六年级奥数经典题型讲解及训练册

六年级奥数经典题型讲解及训练册同学们，当你们迈入六年级，数学学习的广度和深度都有了新的提升。奥数，作为思维的体操，不仅能帮助我们应对各类升学挑战，更重要的是能锻炼我们的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。这本讲解及训练册，精选了六年级奥数中最经典、最常考的几类题型，希望能成为你们学习路上的良师益友。请记住，解题的关键在于理解和思考，而非死记硬背。让我们一起探索其中的奥秘吧！一、行程问题——相遇与追及的奥秘行程问题是奥数中的“老熟人”，也是最能体现分析能力的题型之一。它变化多端，但核心离不开“路程=速度×时间”这个基本关系。我们需要仔细分析运动物体的方向、速度变化以及出发时间差等因素。解题思路概述1.明确运动状态：是相遇还是追及？是同向而行还是相向而行？是否有折返？2.画出线段图：这是解决行程问题的“万能钥匙”，能直观地展示路程、速度、时间之间的关系。3.寻找等量关系：根据题目描述，找出路程之间的等量关系，例如相遇问题中，两者路程之和等于总路程；追及问题中，两者路程之差等于初始距离。4.灵活运用公式：在基本公式基础上，结合题目条件变形公式，如速度和×相遇时间=总路程，速度差×追及时间=追及路程。经典例题详解例题1：相遇问题甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走60米，乙每分钟走70米，经过4分钟两人相遇。A、B两地相距多少米？分析与解答：这是一道典型的相遇问题。*运动状态：相向而行，最终相遇。*线段图：（此处可自行脑补或画出简单线段图：A点————相遇点————B点，甲从A出发，乙从B出发，在中间相遇）*等量关系：甲走的路程+乙走的路程=A、B两地距离。*计算过程：甲4分钟走的路程：60米/分钟×4分钟=240米乙4分钟走的路程：70米/分钟×4分钟=280米A、B两地距离：240米+280米=520米或者，利用“速度和×相遇时间=总路程”：速度和：60+70=130（米/分钟）总路程：130米/分钟×4分钟=520米*答：A、B两地相距520米。例题2：追及问题小明和小红在环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行。小明每秒跑5米，小红每秒跑3米，跑道一圈长200米。问：经过多少秒小明第一次追上小红？分析与解答：这是一道环形跑道上的追及问题。*运动状态：同向而行，快者追慢者。*线段图/理解：小明速度快，小红速度慢，小明要追上小红，就必须比小红多跑一圈（200米）。*等量关系：小明跑的路程-小红跑的路程=跑道一圈的长度（追及路程）。*计算过程：设经过t秒小明第一次追上小红。小明跑的路程：5t米小红跑的路程：3t米根据等量关系：5t-3t=2002t=200t=100*答：经过100秒小明第一次追上小红。巩固训练1.基础题：甲、乙两车从相距450千米的两地相对开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米。几小时后两车相遇？2.提高题：一辆客车和一辆货车同时从甲城开往乙城，客车每小时行80千米，货车每小时行60千米。客车到达乙城后立即返回，4小时后与货车相遇。甲、乙两城相距多少千米？（提示：相遇时两车共行了两个甲、乙两城的距离）3.挑战题：甲、乙两人在相距120米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。如果他们同时分别从直路两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇了多少次？（提示：注意区分迎面相遇和追及相遇，六年级阶段可先重点考虑迎面相遇）二、工程问题——效率与时间的协作工程问题主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题通常不给出具体的工作总量，而是把它看作单位“1”，这是解决工程问题的核心思想。解题思路概述1.确定工作总量：通常将工作总量设为单位“1”。2.表示工作效率：工作效率是指单位时间内完成的工作量。如果某人单独完成一项工作需要n天（或小时等），那么他的工作效率就是1/n。3.分析工作方式：是单独工作还是合作工作？合作时，总的工作效率等于各部分工作效率之和。4.利用公式求解：工作总量=工作效率×工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间。经典例题详解例题1：基本合作问题一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲、乙两人合作，几天可以完成这项工程？分析与解答：*工作总量：设为单位“1”。*工作效率：甲的工作效率：1÷10=1/10（每天完成工程的1/10）乙的工作效率：1÷15=1/15（每天完成工程的1/15）*合作效率：甲、乙合作每天完成的工作量是两人效率之和。合作效率：1/10+1/15通分计算：3/30+2/30=5/30=1/6*合作时间：工作总量÷合作效率=1÷(1/6)=6（天）*答：甲、乙两人合作，6天可以完成这项工程。例题2：含休息的工程问题一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人合作，甲中途休息了2天，乙中途休息了若干天，从开始到完工共用了10天。乙休息了多少天？分析与解答：*工作总量：设为单位“1”。*工作效率：甲的效率：1/12，乙的效率：1/18。*工作时间分析：总工期10天，甲休息了2天，所以甲实际工作了10-2=8天。设乙休息了x天，则乙实际工作了10-x天。*工作量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量“1”。甲的工作量：(1/12)×8=8/12=2/3乙的工作量：(1/18)×(10-x)所以：2/3+(10-x)/18=1*解方程：两边同时乘以18去分母：12+10-x=1822-x=18x=22-18=4*答：乙休息了4天。巩固训练1.基础题：一项工作，甲单独做8小时完成，乙单独做6小时完成。两人合作几小时可以完成这项工作的3/4？2.提高题：一池水，单开甲管需要12小时注满，单开乙管需要15小时注满。现在甲、乙两管同时打开，几小时可以注满这池水的3/5？3.挑战题：一项工程，甲、乙合作需要6天完成。如果甲先做4天，乙再做9天也可以完成。问：乙单独做这项工程需要多少天？（提示：将“甲先做4天，乙再做9天”转化为“甲乙合作4天，乙再单独做5天”）三、几何图形面积计算——巧思妙解六年级奥数中的几何问题，不再局限于基本图形的面积计算，更多的是涉及到组合图形、不规则图形的面积，需要我们运用平移、旋转、割补、等积变换等技巧，将复杂问题简单化。解题思路概述1.观察图形特征：仔细观察图形由哪些基本图形（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆等）组合而成。2.运用“转化”思想：*分割法：将组合图形分割成若干个基本图形，分别计算面积后求和。*添补法（补形法）：给不规则图形添上一部分，使其成为一个规则的或更容易计算的大图形，用大图形面积减去添补部分面积。*平移/旋转法：将图形的某一部分进行平移或旋转，使其与另一部分组合成基本图形。*等积变换：利用三角形等底等高面积相等，或平行线间距离处处相等带来的面积关系进行转化。3.牢记基本公式：熟练掌握各种基本图形的面积公式是解题的基础。经典例题详解例题1：分割法求面积求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（假设图形是一个边长为6厘米的正方形，内部有一个底边为正方形边长、顶点在对边中点的三角形阴影）（此处请自行想象或简单绘制：一个正方形，从左上角到右下角下方一点连接形成的三角形，或者更简单的，一个正方形内接一个顶点在对边中点的三角形）为了方便讲解，我们假设一个具体图形：一个边长为4厘米的正方形ABCD，E为BC边的中点，连接AE、DE，求三角形ADE的面积。分析与解答：*图形特征：正方形内有一个三角形。*分割/直接计算：三角形ADE的底和高可以直接找到吗？正方形边长AD=4厘米，若以AD为底，则三角形ADE的高就是正方形的边长AB（或CD）的长度，因为E点在BC边上，BC边到AD边的距离就是正方形的边长。*计算过程：三角形ADE的底AD=4厘米，高=正方形边长=4厘米。面积=底×高÷2=4×4÷2=8（平方厘米）（如果是其他阴影情况，比如正方形减去两个空白三角形，则用正方形面积减去空白面积。）*答：阴影部分面积是8平方厘米。例题2：添补法求面积求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（假设图形是一个边长为10厘米的正方形，右上角有一个半径为5厘米的扇形缺口，求剩余部分面积，即阴影部分）分析与解答：*图形特征：一个正方形，右上角被挖去一个扇形（1/4圆）。*添补思路：阴影部分面积=正方形面积-扇形面积。*计算过程：正方形面积=边长×边长=10×10=100（平方厘米）扇形半径r=5厘米（因为是右上角，半径应为正方形边长的一半，假设正方形边长10cm，则半径5cm）扇形面积=(1/4)×π×r²=(1/4)×π×5²=(25/4)π≈(25/4)×3.14=19.625（平方厘米）阴影部分面积=100-19.625=80.375（平方厘米）*答：阴影部分面积约为80.375平方厘米。（若题目要求保留π，则为100-25π/4）例题3：等积变换如下图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的中点，三角形ABE的面积是12平方厘米。求平行四边形ABCD的面积。分析与解答：*图形特征：平行四边形，E为BC中点。*等积变换思路：连接AC，平行四边形对角线将其分成面积相等的两个三角形，即S△ABC=S△ADC=1/2S平行四边形ABCD。E是BC中点，所以BE=EC。△ABE和△AEC等底（BE=EC）同高（从A点向BC边作的高），所以它们的面积相等。*计算过程：S△ABE=12平方厘米，所以S△AEC=12平方厘米。S△ABC=S△ABE+S△AEC=12+12=24平方厘米。S平行四边形ABCD=2×S△ABC=2×24=48平方厘米。*答：平行四边形ABCD的面积是48平方厘米。巩固训练1.基础题：一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，在它内部画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？（π取3.14）2.提高题：求下图阴影部分面积（单位：厘米）。（假设图形为一个直角三角形，两直角边分别为6厘米和8厘米，斜边为直径画一个半圆，求半圆面积与三角形面积之差的那部分，即月牙形，但具体需明确图形，此处假设有一个边长为5厘米的正方形，其中有一个半径为5厘米的四分之一圆和一个直径为5厘米的半圆，求重叠或特定阴影）（为了可解，设定一个具体图形：边长为4厘米的正方形，以左上角顶点为圆心，边长为半径画一个四分之一圆；以底边中点为圆心，底边一半（2厘米）为半径画一个半圆。求两个圆弧所围成的阴影部分面积。）3.挑战题：如下图，梯形ABCD的上底AD=3厘米，下底BC=9厘米，高是4厘米。E是BC边上的一个点，且BE=6厘米，EC=3厘米。连接AE、DE，求三角形ADE的面积。（提示：利用梯形的高，或通过总面积减去其他部分）---写在最后同学们，奥数的世界充满了挑战与乐趣。这本小册子里的三种题型——行程问题、工程问题和几何图形面积计算，都是六年级阶段的重中之重。每一道例题都值得我们反复琢磨，每一次练习都是思维的磨砺。请记住，解题的目的不仅仅是得到一个答案，更重要的是理解其背后的原理和方法，培养自己分析问题和解决问题的能力。遇到难题时，不要轻易放弃，多画图、多思考、多尝试，你会发现其中的规律和奥秘。祝大家在奥数的探索之路上越走越远，收获满满！参考答案（部分提示）行程问题巩固训练1.基础题：5小时。（450÷(50+40)=5）2.提高题：280千米。（(80+60)×4÷2=280）3.挑战题：10次。（先算迎面相遇：共行一个全程相遇一次，10分钟共行(3+2)×60×10=3000米，3000÷(120×2)=12.5，取整数12次？需更精确分析，六年级可简化考