2026年高考物理二轮复习讲练测专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能（模型与方法讲义）（全国）（原卷版）

专题06圆周运动模型中临界问题和功与能

目录

1．圆周运动的三种临界情况......................................................................................................................................1

2．常见的圆周运动及临界条件..................................................................................................................................1

3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论.................................................................................................................2

1．圆周运动的三种临界情况

(1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。

(2)接触面分离临界：FN＝0。

(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。

2．常见的圆周运动及临界条件

(1)水平面内的圆周运动

水平面内动力学方程临界情况示例

水平转盘上的物体

2

Ff＝mωr恰好发生滑动

圆锥摆模型

mgtanθ＝mrω2恰好离开接触面

(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动

轻绳模型

v2恰好通过最高点，绳的拉力恰

最高点：FT＋mg＝m

r好为0

轻杆模型

v2恰好通过最高点，杆对小球的

最高点：mg±F＝m

r力等于小球的重力

带电小球在叠加场中的圆周关注六个位置的动力学方程，恰好通过等效最高点，恰好做

运动最高点、最低点、等效最高点、完整的圆周运动

等效最低点，最左边和最右边

位置

等效法

倾斜转盘上的物体

2

最高点：mgsinθ±Ff＝mωr

恰好通过最低点

2

最低点Ff－mgsinθ＝mωr

3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论

【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记

为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为R

v2

要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A的向心力恰好等于重力时，由mgm可得vgR①

R

对应C点的速度有机械能守恒

11

mg2Rmv2mv2得v5gR②

2C2AC

当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒

1

mgRmv2得v2gR③

2cc

小结：当时小球能通过最高点小球在点受轨道向内的支持力

(1).vc5gRAA

v2

由牛顿第二定律FmgmA④

AR

当时小球恰能通过最高点小球在点受轨道的支持力为

(2).vc5gRAA0

v2

由牛顿第二定律mgmA。⑤

R

当时小球不能通过最高点小球在点，上升至圆弧间的某一位向右做斜抛运

(3).2gRvc5gRAADA

动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0

v2h

在DA段射重力与半径方向的夹角为则mgcosm、cos

RR

当时小球不能通过最高点上升至圆弧的某一位置速度减为之后沿圆弧返回。上

(4).0vc2gRACD0

升的最高点为C永不脱离轨道

【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力

1

(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒mg2Rmv2

2C

v2

在C点由牛顿运动定律：FmgmC得F5mg⑥

NRN

1

(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒mgRmv2

2C

v2

在C点由牛顿运动定律：FmgmC得F3mg⑦

NRN

从点以初速度释放小球到达最低点

(3)AvAgR

11

由机械能守恒mg2Rmv2-mv2

2C2A

v2

在C点由牛顿运动定律：FmgmC得F6mg⑧

NRN

【典例1】“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边

上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙所示的模

型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径为R=2.5m，绳长L2R，圆盘以恒定的角速度

转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为h=22.5m，重力加速度g

取10m/s2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求：

（1）手机滑落瞬间的速度大小；

（2）手机落地点距离中心转轴的距离。

【典例2】如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧

3

轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sin，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，

5

经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受

到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重

力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力）求：

（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；

（2）小球到达A点时动量的大小；

【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路

分析物体受力情况，画出受力示意图，确定向心力来源→

利用平行四边形定则、正交分解法等表示出径向合力

→根据牛顿第二定律及向心力公式列方程

【典例3】如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直

平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正

确的是()

A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下

B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向

C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变

D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功

【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意

1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物体

进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。

2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0或FT＝0。

3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。

【典例4】如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，

滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为

2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（）

A．可以到达半圆轨道最高点D

B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N

C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m

D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s

1．如图所示，质量为m的小物块开始静止在一半径为R的球壳内，它和球心O的连线与竖直方向的夹角

为30°。现让球壳随转台绕转轴OO'一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g，则（）

3

A．静止时物块受到的摩擦力大小为mg

2

3g

B．若转台的角速度为，小物块不受摩擦力作用

3R

g

C．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下

R

3g

D．若转台的角速度为2，小物块受到的摩擦力沿球面向下

3R

2．如图所示，长度为l的轻绳一端固定在O点，另一端系着一个质量为m的小球，当小球在最低点时，获

得一个水平向右的初速度v02gl，重力加速度为g，不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正

确的是（）

A．小球恰好能到达竖直面内的最高点

B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg

2

C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为

3

D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg

3．如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（）

A．小球通过最高点的最小速度为g(Rr)

B．小球通过最高点的最小速度为零

C．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力

4．如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质

量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不

同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（）

g

A．若圆环光滑，则角速度

Rtan

gtan

B．若圆环光滑，则角速度

R

g

C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等

R

g

D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于

R

5．如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。

其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球视为质点在

轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，

重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（）

A．铁球可能做匀速圆周运动

B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒

C．铁球在A点的速度一定大于或等于gR

D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg

6.（多选）如图所示，倾角为30的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为4m的滑块，通过轻

绳绕过光滑的滑轮与质量为m的带正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与

斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为30。斜面体和滑块始终静止，滑块与

3

斜面的动摩擦因数为，小球与小孔之间的绳长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（）

2

A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg

B．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小

15g

C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为

2πL

D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大

7.（多选）．如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA4kg，mB1kg，它们分居在圆

心两侧，与圆心距离为rA0.1m，rB0.2m，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为＝0.2，

设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，g10m/s2，以下

说法正确的是（）

A．B的摩擦力先达到最大

B．当25rad/s时，绳子出现张力

C．当30rad/s时，A、B两物体出现相对滑动

D．当52rad/s时，A、B两物体出现相对滑动

8.（多选）如图，质量为m的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨道

的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g，P、Q为圆轨道上同一

竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（）

A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg

2mv2

B．通过P、Q两点时对轨道的压力大小之和为

R

C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²

D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR

9．（多选）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，

现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其

2

Fv图像如图乙所示。已知X星球的半径为R0，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是

（）

A．X星球的第一宇宙速度v1b

3b

B．X星球的密度

4GR0

bR2

C．X星球的质量M0

GR

2RR0

D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为R0的卫星周期T4

b

10.（多选）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R的光滑圆弧轨道ABC，其圆心为O，B点在O的正上

方，A、C点关于OB对称，AOB。可看成质点的物块自A点以初速度v0沿着轨道切线方向向上运动，

并且能沿轨道运动到B点。已知重力加速度为g，sin370.6，下列说法正确的有（）

2

A．若37，则物块在A点初速度可能为gR

5

4

B．若37，则物块在A点初速度可能为gR

5

3

C．若53，则物块在A点初速度可能为gR

5

4

D．若53，则物块在A点初速度可能为gR

5

11．（多选）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B点，半圆轨道的圆心为O，半径为R，C为其

最高点。BD段为双轨道，D点以上只有内轨道，D点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，一小球从水平面

上的A点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C点。不计一切摩擦。则（）

A．小球到达C点时速度为0

B．小球到达C点后做平抛运动落在地面上

C．小球在A点的初速度为5gR

2

D．若小球到达D点时对内外轨道均无弹力，则sin

3

12．（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，

AB段与水平面夹角为，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A

点以初速度v0上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（）

A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大

B．小球A从到C的过程中，重力的功率先增大后减小

C．小球的初速度v02gR

D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道

13．空中飞椅是各大游乐场中常见的娱乐设施，尤受年轻人的喜欢。某空中飞椅可简化为如图所示的模型，

上端是半径r3m的水平圆形转台，转台可绕过其圆心的竖直轴OO转动。在转台的边缘固定有一长L=5m

的轻绳，轻绳的底端悬挂有一座椅（含游客）。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最低点，然

后转台在电机带动下绕竖直转轴OO缓慢加速转动起来，座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为53时开

始以某角速度匀速转动。游客和座椅均可视为质点，其总质量M=60kg，取重力加速度大小g=10m/s2，

sin530.8，cos530.6。求：

(1)该座椅（含游客）稳定转动时受到的合力大小F；

(2)座椅（含游客）从静止开始转动到稳定转动的过程中，座椅（含游客）的机械能增量E。

14．“旋转飞椅”是游乐场中颇受欢迎的游乐项目，其简化模型如图所示。半径分别为RA4m、RB1m的

水平转盘A与水平转盘B通过皮带连接，皮带与两转盘之间不发生滑动，竖直中心轴固定在转盘B上，半

径为RC3m的转盘C固定在竖直中心轴的顶端，长度为L=5m的缆绳一端系着座椅，另一端固定在转盘C

的边缘。转盘静止时，缆绳沿竖直方向自由下垂并系上人；装置启动后，转盘C先向上抬升h1m，然后

绕竖直轴转动，转动的角速度缓缓增大，达到设定值后保持不变，稳定后缆绳与竖直方向的夹角为37。

游客和座椅（整体可视为质点）的总质量为m60kg，不考虑一切阻力和缆绳的重力，重力加速度g取

10m/s2，sin370.6，cos370.8。求：

(1)稳定后缆绳拉力的大小；

(2)转盘A转动的角速度大小；

(3)从静止到整个装置稳定转动过程中缆绳对游客和座椅所做的总功。

15．如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，整个空间分布有大小为

mg

E、水平向右的匀强电场（未画出），现将一质量为m、电荷量为+q的小球（可视为质点）从水平轨

q

道上A点由静止释放，小球运动到C点离开半圆轨道后落在水平轨道上。已知整个运动过程小球的电荷量

保持不变，A、B间的距离为3R，重力加速度为g。求

(1)小球运动到B点时受到的支持力大小；

(2)小球在竖直半圆轨道速度的最大值vm；

(3)小球落入水平轨道瞬间的速度大小。

16．如图所示，质量为m0.2kg的小物块从平台的右端A点以速度v03m/s水平飞出后，恰由P点沿切

线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M飞出。已知圆轨道半径R0.5m，圆心为O，N点为轨

道最低点，∠PON=53°，重力加速度g10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：

(1)小物块在P点的瞬时速度大小vP；

(2)小物块通过M点的瞬时速度大小vM；

(3)小物块在圆轨道上运动的过程中摩擦力对它做的功W。

17．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面体ABCD上（CD为斜面体与地面的交线），有一根长R=0.2m的

细线，细线的一端固定在斜面上的O点，另一端连接着一个可视为质点的小球，过O点平行于AD的直线

交CD于E点，DE的长度x11m。现使小球沿顺时针方向刚好能在斜面上做完整的圆周运动，F、Q为轨

迹圆的最高点和最低点，从某次过Q点细线被割断瞬间开始计时（不影响小球速度），小球沿斜面运动，后

经斜面边缘上的M点飞出，落到地面上的N点，总共用时t=1.5s。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，sin0.4，

重力加速度g10m/s2。求：

(1)小球经过Q点时的速度大小vQ

(2)小球经过M点时的速度大小vM；

(3)M、N两点间的距离L。（结果均可保留根号）

18．如图所示，M、N为固定在同一竖直方向上相距L的两个钉子，一根长为10L的轻绳一端系在M点，

另一端竖直悬挂质量为m的小球，小球与水平地面接触但是无压力。忽略空气阻力、钉子直径和小球直径，

不计绳被钉子阻挡和绳断裂时机械能的损失，重力加速度为g。

(1)给小球一个初速度使其在竖直面内可以做圆周运动，且能通过M点正上方，求初速度的最小值；

(2)若给小球大小为8gL的初速度，使其在竖直面内运动旋转两周时经过M点正下方时绳子断开，求绳子

断裂瞬间小球的速度大小和小球落在地面时