模型建构与数感培养：聚焦“10的加减法”互逆关系的一年级数学探究之旅

模型建构与数感培养：聚焦“10的加减法”互逆关系的一年级数学探究之旅一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与运算”领域明确要求，第一学段学生需“探索加法和减法的算理与算法，会整数加减法”，并“形成初步的数感、运算能力和推理意识”。本课“得数是10的加法和相应的减法”处于苏教版一年级上册第四单元“10以内的加法和减法”的收官与升华阶段。从知识技能图谱看，它既是对10以内数认识的巩固，又是对加减法含义（合并、添上、去掉、比较）的综合性应用，更是后续学习20以内进位加法和退位减法（“凑十法”基石）的关键预备。其认知要求已从具体操作、直观感知向初步的抽象与模型建构过渡。在过程方法上，本节课是渗透数学建模思想的绝佳载体：引导学生从具体情境（如分圆片、生活实例）中抽象出数学算式（模型建立），再通过观察、比较、分类等活动探索算式间的内在规律（模型分析），最终能应用规律进行计算和解决问题（模型应用）。这背后蕴含的核心素养指向明确：数感体现在对“10”这一关键数的组合与分解的熟练感知；运算能力聚焦于根据已知算式推演未知算式；推理意识萌芽于对加法与减法互逆关系的发现与归纳。其育人价值在于，通过结构化探索，让学生初尝数学内在的和谐与逻辑之美，培养有序、严谨的思维习惯。基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已有基础是熟练计算10以内的加减法（部分依赖计数），具备用圆片、手指等进行实物操作的经验，并初步理解了加减法的含义。可能的认知障碍在于，从“一图一式”的看图列式过渡到从“一图”主动联想到“两式”（一加一减），以及理解加减法算式之间的互逆关系，这对抽象思维刚起步的一年级学生构成挑战。兴趣点则在于游戏化、竞赛性的操作活动。教学中的动态评估将贯穿始终：在导入环节通过快速口答“几和几组成10”进行前测；在新授环节通过观察学生操作、聆听小组讨论、分析记录单进行过程性诊断；在巩固环节通过分层练习反馈进行后测。基于此，教学调适策略是：为抽象思维较弱的学生提供更长时间的实物操作支持和更细致的步骤引导（“你先分一分，再把分的过程用式子记下来”）；为思维较快的学生设计具有挑战性的推理任务和开放性提问（“如果不摆圆片，你能直接说出所有得数是10的加法算式吗？有什么好办法保证不遗漏？”），实现差异化支持。二、教学目标知识目标方面，学生将能熟练列举并记忆所有得数是10的加法算式（0+10至10+0）及相应的减法算式，理解这些算式均源于对“10”的分解与组合；能准确解释具体情境（如分物、图画）中蕴含的加减法数量关系，并会用完整的数学语言表达，例如“因为10可以分成3和7，所以3+7=10，103=7，107=3”。能力目标聚焦于发展初步的数学建模与推理能力。学生能够通过操作学具（如10个圆片），自主探索10的各种分与合，并主动将操作过程抽象为数学算式；能在教师引导下，通过观察、比较一组相关的加减法算式，发现加法与减法之间的互逆关系，并运用这种关系进行推演（如由3+7=10直接想到103=7），初步实现减法的“想加算减”。情感态度与价值观层面，期望学生在小组合作操作与交流中，养成乐于分享、认真倾听他人想法的习惯；在探索“10的所有加减法算式”这一系统化任务中，体验到数学的秩序性与严谨性之美，从而增强学习数学的内在兴趣与信心。科学（学科）思维目标明确为发展模型思想与归纳推理能力。重点引导学生经历“具体情境—操作感知—算式抽象—关系归纳”的完整建模过程，并设计核心问题链，如“每次分圆片，为什么总能写出两个减法算式和一个加法算式？它们之间有什么‘小秘密’？”来驱动学生进行有依据的思考与归纳。评价与元认知目标关注学习策略的反思。设计引导学生依据“操作有序、记录完整、发现规律”的标准进行自我检查与同伴互评；在课堂小结时，鼓励学生回顾“我是用什么方法记住所有算式的？”，反思并分享自己的记忆策略（如按顺序想、找规律），初步形成优化学习方法的意识。三、教学重点与难点教学重点确立为：探索并掌握得数是10的所有加法算式及相应的减法算式，理解加、减法算式之间的互逆关系。其确立依据源于课程标准的深层要求与知识的核心地位。从课标看，对“数的运算”不仅要求会计算，更强调理解算理、感悟关系。加减法的互逆关系是算术中最基本、最重要的数量关系之一，是贯穿整个运算学习的“大概念”。从知识链看，对“10”的组成与分解的透彻理解，以及对其加减法算式关系的把握，是后续学习“凑十法”与“破十法”进行20以内进位加、退位减的逻辑基石，具有不可或缺的奠基作用。教学难点在于：引导学生从大量具体算式中主动发现并归纳加与减的互逆关系，并能灵活运用这种关系进行推算。难点成因主要源于学生的认知发展水平：一年级学生思维以具体形象为主，从大量实例中抽象概括出普遍规律（归纳推理）本身就是一个思维跳跃；此外，“互逆”是一个关系性概念，较为抽象，学生容易停留在“会算”的层面，而难以自觉建立算式间的结构性联系。预设依据来自常见错误分析：学生在解决如“10□=7”这类填空时，常会盲目尝试而非联系7+3=10直接推算；在根据一幅图写算式时，也容易漏写对应的减法算式。突破方向在于，设计结构化的操作与记录活动，引导学生在对比观察中自己“看见”规律，并用童趣化的语言（如“他们是好朋友算式”、“加法能帮我们做减法”）将关系内化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（包含“10的组成”动态演示、分层练习题目）；磁性数字卡片（010）及加减号、等号；一首关于“数字10”的短小儿歌或韵律操。1.2活动材料：每人一份“10的探索”学习单（正面为10个圆片的操作记录格，背面为算式整理表）；每小组一个收纳盒，内装10个两种颜色的计数圆片。2.学生准备2.1预习与物品：复习“10的分与合”，能够快速说出数字组合；准备好铅笔、橡皮。3.环境布置3.1板书记划：黑板划分为左、中、右三区。左区预留贴磁性数字卡片，用于构建“10的组成”图；中区用于记录学生发现的算式；右区用于总结规律和布置作业。五、教学过程第一、导入环节1.情境激趣，唤醒旧知：“孩子们，数字王国里，10可是个重要的‘大明星’。我们之前已经认识了它，还会玩‘10的组成’的游戏。现在，老师要考考你们的反应力啦！我们来玩‘凑十对对碰’：我说一个数，你立刻说出它的‘好朋友’，凑起来是10！”（师生互动：师说“3”，生答“7”；师说“8”，生答“2”…节奏由慢到快）。“反应真快！看来大家对10的组成记得很牢。”1.1问题驱动，明确任务：“我们知道，10可以分成几和几，几和几可以组成10。那这些‘分’与‘合’，如果用我们刚学的加法和减法算式来表示，该怎么写呢？今天，我们就化身‘数学小侦探’，一起去寻找所有‘得数是10的加法’和‘相应的减法’算式的秘密，看看它们之间到底有什么特别的联系。”向学生展示学习单和圆片，简要说明：“我们的侦探工具就是这些小圆片和记录单，我们将通过动手分一分、记一记、比一比，来发现其中的奥秘。”第二、新授环节任务一：操作感知，建立模型1.教师活动：首先进行示范操作与记录。教师用磁性教具在黑板上操作：“老师这里有10个圆片（贴出10个），我把它们分成两部分，一部分是蓝色的1个，另一部分是黄色的9个。”同步用数字卡片摆出分合式：10∧19。紧接着提问引导：“这个过程，可以用加法算式怎么表示？”（1+9=10）“还能想到其他算式吗？”提示从“分”的角度看：从10个里面拿走蓝色的1个，还剩…（101=9）；拿走黄色的9个，还剩…（109=1）。教师将三个算式（1+9=10,101=9,109=1）板书在一起。然后发出指令：“现在，请各位小侦探用自己手中的10个圆片，动手分一分。要求是：每次分成两堆，看看有几种不同的分法，并像老师这样，在记录单上画一画分的结果，然后写出对应的加法算式和两个减法算式。”2.学生活动：学生独立或与同桌轻声交流，动手操作圆片，尝试进行不同的分解。在“10的探索”学习单正面的操作格里，用圆圈图画出分法，并尝试填写对应的三个算式。过程中可能会遇到书写不规范或算式对应错误的情况。3.即时评价标准：1.操作有序性：能否有顺序地尝试不同分法（如从1和9开始，再到2和8…），避免随机混乱。教师巡视时可轻声鼓励：“按顺序分，就像数数一样，不容易漏掉哦。”2.记录完整性：每一次分法，是否都尝试写出了“一加两减”共三个算式。3.对应准确性：写出的算式是否真实反映了当前圆片分合的数量关系。教师可个别指导：“看看你分的这两堆，一共是10个吗？加法算式写对了吗？减法算式表示从10个里拿走了哪一堆？”4.形成知识、思维、方法清单：★1.“一图三式”的初步模型：从一个“10”的分解动作，可以同时抽象出三个有联系的算式：一个加法（求总数）和两个减法（求部分）。这是理解加减法互逆关系的直观起点。教学提示：强调“从同一件事中，我们可以发现不同的数学表达。”★2.有序思考的操作策略：从“分成1和9”开始，依次尝试，能确保不重复、不遗漏。这是数学探索中重要的方法启蒙。认知说明：有序是逻辑思维的开始。▲3.从动作到符号的抽象：将动手“分”圆片的物理动作，转化为用数字和运算符号记录的算式，这是一个关键的数学化过程。教学提示：引导学生说“我分的过程，就是算式表达的意思”。任务二：成果整理，系统呈现1.教师活动：邀请几位学生代表，依次将他们记录的一种分法及算式展示在黑板上（或通过实物投影）。当出现重复分法时，引导学生判断：“这种分法和之前的一样吗？怎么看待‘3和7’与‘7和3’？”明确：分法关注的是两部分各自的数量，所以是同一种。引导全班将所有不同的分法（0和10至10和0）对应的加法算式，按照第一个加数从0到10的顺序整理到黑板的中央区域，形成一张完整的“得数是10的加法表”：0+10=10,1+9=10,2+8=10,…10+0=10。提问：“仔细观察这张加法表，你发现了什么有趣的规律吗？”（引导学生发现：一个加数依次增加1，另一个加数就依次减少1，和不变）。2.学生活动：学生上台展示、讲解自己的发现。全班共同观察、补充，完成加法算式的有序排列。观察算式表，尝试说出自己发现的规律，例如“像爬楼梯，一边上，一边下”。3.即时评价标准：1.表达清晰度：上台展示时，能否说清楚“我把10分成了几和几，所以算式是…”。2.观察与归纳：能否从排列好的算式中，发现数量变化的简单规律，并用语言描述。教师点评：“你的小眼睛真亮，发现了像天平一样平衡的规律！”4.形成知识、思维、方法清单：★4.得数是10的加法算式集合：系统性地认识了所有11个得数为10的加法算式。这是记忆和运用的基础。教学提示：可以结合“10的组成”儿歌帮助记忆。★5.函数思想的早期渗透：一个加数变化引起另一个加数规律性变化，而和保持不变，这是函数关系的雏形。认知说明：这是一种“变与不变”的数学观念。▲6.分类与集合意识：将众多算式按照“得数是10”这一共同特征进行整理、归类，形成知识集合。任务三：关系寻踪，发现“秘密”1.教师活动：这是突破难点的关键环节。教师指向黑板上“1+9=10”这一组，并用色粉笔将它与对应的两个减法算式“101=9”、“109=1”用大括号关联起来。提出核心探究问题：“请大家盯紧这一组算式，再看看你自己记录单上每一组的三个算式，比一比，想一想：加法算式和它的两个减法算式之间，藏着什么小秘密？和你的同桌小声讨论一下。”巡视听取讨论，引导思考方向：“看看加法算式里的三个数，都跑到减法算式里的什么位置去了？”组织集体汇报，提炼学生的发现。最终引导学生总结出：加法算式中的“和”，在减法里变成了“被减数”；加法中的“加数”，在减法里变成了“减数”或“差”。用童趣化语言概括：“原来，加法里的得数‘10’，在减法里变成了开始的数；加法里合起来的两个数，在减法里变成了‘去掉的’和‘剩下的’。它们真是一组‘超级好朋友’！”2.学生活动：学生聚焦于一组具体的算式，进行观察、比较。与同桌积极讨论，尝试说出自己的发现，如“加法算式里的10，在减法最前面”、“加法的两个数，一个在减号后面，一个在等号后面”。参与集体交流，在教师引导下尝试用语言概括规律。3.即时评价标准：1.对比观察的专注度：能否聚焦于数字在算式中的位置变化。2.语言表述的准确性：尝试用“加法的和变成了减法的被减数”等类似语言描述，即使不精确也应鼓励其发现了关系。教师鼓励：“说得真好！你找到了数字‘搬家’的规律！”4.形成知识、思维、方法清单：★7.加减法的互逆关系（核心）：加法和减法不是孤立的，它们是同一数量关系的两种不同运算形式。已知两部分，求总数用加法；已知总数和其中一部分，求另一部分用减法。这是本节课最核心的数学思想。教学提示：用“好朋友算式”、“reversible（可逆）”等概念辅助理解。★8.基于关系的推理方法：知道了“3+7=10”，就可以直接推算出“103=7”和“107=3”，计算减法时可以“想加法”。这是一种重要的计算策略。▲9.数学交流与协作：通过小组讨论和集体分享，学习如何用数学语言表达自己的发现，并倾听、理解同伴的观点。任务四：抽象内化，脱离表象1.教师活动：设计快速反应游戏，巩固对互逆关系的理解。活动一：“我说加法，你对减法”。教师说“4+6=10”，学生迅速齐答对应的两个减法算式“104=6，106=4”。活动二：出示卡片算式如“10□=2”，提问：“不摆圆片，你能马上说出□里是几吗？你是怎么想的？”引导学生说出“因为2+8=10，所以102=8，□里填8”。强调思考过程。活动三：呈现一幅图（如盒子里有10支笔，其中3支是铅笔，其余是钢笔），提问：“根据这幅图，你能想到哪些算式？为什么？”引导学生完整说出：3+7=10（铅笔和钢笔一共），103=7（钢笔支数），107=3（铅笔支数）。2.学生活动：参与互动游戏，快速进行算式转换。面对填空和看图题，积极思考，运用刚发现的“好朋友算式”关系进行推理和解答，并说明理由。3.即时评价标准：1.反应的敏捷性与正确率：在游戏中能否快速、准确地进行算式互推。2.推理过程的可视化：在解决填空和看图问题时，能否清晰表达“我是根据哪个加法算式想出来的”。教师点评：“太棒了！你已经学会了用‘加法’这把金钥匙来开‘减法’的锁！”4.形成知识、思维、方法清单：★10.互逆关系的熟练应用：将发现的规律应用于快速计算和解决问题，从“理解关系”上升到“应用关系”。这是能力目标达成的标志。▲11.逆向思维训练：减法填空（求减数或差）本身是一种逆向思考，借助互逆关系将其转化为正向的加法，降低了思维难度。▲12.数学语言的完整性：在解释看图列式时，强调说清“知道什么，求什么，所以用什么方法”，培养解决问题的规范性。第三、当堂巩固训练本环节构建分层、变式训练体系，并提供及时反馈。1.基础层（全体必做）：“计算小能手”——直接计算得数是10的加法及相应的减法口算题卡（10道左右）。反馈：同桌互换批改，统计全对人数，针对典型错误（如100=0）进行简要集体分析。2.综合层（多数学生挑战）：“看图列式我能行”——呈现两幅情境图：一幅静态图（如10个水果，其中一部分被盘子遮住）；一幅动态过程图（如树上原来有10只鸟，飞走了几只，还剩几只）。要求学生列出所有可能的相关算式并说明含义。反馈：选取不同答案进行投影展示，学生互评是否找全了算式，是否理解每个算式的意义。教师设问：“同一幅图，为什么大家列出的算式不一样？它们讲的是同一个故事吗？”3.挑战层（学有余力选做）：“数字谜宫”——设计一道开放题：□+○=10，□△=2（□、○、△代表不同的数）。猜一猜□、○、△可能分别是多少？看谁找到的答案多。反馈：请找到答案的学生分享思考过程，渗透枚举和推理策略。表扬独特的思考角度。第四、课堂小结引导学生进行结构化总结与元认知反思。1.知识整合：“今天这趟数学侦探之旅，你发现了关于‘10的加减法’最重要的秘密是什么？”引导学生用自己喜欢的方式（如说儿歌、指板书）回顾“一图三式”和加减法的互逆关系。师生共同完成黑板右区的思维导图核心圈：10的加减法←（中心）→互逆关系（好朋友）。2.方法提炼：“我们是通过哪些步骤发现这个秘密的？”（动手分—写算式—比一比—找规律—用规律）。强调有序操作和观察比较的方法。3.作业布置与延伸：公布分层作业：基础性作业：背诵所有得数是10的加法算式，并各写出两个减法算式。拓展性作业：回家和父母玩“算式对对碰”游戏。探究性作业（选做）：思考：如果总数不是10，是9，它的加法和减法算式之间，也有这样的好朋友关系吗？试着验证一下。最后，以激励结束：“今天大家都是优秀的数学侦探，不仅找到了算式，更发现了它们之间紧密的友谊。数学世界里还有很多这样的好朋友，等待我们去发现！”六、作业设计基础性作业（必做）：1.记忆与书写：熟练背诵“得数是10的加法口诀”（从0+10到10+0），并任选其中5个加法算式，分别写出对应的两个减法算式。2.课本练习：完成课本对应页面的基础计算练习题。拓展性作业（鼓励完成）：3.生活应用小调查：在家里找一找数量是10的物品（如10本书、10个水果），和家人说说，如果把它们分成两部分，可以怎么分，并用算式记录下来。4.数学游戏：制作“10的加减法”口算卡片，与同伴或家人进行快速抢答游戏。探究性/创造性作业（选做）：5.数字树创作：画一棵“数字树”，树根是10，分成两个树杈（两个数），每个树杈再可以继续分（如果可能）。在分叉处写上相应的加减法算式。6.我的数学故事：用“3+7=10”和“103=7”这两个算式，编一个简短的小故事（可以是关于物品、小动物等）。七、本节知识清单及拓展★1.10的组成：10可以分成0和10，1和9，2和8，3和7，4和6，5和5，6和4，7和3，8和2，9和1，10和0。这是所有运算的基础，建议结合有节奏的儿歌记忆。★2.得数是10的加法算式：共有11个：0+10=10,1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10,5+5=10,6+4=10,7+3=10,8+2=10,9+1=10,10+0=10。规律：一个加数递增1，另一个加数递减1，和不变。★3.相应的减法算式：每一个加法算式都对应两个减法算式。例如，对应1+9=10，有101=9和109=1。总数是10，减去一部分，等于另一部分。★4.“一图三式”模型：给定一个总数10和其两部分，可以列出一道加法算式（求总数）和两道减法算式（求部分）。这是理解加减法意义的综合体现。★★5.加减法的互逆关系（核心）：加法与减法是互为逆运算的关系。加法中的“和”相当于减法中的“被减数”，加法中的“加数”相当于减法中的“减数”或“差”。知道其中一个算式，可以推导出另外两个。教学提示：用“数字搬家”等形象说法帮助学生理解。★6.计算策略——“想加算减”：在计算10减几的时候，可以思考“几加上几等于10”，从而快速得出差。例如，算104，想4+6=10，所以104=6。这是一种高效的推理计算策略。▲7.有序思考方法：在探索10的所有分法或所有加法算式时，按照一定顺序（从小到大或从大到小）进行，可以确保不重复、不遗漏。这是重要的数学思想方法。▲8.算式中的“0”：在10的加减法中，0+10=10,10+0=10,100=10,1010=0。理解0表示“没有”，但在算式中占有位置，意义明确。▲9.应用情境辨析：在解决实际问题时，要根据问题和已知条件，判断是使用加法（求一共、合并）还是减法（求还剩、相差、一部分）。结合“一图三式”练习，提升审题和建模能力。▲10.数学交流语言：学习用完整的句子表述算式的意义，如“因为10可以分成3和7，所以3+7=10，103=7，107=3”。这有助于深化理解。八、教学反思（一）目标达成度评估本课预设的核心目标是让学生探索并理解得数是10的加减法算式间的互逆关系。从巩固练习的反馈看，约85%的学生能熟练进行“加法到减法”的快速转换，并能运用“想加算减”策略填空；在综合层的看图列式任务中，约70%的学生能主动列出“一图三式”。这表明知识目标与能力目标基本达成。情感目标在小组操作和游戏环节表现积极，学生参与度高。元认知目标在课堂小结的“方法回顾”环节有所体现，但学生自我反思的深度和习惯还需长期培养。（二）核心环节有效性分析“任务三：关系寻踪”是突破难点的关键。在实际模拟教学中，通过将一组具体的算式用色笔关联并抛出核心问题，有效聚焦了学生的观察点。学生讨论热烈，虽然最初的语言描述是碎片化的（如“10跑前面去了”、“两个数交换了”），但经过教师的引导和提炼，最终能理解关系的本质。这个从具体到抽象、从模糊到清晰的过程，符合学生的认知建构规律。如果时间允许，可以增加更多学生用自己的语言解释关系的环节，让理解更个性化。“任务四：抽象内化”中的游戏环节节奏感强，有效提升了课堂气氛和反应速度，实现了“在玩中学，在练中悟”。（三）差异化实施的深度剖析在操作环节，巡视时发现约20%的学生需要教师或同伴的提示才能有序分解。对此，我为这些学生提供了印有分解顺序提示卡（从1开始），降低了他们的认知负荷。对于少数（约10%）已能脱口而出所有算式、操作迅速的学生，我提出了更高要求：“你能不借助圆片，直接在白纸上写出所有‘一图三式’的组合吗？”这促使他们进行更纯粹的抽象思考。在巩固练习的分层设计中，挑战层的“数字谜宫”吸引了部分优等生的浓厚兴趣，他们课后仍继续探讨。反思不足：对于基础非