《有序思考全面列举-稍复杂的排列问题》教学设计

《有序思考，全面列举——稍复杂的排列问题》教学设计一、教学内容分析  排列组合思想是概率统计的基石，在小学阶段初步渗透，旨在培养学生的逻辑思维与有序思考能力。本课出自人教版三年级下册“数学广角”，是继“搭配（二）”中简单的排列组合后的一次深度延伸，聚焦于“稍复杂”的情境——通常指元素更多（如3个非0数字组成两位数）、限制条件更隐蔽（如“0”不能放在首位）或需要进行多步分类讨论的排列问题。它标志着学生从“可以怎么做”的直觉尝试，向“怎样才能不重复、不遗漏”的策略性思考的跨越，是发展学生模型意识（构建有序枚举的模型）和数据意识（体会结果的有限性）的关键节点。在学科思想方法层面，本课的核心是“有序枚举”与“分类讨论”。课堂探究活动将围绕如何将“复杂”情境分解、简化为有序的步骤展开，引导学生亲历“理解题意→明确限制→选定策略（如固定法、交换法）→有序罗列→检验优化”的完整思维过程。其育人价值在于，通过解决富有挑战的排列问题，锤炼学生严谨、缜密的思维品质，让他们在“山重水复疑无路”时，体验通过“有序”这一核心方法迎来“柳暗花明又一村”的智力愉悦，从而内化一种受益终身的问题解决态度与策略。  三年级学生已具备用1、3、5等数字组成不重复两位数的初步经验，掌握了列表、连线等基本方法，但其思维的系统性和严密性尚在发展中。主要障碍可能在于：面对元素增多（如4个数字）或出现特殊元素（如数字0）时，容易产生思维混乱，导致列举时重复或遗漏；难以自觉、稳定地运用一种有序的策略贯穿问题解决始终。因此，本课的教学必须建立在精准的学情动态评估之上。课堂将通过“前测性任务”（如快速用1、0、3组数）暴露学生的认知起点和思维差异；在新授环节，通过巡视观察、倾听小组讨论、分析学生生成的原始方案，实时把握学生策略运用的水平与困境。基于此，教学调适应体现鲜明差异化：对于思维尚处于无序状态的学生，提供“操作抓手”（如可移动的数字卡片）和“语言支架”（“先固定…，再交换…”）；对于能进行有序枚举的学生，则引导其比较不同策略（固定十位法vs固定个位法）的优劣，并挑战更高阶的分类讨论问题，实现思维的进阶。二、教学目标  知识目标：学生能在具体情境中，理解“稍复杂排列问题”的含义，特别是“0不能放在首位”等限制条件；掌握解决此类问题的核心方法——有序枚举（如固定法），并能用简洁的方式（列举、图表）清晰、无遗漏、无重复地呈现所有排列方案，形成结构化的知识网络。  能力目标：学生通过独立探究与协作交流，发展分析和表征问题的能力，能够将复杂的文字情境转化为可操作的排列模型；在解决问题的过程中，自觉运用分类、有序的数学思想，提升逻辑推理能力和全面思考问题的能力。  情感态度与价值观目标：在挑战稍复杂问题的过程中，学生能体会到数学思考的条理性和严谨性带来的成功感，克服面对复杂问题时的畏难情绪，培养乐于探究、言必有据的科学态度，并在小组合作中学会倾听、质疑与补充。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型意识与有序思维。通过系列任务，引导学生经历“从具体情境抽象出数学模型（排列问题）→运用有序枚举策略求解模型→验证与解释模型结果”的完整过程，将“不重复、不遗漏”的操作要求，内化为“有序思考”的思维品质。  评价与元认知目标：学生能借助评价量规（如：是否有序、是否全面、记录是否清晰）对自我或同伴的解决方案进行评价与优化；能在课堂小结时，反思自己是如何从“混乱尝试”走向“有序思考”的，提炼出解决问题的通用策略，实现学习策略的显性化与迁移。三、教学重点与难点  教学重点：掌握用有序枚举的方法解决稍复杂的数字排列问题。其确立依据在于，从课程标准看，“探索简单情境下的变化规律”是第二学段“数与代数”领域的重要目标，有序枚举是实现这一探索的核心方法；从学科能力发展看，它是培养学生逻辑推理和模型意识最直接的载体，也是后续学习更复杂计数问题的基础。从学业评价看，此类问题高频出现于考查学生思维严密性的情境中，是区分学生思维水平的关键点。  教学难点：在解决问题的过程中，自觉、稳定地运用有序思考的策略，做到不重复、不遗漏。难点成因在于，三年级学生的思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，但内化的策略性思维尚不稳定，极易在复杂情境中回到无序尝试的状态。常见典型错误是在用0、1、2、3组数时，忽略“0不能在首位”或列举顺序混乱。突破方向在于强化“先分类（如0单独考虑）、再有序枚举”的程序化思维训练，并通过可视化工具（如移动卡片、列表格）和“说过程”的表达来外化、固化思维路径。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含情境动画、可拖动的数字卡片）；数字卡片教具（09）若干套；板书设计规划（左侧为问题情境区，中部为核心方法区，右侧为成果展示区）。1.2学习材料：分层学习任务单（含前测、核心探究任务、分层练习）；课堂评价卡片（“有序之星”、“全面之星”小贴纸）。2.学生准备2.1学具：每人一套数字卡片（0、1、3、5）；练习本。2.2预习：简单回顾用1、3、5组成没有重复数字的两位数的所有情况。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与旧知唤醒：“同学们，学校科技节要给我们班的‘创意机器人’设计一个两位数的编号。如果只用1、3、5这三个数字，每个数字只能用一次，可以编出哪些不同的号码呢？请用你的数字卡片摆一摆，看谁摆得又快又全。”学生迅速操作，教师巡视。随后提问：“你是怎么保证摆全的？哦，有的同学是先固定十位是1，然后个位轮流放3和5……这方法真好，这叫‘有序思考’。”  1.1制造认知冲突与提出核心问题：“如果科技老师说，数字卡片不够，我们得从0、1、3、5这四个数字中选两个来编两位数，还是不能重复，情况会不会有什么不一样？你们先猜猜看。”学生可能会有直觉回答。“光猜可不行，这问题比刚才好像‘复杂’了一点，到底能用这四个数字组成多少个不同的两位数呢？怎样才能像刚才一样，一个不漏、一个不重地找出来？这就是我们今天要挑战的任务——在复杂一点的情境中，继续修炼我们‘有序思考’的真本领。”第二、新授环节任务一：挑战新情境——当“0”来敲门教师活动：首先，明确清晰地陈述新问题：“用0、1、3、5四个数字，组成没有重复数字的两位数。”接着，不急于让学生动手，而是抛出导向性问题链：“这个问题和刚才用1、3、5组数，感觉上有什么不同？”“‘0’这个数字有什么特别？在组成两位数时，它可能带来什么新情况？”引导学生关注“0不能放在十位”这一隐性条件。然后，让学生先独立思考1分钟，尝试在练习本上写下或摆出可能的数字。学生活动：倾听问题，对比新旧情境的差异。聚焦“0”展开思考，可能意识到“0不能打头”。进行初步的、可能是无序的尝试，在练习本上书写或摆弄数字卡片，生成原始的解决方案。即时评价标准：1.发现关键：能否在讨论中指出“0不能放在十位”这一限制条件。2.尝试状态：初步尝试是混乱罗列还是显现出一定的顺序性。形成知识、思维、方法清单：★核心条件识别：解决数字排列问题时，需首先识别特殊元素（如0）和特殊位置（如十位），明确限制条件（0不能在最高位）。这是将“复杂”情境清晰化的第一步。▲思维起点：面对新问题，通过与旧知对比来发现差异，是激活思维的有效策略。●常见误区警示：学生极易忽略“0不能在十位”，直接开始排列，导致结果错误。教学中需在此处“重锤敲打”。任务二：策略初探——我是这样“固定”的教师活动：邀请23位不同思路的学生上台展示其初步成果（可能有遗漏、重复或正确但无序的）。教师引导全班聚焦：“他的方法能保证找全吗？我们怎么帮他检验？”继而，引导学生回顾旧知中的“固定法”：“刚才我们用1、3、5组数时，有的同学‘先固定十位’，这个好办法现在还能用吗？怎么用？”鼓励学生用数字卡片边操作边讲解。教师提炼关键词并板书：1.固定十位。追问：“固定十位是1，能得到哪几个数？固定十位是3呢？固定十位是5呢？十位可以是0吗？为什么？”学生活动：观察同伴方案，参与评价与检验。动手操作卡片，尝试运用“固定十位法”重新解决问题。一名学生上台演示并讲解：先固定十位是1，个位可以是0、3、5，得到10、13、15；再固定十位是3…依此类推。通过回答教师追问，深刻理解“0不能固定为十位”。即时评价标准：1.语言逻辑性：讲解时能否清晰地表达“先固定…，再选择…”的步骤。2.操作有序性：摆卡片或写数字时是否有明显的顺序。3.全面性：是否自觉地将所有可能的十位（1，3，5）都考虑到了。形成知识、思维、方法清单：★固定法（定十位）：从最高位开始固定，是解决排列问题最基础、最不易遗漏的策略。其思维模式是“分类枚举”：按十位数字的可能情况分类，在每一类下枚举个位。★有序枚举的核心步骤：确定位置顺序→按顺序固定一个位置→有序改变其他位置上的数字→记录所有结果。●教学提示：“为什么从十位开始固定？”因为十位是高位，限制条件（0不能用）往往作用于高位，先处理高位能简化问题。任务三：策略优化——条条大路通罗马教师活动：在学生基本掌握固定十位法后，拓展思维：“一定要先固定十位吗？先固定个位行不行？试试看！”组织同桌两人一组，一人用“固定十位法”，一人尝试“固定个位法”，分别求解并核对结果。巡视指导，重点关注用“固定个位法”时，个位为0的情况是否被合理处理（此时十位有1、3、5三种选择）。之后，组织小组汇报，对比两种方法。学生活动：同桌协作，分别尝试不同的固定策略。使用“固定个位法”的学生需要思考：固定个位是0，十位可以是1、3、5；固定个位是1，十位可以是…（0？3？5？），此时需注意十位不能是0吗？通过对比，发现两种方法结果一致，但思考顺序不同。即时评价标准：1.策略迁移：能否将“固定”的思路迁移到另一个数位上。2.协作有效性：同桌能否清晰交流自己的方法并核对结果。3.辩证思考：能否初步体会到不同策略各有特点，但本质都是“有序”。形成知识、思维、方法清单：★固定法（定个位）：从低位开始固定是另一种有效的有序枚举策略。它体现了解决问题路径的多样性。★策略比较与选择：不同策略没有绝对优劣，但可能因问题特征（如限制条件在哪个位置）而使其中一种更简便。鼓励学生掌握多种策略，并能根据情况灵活选择或综合运用。▲化归思想：无论从哪一位固定，都是将“四个数字选两个”的复杂问题，转化为若干个“从剩余三个数字中选一个”的简单问题。任务四：表征提升——让思维看得见教师活动：引导学生思考：“我们摆卡片、说过程，都很清楚。但如果要把思考过程和最终答案整洁地记录下来，有什么好方法？”介绍或让学生创造简单的记录方式，如列表法或树形图。教师可在板书中示范列表：在十位列写下1、3、5，在个位列对应写出其搭配。提问：“用表格记录，怎么体现‘0不能放十位’？”（十位这一列没有0）。再展示一个简单的树形图。然后，出示一个稍有变化的问题：“如果用0、1、3、5组成没有重复数字的两位数，其中十位是5的数有哪些？个位是1的数有哪些？”引导学生在已形成的全部结果中快速筛选。学生活动：学习用列表或图示的方法整理排列结果，使思维成果可视化、条理化。尝试根据附加条件（如“十位是5”），从全部结果中进行筛选和定位，体会有序枚举后形成的“结果集”便于进行后续分析。即时评价标准：1.表征能力：能否用列表、图示等清晰、整洁地呈现所有排列结果。2.信息提取：能否从全部结果中，根据指定条件准确、快速地找到目标。形成知识、思维、方法清单：★结果的有序表征：列表、树状图等是呈现枚举结果的优秀工具，它们使思维可视化，便于检查和交流。这是将内隐思维外显化的重要一步。★条件筛选与应用：在穷尽所有可能的基础上，解决“满足某一子条件”的问题变得非常简单，这体现了全面思考的价值。●易错点强化：记录时仍需警惕，避免下意识地将0写入十位列。任务五：归纳建模——什么是“不重不漏”的法宝教师活动：带领学生回顾解决问题的全过程。用板书梳理关键步骤：1.审题（识别数字和限制条件）；2.定策（选择固定十位或个位）；3.有序枚举（按顺序一一列出）；4.检验（检查是否满足条件、有无重复遗漏）。并提炼核心思想：“同学们看，无论数字怎么变，方法怎么选，让我们最终获胜的那个‘法宝’是什么？对，就是‘有序’！像小树发芽一样，一根主干，再长出枝叶，这样思考才不乱。”学生活动：跟随教师回顾，参与总结。尝试用自己的话说说“有序思考”是什么意思，在本课中具体是怎样做的。形成对解决问题一般流程的初步模型认识。即时评价标准：1.元认知能力：能否概括出解决此类问题的关键步骤和核心思想。2.语言精炼度：能否用简洁的语言（如“先固定，再交换”）概括方法。形成知识、思维、方法清单：★解决稍复杂排列问题的通用流程模型：审题（明条件）→定策（选方法）→有序枚举（执行）→检验（回顾）。这是可迁移的问题解决框架。★核心素养落脚点：本节课发展的“模型意识”，具体表现为建立并运用“有序枚举”这一数学模型；发展的“推理意识”，体现在每一步操作都遵循逻辑规则。●情感态度升华：引导学生体会，数学的“美”在于其秩序和严谨，有序思考是克服复杂与混乱的利器。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，学生可依据自身情况选择完成至少两个层次。  基础层（直接应用）：“用2、4、6、8四个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？”（此题无0，巩固基本固定法）。  综合层（情境应用）：“小明的日记本密码是一个两位数，由0、2、7、9中的两个数字组成，且十位上的数比个位上的数小。这样的密码可能有哪些？”（增加了大小关系条件，需在枚举后筛选）。  挑战层（灵活探究）：“如果用0、1、3、5这四个数字，组成没有重复数字的两位数，其中是单数的有多少个？是双数的有多少个？”（需要结合奇偶性知识进行分类统计）。  反馈机制：学生独立完成后，小组内交换批改基础层题目。教师抽取综合层和挑战层的不同解答进行投影展示，由学生讲解思路。特别展示利用列表法高效解决综合层问题的案例，以及挑战层中分类统计的不同方法（如先枚举全部再分类数，或按个位奇偶分类枚举），强调策略的灵活性。对普遍存在的疑问进行集中点评。第四、课堂小结  知识整合：“同学们，这节课我们打了一场‘有序思考’的胜仗。谁能用一句话说说，你今天最大的收获是什么？”引导学生聚焦“有序枚举”和“固定法”。可以邀请学生尝试用简单的思维导图在黑板上勾勒本节课要点：中心词“有序排列”，分支“审题”、“方法（固定十位/个位）”、“记录（列表）”、“注意（0的处理）”。  方法提炼：“回顾一下，我们从遇到新问题有点乱，到后来变得有条理，关键是我们找到了‘有序’这个金钥匙。以后遇到类似‘有多少种情况’的问题，你会怎么想？”  作业布置：1.必做（基础）：完成学习任务单上的基础练习题（仿照例题）。2.选做（拓展）：（1）生活中哪里还用到类似的排列知识？（如体育比赛场次、照相站位）找一找例子。（2）思考题：用0、1、2、3可以组成多少个不同的三位数？试试看。（为下节课可能的延伸埋下伏笔）。最后，以“希望同学们带着‘有序’这双慧眼，去发现和解决生活中更多的数学问题！”结束本课。六、作业设计基础性作业（必做）  1.用“固定十位法”有序地写出用0、4、6、9组成的，没有重复数字的所有两位数。  2.判断：用2、0、8三个数字组成两位数，可以组成6个不同的两位数。（）说说你的理由。拓展性作业（选做，鼓励完成）  3.情境应用：学校早餐提供牛奶、豆浆、粥三种饮品，以及包子、油条、蛋糕三种主食。小明一种饮品搭配一种主食，共有多少种不同的搭配方式？请用你喜欢的方式（如连线、列表）表示出来。  4.小小分析师：观察你用0、4、6、9组成的全部两位数，其中最大的数是多少？最小的数是多少？双数有几个？它们的和是多少？探究性/创造性作业（选做）  5.挑战自我：数字卡片1、1、2、3（其中两张“1”完全相同）。用这些卡片能摆出多少个不同的四位数？你有什么发现？（此题涉及有重复元素的排列，是极好的思维拓展，不要求所有学生掌握，供学有余力者探究）。七、本节知识清单及拓展★排列：从给定的一些元素中，选出几个，按照一定的顺序排成一列。★有序枚举（不重不漏的法宝）：按照某种确定的顺序（如从小到大、固定高位）逐个列出所有可能情况的思想方法。★固定法：解决排列问题的有效策略。先确定一个位置上的数字，再变化其他位置上的数字。常用“固定十位法”或“固定个位法”。★特殊元素“0”的处理：在数字排列中，0不能放在最高位（如两位数的十位、三位数的百位）。▲列表法：用表格的形式有序地记录所有排列结果，清晰直观，便于检查。▲树形图：像树枝分叉一样的图示，能展现所有可能的排列路径，适合表示步骤较多的情形。★审题关键：解决排列问题，首先要弄清楚：1.有哪些数字（元素）？2.要组成几位数（选几个）？3.有什么特殊要求或限制？●易错点警示：最容易出错的地方是忽略“0不能在首位”的条件，以及枚举时顺序混乱导致重复或遗漏。★核心思维：分类：固定法本质上是一种分类思想，按某个位置的可能情况将所有排列分成几类，再在每一类里枚举。▲化归思想：将稍复杂的排列问题（如4选2），通过固定法转化为几个简单的排列问题（如3选1）。★模型应用：“有序枚举”的模型不仅用于数字排列，还广泛用于搭配、路线选择、比赛场次等问题。●学习提示：动手摆一摆（卡片）、动笔画一画（连线、列表）、动嘴说一说（过程），能让你的思维更清晰。八、教学反思  （一）目标达成度分析：本节课预设的核心目标是学生掌握有序枚举策略解决含“0”的两位数排列问题。从巩固练习的完成情况看，约85%的学生能正确运用固定法解决基础问题，表明知识技能目标基本达成。能力目标方面，学生在任务二、三的探究与交流中，展现了良好的问题分析和策略尝试能力，尤其在对比不同固定法时，出现了自发性的讨论，这是推理能力生长的可喜迹象。情感目标在挑战成功时学生脸上洋溢的成就感中得到印证，课堂氛围积极。思维目标的达成呈梯队分布，大部分学生建立了“有序”的操作意识，但将“有序”从一种操作程序内化为稳定的思维品质，仍需后续多情境的锤炼。  （二）环节有效性评估：导入环节的“旧知对比”设计精准，有效制造了认知冲突，迅速聚焦到“0”的特殊性。新授环节五个任务层层递进，逻辑线清晰。其中，“任务二：策略初探”是承重墙，给予学生充足的操作和表达时间至关重要，本节课此处节奏把控尚可，但个别小组在从无序尝试转向有序固定时仍显吃力，需要教师更个性化的近距离指导。“任务四：表征提升”中引入列表法，部分学生绘制表格耗时较长，下次可考虑提供带有简单表格框架的学习单作为“脚手架”，让学生更专注于思维而非绘图格式。巩固环节的分层设计满足了差异需求，挑战题虽只有少数学生完成，但其展示环节对全班起到了良好的思维开阔作用。  （三）学生表现深度剖析：课堂观察可见，学生大致分为三层：A层（约20%）能主动尝试不同策略并优化表征，如小张同学不仅用了两种固定法，还自己画了树形图；B层（约65%）能在教师引导和同伴示范下，较好地掌握并应用一种固定法；C层（约15%）则仍需依赖实物操作和具体的步骤指令，抽象到笔头记录时容易出现遗漏。针对C层学生，我在巡视中加强了“说过程”的指导，让他们边摆边说，效果明显。