根；因为，所以0的平方根是0；因为任何数的平方都不是负数，所以-25没有平方根。总结归纳：抽象定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）。追问2：平方根有什么性质？①正数有几个平方根？它们之间有什么关系？②0有几个平方根？是多少？③负数有平方根吗？为什么？正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。追问3：平方根和算术平方根的符号如何表示？正数a的两个平方根，一个是算术平方根，另一个是，合起来记作（读作“正、负根号\(a\)”）。其中a叫做被开方数，且。（设计意图：进一步明确平方根与算术平方根的定义,进一步探究平方根的性质及表示.）探究点2平方根与算术平方根的关系思考类比:算术平方根与平方根的区别与联系：学生思考讨论填写下表：对比项目算术平方根平方根定义如果，则是a的算术平方根如果，则是a的平方根符号表示个数1个2个（互为相反数）取值范围非负数（）一正一负（正数的平方根）、0（0的平方根）联系算术平方根是平方根中的非负部分；平方根包含算术平方根（设计意图：类比平方根与算术平方根的区别与联系.）探究点3算术平方根值的性质问题:求下列各数的算术平方根:(l)100;(2)(3)0.0001.学生根据定义得出结论:（1)因为10²=100、所以100的算术平方根是10，即;(2）因为，所以的算术平方根是,即;(3)因为0.01²=0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即.观察上面的结论,你能得出被开方数与它的算术平方根有什么关系:被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这个结论对所有正数都成立.（设计意图：通过求算术平方根的值得到被开方数与它的算术平方根有什么关系,为进一步探究有多大做铺垫.）探究点4面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大?探究:怎样用两个面积为1dm²的小正方形拼成一个面积为2dm²的大正方形，这个大正方形的近长是多少?引导学生利用下面的方法探究面积为2dm²正方形连长:如图81-2，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形排在一起，就得到一个面积为2dm”的大正方形设大正方形的边长为：，则由边长的实际意义可知，所以大正方形的边长是dm.探究：有多大呢？因为,，，所以；因为，,，所以；因为，,，所以；1.41²=1.9881,1.42²=2.0164,1.41²<2<1.42²，所以1.41<<1.42;因为1.414²=1.999396,1.415²=2.002225,1.414²<2<1.415²，所以1.414<<1.415;......如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围，事实上，=1.414213562373...，它是一个无限不循环小数。实际上，很多正有理数的算术平方根（例如3，5，6等）都是无限不循环小数.归纳:无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数。我们前面学习的圆周率就是一个无限不循环小数.(设计意图:进一步强化算术平方根的应用,同时为下一节课继续学习做铺垫)典型例题例1：已知一个数的平方根是2x-3和x+6，求这个数【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可得2x-3与x+6的和为0。【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以(2x-3)+(x+6)=0解得：x=-1则2x-3=-2-6=-5，x+6=-1+6=5,因为，所以这个数是25.例2.已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值。【分析】因为，所以的整数部分a=2，小数部分；可以求出的值。【详解】因为，所以，所以的整数部分a=2，所以小数部分；所以课本课堂练习1、2、3.；参考答案：1.(1)0.3;(2);(3)5.2.（1）6；（2）；（3）.3.（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）1.已知．(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．【详解】（1）解：∵的算术平方根为3，∴，解得；（2）①当时，即，解得，∴，，∴这个数为；②当时，即，解得，∴，，∴这个数为，综上所述，这个数为1或25．（设计意图：强化平方根和算术平方根的运用）1．(2025.岳西质检)若一个正数m的两个平方根分别是和，求a和m的值．【详解】解：根据题意可得：，解得：，2.(2025.安庆校考)求式子中的值：【详解】3．(2025.揭阳质检)数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分”．张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：(1)的小数部分是a，的整数部分是b，求的值．(2)已知，其中x是一个整数，，求的值．【详解】（1）解：∵，，∴，．∴，．∴；（2）解：∵，∴，∵x是一个整数，，∴，，∴．∴原式．（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）知识总结：(1)平方根的定义：若，则是的平方根；(2)平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；符号表示：正数a的平方根为，算术平方根为；(3)很多正有理数的算术平方根（例如3，5，6等）都是无限不循环小数,无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数,(4)算术平方根与平方根的联系：算术平方根是平方根的非负部分。方法总结：(1)求一个数的平方根时，先判断被开方数是否为非负数，再根据平方运算逆推；(2)解决与平方根相关的含字母问题时，利用“正数的两个平方根互为相反数”或“被开方数非负”建立方程；(3)区分算术平方根与平方根时，可通过符号、个数、取值范围对比记忆。易错提醒：(1)忽略被开方数的非负性，如求-4的平方根（错误，负数无平方根）；(2)混淆算术平方根与平方根，如错误认为)（表示算术平方根，等于5）；(3)解