初中数学知识点归纳及同步测试

初中数学知识点归纳及同步测试一、数与式（一）实数核心知识点：1.实数的分类：有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）。2.数轴：三要素（原点、正方向、单位长度），实数与数轴上的点一一对应。3.相反数与绝对值：*相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数。零的相反数是零。*绝对值：一个数在数轴上所对应点到原点的距离，具有非负性。4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。零没有倒数。5.实数的运算：包括加、减、乘、除、乘方、开方（平方根、立方根）。运算律（交换律、结合律、分配律）同样适用。注意运算顺序和符号。6.科学记数法与近似数：用特定形式表示较大或较小的数，以及根据要求取近似数。同步测试（实数）：一、选择题1.下列各数中，无理数是（）A.-3B.0C.√2D.0.333...2.2的相反数是（）A.2B.-2C.1/2D.-1/23.|-5|的值是（）A.5B.-5C.1/5D.-1/5二、填空题4.3的倒数是______。5.比较大小：-π______-3.14（填“>”、“<”或“=”）。6.用科学记数法表示：太阳的半径约为七十万千米，即______千米。三、解答题7.计算：(-2)²+|1-√3|-√9。8.已知一个数的平方根是2a-1和a+5，求这个数。（二）代数式与分式核心知识点：1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或者一个字母也是代数式。2.整式：*单项式：数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。*整式的加减：合并同类项。*幂的运算：同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方。*整式的乘除：单项式乘以（或除以）单项式，多项式乘以（或除以）单项式，多项式乘以多项式（乘法公式：平方差公式、完全平方公式）。3.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法（某些二次三项式）。4.分式：*定义：形如A/B（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子。*分式有意义的条件：分母不为零。*分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零。*分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变。*分式的运算：加减法（通分）、乘除法（约分）。同步测试（代数式与分式）：一、选择题1.下列运算正确的是（）A.a²+a³=a⁵B.(a²)³=a⁵C.a⁶÷a²=a³D.a²·a³=a⁵2.把多项式x³-2x²+x分解因式，结果正确的是（）A.x(x²-2x)B.x²(x-2)C.x(x-1)²D.x(x+1)(x-1)3.若分式(x-1)/(x+2)的值为零，则x的值是（）A.x=1B.x=-2C.x=1且x≠-2D.x=-1二、填空题4.计算：(2x-3)(x+4)=______。5.当x______时，分式1/(x-3)有意义。6.化简：(x²-4)/(x+2)=______。三、解答题7.先化简，再求值：(1-1/(x+1))÷x/(x²-1)，其中x=2。8.已知a+b=3，ab=2，求代数式a²b+ab²的值。二、方程与不等式（一）方程与方程组核心知识点：1.一元一次方程：*定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。*解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。*应用：找准等量关系，设未知数，列方程，求解，检验。2.二元一次方程（组）：*定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程；由两个二元一次方程组成的方程组。*解法：代入消元法、加减消元法。*应用：关键是找出两个等量关系。3.一元二次方程：*定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)。*解法：直接开平方法、配方法、公式法（求根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)）、因式分解法。*根的判别式：Δ=b²-4ac。Δ>0有两个不相等实根；Δ=0有两个相等实根；Δ<0没有实根。*根与系数的关系（韦达定理）：若x₁、x₂是ax²+bx+c=0(a≠0)的两根，则x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。*应用：注意验根，结合实际意义。同步测试（方程与方程组）：一、选择题1.方程2x-1=3的解是（）A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-22.方程组{x+y=5,2x-y=1}的解是（）A.{x=2,y=3}B.{x=3,y=2}C.{x=1,y=4}D.{x=4,y=1}3.一元二次方程x²-4x+3=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根二、填空题4.若x=2是关于x的方程2x+m-5=0的解，则m的值为______。5.已知一元二次方程x²-3x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为______。6.某班学生分组参加活动，原计划每组8人，后来重新编组，每组10人，这样比原计划减少了1组。设原计划分为x组，则可列方程为______。三、解答题7.解方程组：{3x-2y=5,5x+4y=1}8.解方程：x²-6x+5=0（用配方法）9.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（二）不等式与不等式组核心知识点：1.不等式的基本性质：（与等式性质对比，特别注意不等号方向）*对称性；传递性；加减同一个数或式子，不等号方向不变；乘除同一个正数，不等号方向不变；乘除同一个负数，不等号方向改变。2.一元一次不等式：*定义：类似于一元一次方程，但用不等号连接。*解法：类似于一元一次方程，但注意乘除负数时不等号方向改变。*解集在数轴上的表示。3.一元一次不等式组：*定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成。*解法：分别求出每个不等式的解集，再求公共部分（借助数轴）。*解集的几种情况。*应用：根据题意列不等式（组），求整数解等。同步测试（不等式与不等式组）：一、选择题1.若a>b，则下列不等式一定成立的是（）A.a-3<b-3B.-2a>-2bC.a/4>b/4D.a²>b²2.不等式2x-1≤3的解集是（）A.x≤1B.x≤2C.x≥1D.x≥23.不等式组{x+1>0,x-2≤0}的解集在数轴上表示正确的是（）（此处应有数轴选项图，文字描述：A.-1空心圈向右，2实心点向左，中间重合部分；B...）A.B.C.D.二、填空题4.不等式3x-2>4的解集是______。5.当k______时，关于x的方程2x-k=5的解是正数。6.不等式组{2x<8,x+3≥0}的整数解有______个。三、解答题7.解不等式：(x-1)/2-(x+3)/3>1，并把解集在数轴上表示出来。8.解不等式组：{3(x-1)<5x+1,(x-1)/2≥2x-4}9.某校准备组织学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。求原计划租用45座客车的数量和参加社会实践活动的学生人数。若租用45座客车每辆220元，60座客车每辆300元，怎样租车更合算？三、函数初步（一）平面直角坐标系与函数概念核心知识点：1.平面直角坐标系：*构成：x轴（横轴，向右为正）、y轴（纵轴，向上为正）、原点O。*点的坐标：(x,y)，x为横坐标，y为纵坐标。*象限：四个象限的划分及各象限内点的坐标特征。*特殊点的坐标：坐标轴上的点、关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标特征。2.函数的概念：*在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，x是自变量。*函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法。*自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体（考虑分式分母不为0，二次根式被开方数非负，实际问题有实际意义等）。（二）一次函数核心知识点：1.正比例函数：*定义：y=kx(k是常数，k≠0)。*图象：过原点的一条直线。*性质：k>0，经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0，经过二、四象限，y随x的增大而减小。2.一次函数：*定义：y=kx+b(k,b是常数，k≠0)。当b=0时，即为正比例函数。*图象：一条直线。与y轴交于(0,b)，与x轴交于(-b/k,0)。*性质：k决定增减性和直线的倾斜方向；b决定直线与y轴交点的位置。*一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。*应用：求解析式（待定系数法），解决实际问题（如行程、工程、利润等）。（三）反比例函数核心知识点：1.定义：y=k/x(k是常数，k≠0)，也可表示为y=kx⁻¹。2.图象：双曲线。3.性质：*k>0：图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。*k<0：图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。*图象关于原点对称。4.应用：求解析式，结合图象分析性质，解决实际问题。（四）二次函数核心知识点：1.定义：一般形式y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)。2.图象：抛物线。*开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下。*顶点坐标：(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))，是抛物线的最高点或最低点。*对称轴：直线x=-b/(2a)。*与坐标轴的交点：与y轴交点(0,c)；与x轴交点（解方程ax²+bx+c=0）。3.性质：增减性（以对称轴为界），最值（顶点的纵坐标）。4.解析式的三种形式：一般式、顶点式（y=a(x-h)²+k）、交点式（y=a(x-x₁)(x-x₂)）。5.应用：求解析式，求最值，解决实际问题（如最大利润、最大面积等）。同步测试（函数初步）：一、选择题1.在平面直角坐标系中，点P(-2,3)所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列函数中，是一次函数的是（）A.y=1/xB.y=x²-1C.y=-2xD.y=√x3.抛物线y=x²-2x+3的顶点坐标