有理数除法的法则探究与灵活应用-初中数学七年级教学设计

有理数除法的法则探究与灵活应用——初中数学七年级教学设计一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课处于“数与代数”领域，是学生在建立有理数概念、掌握加减乘运算后，对有理数四则运算体系的最后一块关键拼图。在知识技能图谱上，其核心是理解有理数除法法则（转化为乘法）并能够熟练、准确地进行运算。这不仅是对有理数乘法（特别是“倒数”概念）的深化与逆用，更是后续学习乘方、方程及函数等复杂代数运算的基石。课标强调通过具体情境和数学内部联系，让学生感悟运算的一致性。因此，在过程方法上，本节课应摒弃简单的法则灌输，转而设计一条从具体问题到一般规律的探究路径，引导学生经历“观察特例—归纳猜想—验证解释—符号表达”的完整过程，体验类比、归纳、转化等核心数学思想方法。其素养价值渗透深刻：在从具体数字运算到抽象字母表示法则的跨越中，发展学生的数学抽象与符号意识；在“除法化归为乘法”的逻辑推理中，锤炼逻辑推理能力；在准确、灵活的运算实践中，培养严谨求实的科学态度与运算能力，深刻理解运算律在数系扩展中的普适性，感悟数学的和谐与统一之美。

面向七年级学生，学情呈现典型的两面性。已有基础方面，学生已熟练掌握有理数乘法运算，理解了“乘积为1的两个数互为倒数”这一核心概念，并具备初步的探究归纳能力。潜在障碍在于：其一，对“除法是乘法的逆运算”这一本质关系理解可能模糊，导致法则推导时逻辑链条断裂；其二，受小学正数除法思维定势影响，处理异号两数相除时的符号确定易产生混淆；其三，运算过程中，倒数求取错误、特别是涉及带分数或小数时的处理不当，是常见的操作难点。教学对策上，需通过设计坡度适宜的“脚手架”——如从整数除法到分数、小数除法，从同号到异号的渐进式例题组——让学生在“跳一跳能够到”的挑战中建构知识。同时，课堂将通过“即时提问板演小组互评”等形成性评估手段，动态监测学生理解情况，对理解较快者提供变式拓展任务，对存在困难者进行个别辅导或提供步骤提示卡，实现差异化推进。二、教学目标

知识目标：学生能准确叙述有理数除法法则，理解其与乘法法则、倒数概念的内在联系；能正确解释“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的数学原理；能熟练运用法则进行包含整数、分数、小数的有理数除法运算，并处理简单的乘除混合运算顺序问题。

能力目标：学生经历从具体算例到一般法则的归纳过程，提升观察、猜想与归纳论证的能力；能够将有理数除法问题准确、灵活地转化为乘法问题，发展数学转化与化归的核心能力；在解决实际问题情境中的运算问题时，提升数学建模与信息处理能力。

情感态度与价值观目标：在探究法则的过程中，学生能体验到数学内部严谨的逻辑性与和谐美，激发对数学推理的兴趣；在小组合作与交流中，养成乐于分享、尊重他人观点、共同验证结论的科学合作态度；通过克服运算难点，培养细致、耐心的学习品质和克服困难的信心。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的归纳推理思维与化归思维。通过设计具有启发性的算例序列，引导学生从特殊到一般，自主归纳出符号法则；通过不断强化“除法化乘法”的转化思路，让学生深刻体会化归思想在简化复杂问题、统一运算体系中的威力，形成“遇除思乘”的思维定势。

评价与元认知目标：学生能依据“步骤清晰、符号准确、结果最简”的运算量规，进行自我检查与同伴互评；能在课堂小结环节，自主梳理除法法则的探究脉络与核心要点，反思自己在理解与运算过程中的易错点，并制定针对性的练习计划。三、教学重点与难点

教学重点：有理数除法法则（特别是“除以一个数等于乘以这个数的倒数”）的理解与熟练应用。确立依据在于：从课程标准看，该法则是将除法统一纳入乘法运算体系的核心“大概念”，是构建完整、简洁有理数运算规则的基石；从学业评价看，有理数除法是各类代数运算的基础工具，其掌握的熟练与准确度直接影响后续解方程、分式运算等高分值内容的学习，是体现运算能力这一核心素养的关键节点。

教学难点：一是对除法法则（尤其是符号法则）的自主归纳与合理解释；二是在运算中，特别是涉及分数、小数及乘除混合时，灵活、准确地实施转化并确定最终符号。预设难点成因在于：学生虽熟悉乘法法则，但主动建立除法与乘法倒数关系的逆向思维跨度较大；符号规则需从具体算例中抽象，对归纳能力要求较高；运算过程步骤增多（求倒数、定符号、做乘法），对学生的注意力分配与步骤规划能力提出挑战。突破方向在于搭建丰富的具体算例“脚手架”，引导对比观察，并通过大量针对性的变式练习，在应用中固化技能。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含探究活动引导、阶梯式例题与练习）、几何画板或动态数学软件（用于直观展示数轴上的除法意义，可选）、实物投影仪。

1.2文本与材料：分层设计的学习任务单（含探究记录区、分层练习区）、课堂小结思维导图模板（半成品）、不同颜色的磁性贴或卡片（用于板书关键步骤与法则）。2.学生准备

复习有理数乘法法则及倒数概念；完成预习任务单（包含23道利用乘法逆运算思考的简单除法题）；携带常规文具及练习本。3.环境布置

黑板划分为“法则探究区”、“例题示范区”与“要点总结区”；学生按4人异质小组就坐，便于开展合作探究。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与问题激发：同学们，还记得我们之前用有理数知识解决过温度变化、海拔升降的问题吗？今天，我们面对一个新挑战：气象站记录，某地一天内气温从中午的5℃持续均匀下降，到午夜时共下降了15℃。请问，平均每小时气温下降了多少度？谁能列出算式？（预设学生列式：(15)÷12）。很好，这个算式涉及什么运算？对，有理数的除法。这是我们还没系统学过的运算。

1.1建立联系与明确路径：那么，有理数的除法该怎么算呢？它和我们已经熟练掌握的有理数乘法有没有什么“亲戚关系”呢？小学我们学过“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，在有理数的世界里，这个“法宝”还管用吗？符号又该怎么处理？今天，我们就化身数学侦探，一起通过观察、比较、推理，来揭开有理数除法的运算密码。我们先从几个最简单的算式入手，找找规律。第二、新授环节

任务一：从“逆运算”关系切入，感知除法与乘法的联系

教师活动：首先，我们来回顾“逆运算”的概念。比如，因为3×4=12，所以12÷4=3。除法是乘法的逆运算。现在，请同学们利用这个关系，完成学习单上第一组填空题：（1）因为6×2=12，所以12÷2=___；（2）因为(6)×2=12，所以(12)÷2=___；（3）因为6×(2)=12，所以(12)÷(2)=___；（4）因为(6)×(2)=12，所以12÷(2)=___。巡视指导，请学生代表将答案写在黑板“探究区”。然后提问：观察这组等式，等号左边的除法算式和右边的乘法算式，除了运算符号不同，还有什么联系？你能发现被除数、除数与乘积、因数之间的对应关系吗？引导学生说出“被除数相当于乘法里的积，除数和商分别相当于两个因数”。所以，求商，就是在求“一个因数”，已知积和另一个因数。

学生活动：独立完成填空，回顾乘除互逆关系。观察板书的四个等式，进行小组讨论，尝试用自己的语言描述除法算式与对应的乘法算式各部分之间的对应关系。派代表发言。

即时评价标准：1.能否快速、准确地利用乘法事实写出除法结果。2.在小组讨论中，能否清晰地表达“乘除互逆”的对应关系。3.观察时是否注意到除法结果的符号与乘法中因数符号的关联。

形成知识、思维、方法清单：★除法是乘法的逆运算：这是理解除法运算的根基。已知积和一个因数，求另一个因数的运算就是除法。▲符号感知的初步积累：通过这组同号、异号数相除的具体例子，为后续归纳符号法则积累感性材料。教师可点评：“大家看，通过逆运算关系，我们其实已经能算出一些有理数除法的结果了，这给我们提供了最基本的思路。”

任务二：聚焦“倒数”桥梁，猜想转化法则

教师活动：刚才我们用“逆运算”关系算出了结果。但这个方法每次都需要先想一个对应的乘法，有点绕。有没有更直接、更统一的方法呢？请大家看第二组算式，并计算：（1）12÷2=6,12×(1/2)=?（2）(12)÷2=6,(12)×(1/2)=?（3）(12)÷(2)=6,(12)×(1/2)=?（4）12÷(2)=6,12×(1/2)=?算完后，将每组中的除法结果和乘法结果进行比较，你有什么惊人的发现？对，每一组两个算式的结果都相等！那么，除数2和(1/2)、除数(2)和(1/2)是什么关系？没错，互为倒数。现在，请大胆提出你的猜想：有理数的除法，可以怎样计算？给大家1分钟时间，和组员一起，用一句话把你们的猜想写下来。

学生活动：计算第二组乘法算式的结果，与左侧除法结果逐一对齐比较。发现每组结果相等，并观察出右侧乘数正是左侧除数的倒数。小组合作，尝试用规范的语言表述猜想，例如：“有理数除法，可以转化为乘以这个除数的倒数。”

即时评价标准：1.计算是否准确。2.比较观察是否细致，能否发现“结果相等”及“乘数是除数的倒数”这两个关键点。3.猜想表述是否清晰、完整，抓住了“转化”与“倒数”两个核心词。

形成知识、思维、方法清单：★核心猜想：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。这是本节课最核心的法则雏形。★“倒数”的关键桥梁作用：实现除法向乘法转化的核心操作是求除数的倒数。教师需强调：“这个猜想把陌生的除法，转化成了我们熟悉的乘法，是不是一个巨大的进步？”

任务三：理性验证猜想，形成一般化法则

教师活动：猜想需要验证。我们如何从数学上解释这个猜想对于任何有理数都成立呢？让我们回到最初的“逆运算”关系。设a,b为有理数，且b≠0。我们要求a÷b=?根据除法是乘法的逆运算，a÷b的结果，就是要求一个数x，使得x×b=a，对不对？那么，如何在方程x×b=a两边做变形，解出x呢？回顾等式的性质，两边同时乘以b的倒数，即乘以1/b。左边：x×b×(1/b)=x×1=x。右边：a×(1/b)。所以，x=a×(1/b)。而x就是a÷b。因此，我们证明了：a÷b=a×(1/b)。（板书代数推导过程）。看，我们的猜想通过了严格的数学证明！现在，我们可以自豪地将它定为“有理数除法法则”。请大家齐读一遍法则。法则包含哪两个关键操作？一是将“÷”转化为“×”；二是将“除数”变成它的“倒数”。

学生活动：跟随教师的代数推导思路，理解每一步变形的依据（乘法逆运算定义、等式性质、倒数定义）。参与齐读法则。明确法则的两个操作步骤：变运算符号、变除数为倒数。

即时评价标准：1.能否理解代数推导的逻辑链条，认识到猜想的普适性。2.能否准确复述法则的两个核心操作步骤。

形成知识、思维、方法清单：★有理数除法法则的代数表述：a÷b=a×(1/b)(b≠0)。这是法则的符号化、一般化表达，体现了数学的抽象美。★验证方法：逻辑演绎：从定义和已知性质出发，通过代数推理验证猜想，这是数学中建立定理的严谨方式。教师可解说：“这个过程就像盖房子，我们把猜想建立在‘逆运算’和‘等式性质’这两块坚固的基石上，所以法则非常可靠。”

任务四：运用法则计算，归纳符号规则

教师活动：法则在手，让我们来实战演练。请计算：(1)(18)÷6;(2)1÷(2/3);(3)(4/5)÷(2);(4)0÷(5)。请四位同学板演，要求写出转化过程。其他同学在任务单上完成。板演后，引导全班观察(1)(2)(3)题的结果符号。提问：商的符号由谁决定？与我们学过的乘法法则中的符号法则类似吗？你能总结出有理数除法的符号法则吗？引导学生说出：同号得正，异号得负，并把绝对值相除（实际上是相乘）。强调0除以任何非零数得0。接着，针对(2)(3)题中分数除法的处理，强调求倒数时，带分数要先化为假分数，小数一般化为分数再求倒数，这样更简便准确。

学生活动：独立完成计算题，注意遵循“先定符号，再转化，后计算”的步骤。观察板演，核对过程与结果。通过观察、比较，小组讨论归纳商的符号法则，并对比乘法符号法则，发现一致性。总结处理分数、小数除法时的操作要点。

即时评价标准：1.板演步骤是否清晰展示了“转化”过程。2.计算结果的符号与数值是否都正确。3.能否独立归纳出与乘法一致的符号法则。4.对分数、小数除法的处理是否规范。

形成知识、思维、方法清单：★除法运算步骤：一判（符号），二化（除法变乘法，除数变倒数），三算（按乘法计算）。★商的符号法则：同号得正，异号得负。这与乘法法则一致，体现了运算的和谐。▲运算对象处理技巧：带分数化假分数、小数化分数后再求倒数，能简化运算，降低错误率。教师点评：“看，符号法则和乘法‘师出同门’，这样我们只需要记一套符号规则就行了，多方便！”

任务五：处理乘除混合运算，强化运算顺序与策略

教师活动：生活中和数学中，常常会遇到乘除混合运算。例如：计算(12)÷(3)×(1/4)。怎么算？这里既有除法又有乘法，还能用我们的法则吗？当然可以！我们可以逐步处理：先算除法(12)÷(3)=4，再算4×(1/4)=1。有没有更高效的办法？既然除法可以转化为乘法，我们能不能先把整个式子统一成乘法？尝试一下：原式=(12)×(1/3)×(1/4)。大家看，现在式子变成了几个有理数相乘？对，三个。这时我们可以一次性确定符号（负因数的个数是奇数个，积为负），再计算绝对值乘积。比较两种方法，哪种更简便？在多数情况下，先将除法统一为乘法，往往能简化运算。请大家用这种方法再算一题：(6)÷2/3×(5)。

学生活动：尝试用两种方法计算例题，体会不同方法的优劣。重点练习“先将除法全部转化为乘法，再进行整体计算”的策略。理解这种策略的优势在于能统一运算类型，方便运用乘法运算律（后续会学）和一次性定号。

即时评价标准：1.是否理解乘除混合运算的顺序（从左到右）。2.能否灵活运用“统一转化为乘法”的策略简化计算。3.在多步计算中，是否依然能保持符号和计算的准确性。

形成知识、思维、方法清单：★乘除混合运算策略：先将式子中的除法全部转化为乘法，将混合运算统一为连乘运算，往往能简化过程。这是化归思想的再次体现。▲运算顺序：在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行；转化为连乘后，也可根据情况灵活运用运算律（为后续学习伏笔）。教师提示：“学会把‘混合舰队’变成‘统一兵种’，指挥起来就得心应手了。”第三、当堂巩固训练

基础层（全体必做）：1.口答：（15）÷3，24÷(6)，(1/2)÷(1/4)。2.计算：（0.75）÷0.25，0÷(100)，1÷(1)。（设计意图：直接应用法则，巩固符号判断与基本转化。）

综合层（大多数学生完成）：3.计算：（3/4）÷（2/3），(4.8)÷(0.12)。4.计算：(10)÷5×(2)，(12)÷(1/3)÷4。（设计意图：涉及分数、小数转化，以及简单的乘除混合，要求灵活运用法则和策略。）

挑战层（学有余力选做）：5.已知|a|=5，|b|=1/2，且ab<0，求a÷b的值。6.有一种新型材料，在特定环境下，其长度每过1小时会变为原来的4/5。如果一段该材料经过3小时后长度变为16厘米，那么它原来的长度是多少厘米？（列式并计算）（设计意图：第5题结合绝对值、符号条件，考查对法则的深层理解；第6题创设实际问题情境，考查建模与运算综合能力。）

反馈机制：基础层题目采用全班齐答或抢答，即时反馈。综合层与挑战层题目，学生独立完成后，小组内交换批改，讨论错误原因。教师巡视收集共性疑难，选取有代表性的解答（正确与典型错误）用投影展示，进行针对性讲评。例如，针对分数除法求倒数错误，强调“颠倒的是除数的分子分母”；针对乘除混合运算顺序错误，再次明晰策略。第四、课堂小结

知识整合：同学们，今天我们共同完成了一次精彩的探索之旅。现在，请大家拿出思维导图模板，以“有理数的除法”为中心，梳理一下我们今天收获了哪些主要“果实”？（引导学生说出：法则内容、推导依据、运算步骤、符号法则、混合运算策略等）。可以同桌互相补充。

方法提炼：在探索和解决问题的过程中，我们主要运用了哪些数学思想方法？（引导回顾：从特殊到一般的归纳猜想、严谨的代数推理验证、将未知问题转化为已知问题的化归思想。）

作业布置与延伸：今天的作业分为三个层次，请大家根据自己情况选择完成。必做（基础）：课本对应练习题，巩固法则。选做A（拓展）：寻找生活中可用有理数除法解决的实际问题，并编成一道计算题。选做B（探究）：思考：我们学了加减、乘除，那么有理数的混合运算顺序是怎样的？尝试计算像6+(2)×3÷(1/2)这样的式子，总结顺序规则。（为下节课铺垫）。最后，送大家一句话：“善‘除’者，必先善‘乘’与‘化’。”希望同学们在运算中体会转化的智慧。六、作业设计

基础性作业（必做）：1.计算下列各题：（1）(36)÷9；（2）0÷(5/7)；（3）(1)÷(1/3)；（4）4.5÷(0.9)；（5）(3/8)÷3/4。2.化简下列分数（实质为除法）：（1）12/3；（2）15/(5)；（3）(6)/(2)。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：3.某水库水位每天变化记录如下（上升为正，下降为负，单位：厘米）：+5，3，8，+2。求这四天内水位平均每天变化多少厘米？4.计算：（1）(48)÷8×(1/6)；（2）(7/12)÷(3/4)×(9/14)。

探究性/创造性作业（选做）：5.查阅资料或自行思考：为什么在数学中规定“0不能作除数”？请尝试从除法的定义（逆运算）或实际意义的角度，给出你的解释。6.设计一个包含两步以上有理数乘除运算的“陷阱题”，要求能考验对方对法则细节、运算顺序和符号处理的掌握程度，并附上你的解答和“陷阱”说明。七、本节知识清单及拓展

★1.有理数除法法则（核心）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。这是将除法运算统一转化为乘法运算的根本依据，体现了数学的化归思想。

★2.倒数（转化的关键）：乘积为1的两个数互为倒数。求一个数的倒数（0除外）是进行除法转化的必要步骤。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。求带分数、小数的倒数时，通常先化为假分数或分数形式。

★3.商的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（实为相乘）。这与有理数乘法法则完全一致，简化了记忆负担，体现了运算律的普适性。

★4.0的除法：0除以任何一个不等于0的数，都得0。切记：0不能作除数，因为找不到一个与0相乘能得到非零数的数，这与除法定义矛盾。

▲5.运算步骤口诀：一判（判断商的符号），二化（变除为乘，除数变倒数），三算（按乘法法则计算绝对值）。养成良好的步骤习惯是提高运算准确率的保障。

▲6.除法的多种理解：除了是乘法的逆运算，从“平均分”或“包含除”的实际意义理解除法，有助于在应用题中建立正确模型。

▲7.除法与减法：除以一个数（非零）相当于乘以它的倒数，这与“减去一个数等于加上它的相反数”在结构上高度相似，都是通过引入新的概念（倒数/相反数）将一种运算转化为另一种更基础或更易处理的运算。

▲8.分数与除法的关系：分数线实质上就是除号，即a/b=a÷b(b≠0)。这使得分数形式的数可以直接参与有理数运算规则。

▲9.乘除混合运算策略：在只含乘除的算式中，可先将所有除法运算统一转化为乘法，使整个式子变为连乘形式，便于一次性确定符号和运用运算律（后续学习）。

▲10.运算顺序：在有理数混合运算中，先乘除，后加减；同级运算从左到右依次进行。有括号先算括号内。将除法转化后，可更灵活地处理顺序。

▲11.易错点警示：（1）忽略符号，直接计算绝对值；（2）求倒数时出错，特别是对负数、带分数的倒数；（3）乘除混合时，未将除法全部转化就急于计算，导致顺序混乱；（4）误用“0除以任何数都得0”为“任何数除以0都得0”。

▲12.应用意识：有理数除法可广泛应用于描述速度、密度、价格、平均变化率等涉及“比率”关系的现实情境中。建立数学模型（列除法算式）是关键一步。八、教学反思

（一）目标达成度分析：从当堂巩固训练的完成情况看，绝大多数学生能正确表述法则并完成基础计算，表明知识目标基本达成。在综合层题目中，约70%的学生能独立、准确地完成分数、小数及简单混合运算，能力目标得到初步落实。在挑战题讨论中，部分学生展现出了良好的符号推理和建模意识。情感目标方面，课堂探究氛围浓厚，小组合作有效，学生体验到了发现的乐趣。元认知目标通过小结环节的思维导图绘制得到体现，但学生自我反思的深度仍有待后续课堂持续引导。

（二）环节有效性评估：1.导入环节：温差问题迅速聚焦核心，驱动性强。“这个除法怎么算？”的问题有效激发了学生的求知欲。2.新授任务链：任务一（逆运算）到任务二（猜想法则）的过渡自然，为学生搭建了坚实的认知台阶。任务三的代数证明是亮点，虽然对部分学生抽象，但借助具体数字的铺垫，多数学生能理解其逻辑必