内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年第一学期高三期末考试数学试题（试卷+解析）

巴彦淖尔市2025—2026学年第一学期高三期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4.本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则的虚部为（）A. B.4 C.8 D.4i2.若抛物线的准线过点，则（）A.6 B.12 C.24 D.3.某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（）A. B. C. D.4.已知集合，，则集合所有元素之和为（）A.2548 B.2499 C.2600 D.27035.已知直线与曲线在处的切线垂直，则（）A B. C. D.106.设向量，，则的最大值为（）A.13 B.5 C.8 D.107.从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（）A. B. C. D.8.已知某超市的某商品每月的销售量y（单位：千袋）与销售价格x（单位：元/袋）满足函数关系式.已知该商品的成本为3元/袋，则该超市每月销售该商品获得的利润的最小值为（）A.30000元 B.50000元 C.40000元 D.48000元二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若函数的最小正周期为，则（）A.B.的图象关于点对称C.函数奇函数D.将的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合10.已知函数（），则（）A. B.零点个数为1C.在上存在零点 D.在上单调递减11.记到两定点、的距离之积为的动点的轨迹为，则（）A.经过点B.直线与恰有个公共点C.上所有点的横坐标的绝对值均不大于D.当点在椭圆上，且时，点在上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知样本数据的标准差为，则数据的方差为______，数据的方差为______．13.若直线：截圆C：所得弦长为整数，则这样的有_____条.14.已知数列满足，且，则_____.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.（1）求的面积；（2）求16.某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成.（1）现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率.（2）因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望.17.如图，在三棱台中，平面，为等边三角形，，，，D，E分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.（3）求二面角的余弦值.18.已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且.（1）求C的方程.（2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程.（3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.19.已知函数，.（1）求函数的单调区间.（2）设，且.（i）证明：.（ii）证明：.巴彦淖尔市2025—2026学年第一学期高三期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4.本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则的虚部为（）A. B.4 C.8 D.4i【答案】B【解析】【分析】应用复数的除法化简复数，即可得.【详解】，即虚部为4.故选：B2.若抛物线的准线过点，则（）A6 B.12 C.24 D.【答案】B【解析】【分析】表示出抛物线的准线方程，即可得到方程，解得即可.【详解】抛物线的准线为，又准线过点，所以，解得．故选：B3.某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出古典概率.【详解】依题意从9款设计稿中任选3款的试验有个基本事件，被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的事件有个基本事件，所以所求概率为.故选：A4.已知集合，，则集合所有元素之和为（）A.2548 B.2499 C.2600 D.2703【答案】C【解析】【分析】求出，再利用等差数列的求和公式计算.【详解】由，得，即，则将所有元素从小到大排成一列，构成一个以3为首项，2为公差的等差数列，项数为50，所以集合所有元素之和为．故选：C5.已知直线与曲线在处的切线垂直，则（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为计算可得.【详解】因为，所以，曲线在处的切线的斜率，又直线的斜率为，依题意可得，解得．故选：A6.设向量，，则的最大值为（）A.13 B.5 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积及二倍角公式、辅助角公式化简计算即可.【详解】，其中.因为，所以，故.故选：C.7.从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析挖去部分的形状，再分别计算正方体剩余部分的表面积和挖去部分的表面积，最后将两部分面积相加得到几何体Ω的表面积.【详解】根据题意易得是由正方体，挖去个以4为半径的球所得，所以的表面积为.故选：D8.已知某超市的某商品每月的销售量y（单位：千袋）与销售价格x（单位：元/袋）满足函数关系式.已知该商品的成本为3元/袋，则该超市每月销售该商品获得的利润的最小值为（）A.30000元 B.50000元 C.40000元 D.48000元【答案】C【解析】【分析】列出每月销售该商品所获得的总利润Z元与售价元和每月销量千袋之间的函数关系式，再利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】设每月销售该商品所获得的总利润为Z元，该商品每袋的利润为元，每月的销售量为袋，则，因为，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以该超市每月销售该商品获得的利润的最小值为40000元.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若函数的最小正周期为，则（）A.B.的图象关于点对称C.函数是奇函数D.将的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合【答案】AB【解析】【分析】根据周期公式求出的值，即可判断A；由选项A得到函数的解析式，求出其对称中心，即可判断B；求出函数的解析式，并判断其奇偶性，即可判断C；将的图象向右平移个单位长度，得到的解析式，并判断它与函数的关系，即可判断D.【详解】由题意可知，解得，故A正确；可知.令，解得.当时，可得.所以的图象关于点对称，故B正确；因为，令，因为，所以函数是偶函数，即是偶函数，故C错误；将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，与的图象不重合，故D错误.故选：AB10.已知函数（），则（）A. B.的零点个数为1C.在上存在零点 D.在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】将自变量代入及对数的运算性质判断A，利用导数研究函数的零点和区间单调性判断B、C、D.【详解】A：由，错，B：令，则，所以，则，且，令，且，所以与的零点相同，所以，所以在上单调递增，而，所以在上存在零点，则在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，而，，，故在上存在一个零点，则在上存在唯一零点，即在上零点个数为1，对，C：由B分析知，在上存在一个零点，对，D：由题意，令且，所以，即在上单调递减，所以，即在上恒成立，所以在上单调递减，对.故选：BCD11.记到两定点、的距离之积为的动点的轨迹为，则（）A.经过点B.直线与恰有个公共点C.上所有点的横坐标的绝对值均不大于D.当点在椭圆上，且时，点在上【答案】ACD【解析】【分析】利用曲线的定义可判断A选项；求出曲线的方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出方程组的公共解，可判断B选项；由可得出关于的不等式，解出的取值范围可判断C选项；分析可知、为椭圆的焦点，利用椭圆的定义以及勾股定理、曲线的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，，故点在曲线上，A正确；对于B选项，设点在曲线上，则，即，即，所以.由，得，得，则，则直线与只有个公共点，B错误；对于C选项，因，所以，可得，解得，则，C正确；对于D选项，在椭圆中，，，则，所以、为椭圆的焦点，所以，因为，所以，则，得，所以点在上，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知样本数据的标准差为，则数据的方差为______，数据的方差为______．【答案】①.11②.44【解析】分析】先根据标准差得出方差，再根据方差性质计算求解.【详解】根据题意可得数据的方差为11，则数据的方差为．故答案为：11；44.13.若直线：截圆C：所得弦长为整数，则这样的有_____条.【答案】4【解析】【分析】先确定圆的圆心，半径及直线所过的定点，通过分析得到过点的弦长的取值范围，即可得到弦长为整数的直线的条数，特别注意直线斜率不存在的情况.【详解】由圆的方程可知圆心，半径为5.将变形为，可知直线过定点，则，当过点的弦与垂直时，弦长最短，最短弦长为，最长弦长为直径10，则弦长可能为8，9，10.因为直线截C所得弦长为8，所以满足题意的有4条.故答案为：414.已知数列满足，且，则_____.【答案】【解析】【分析】通过构造新数列的方法，将给定的递推公式转化为一个等比数列的形式，进而可求出数列的通项公式.【详解】设，则.由，解得..又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.，.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.（1）求的面积；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，即可求角，再利用面积公式求解即可；（2）利用余弦定理求边，再用正弦定理求角即可.【小问1详解】因为，所以，因为，，所以，得.所以的面积.【小问2详解】因为为锐角三角形，所以.由余弦定理可得，所以由正弦定理，则解得.16.某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成.（1）现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率.（2）因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，2【解析】【分析】（1）利用全概率公式即可求解；（2）的所有可能取值为0，2，4，分别求得概率即可得到分布列，利用期望公式即可求出期望.【小问1详解】设事件为“调派社区支援队”，事件为“调派城区保障队”，事件为“选中男队员”，则.所以选中男队员的概率为.【小问2详解】从社区支援队抽调2名女队员，支援后城区保障队中有3名男队员，3名女队员，，从社区支援队抽调1名男队员1名女队员，支援后城区保障队中有4名男队员，2名女队员，，从社区支援队抽调2名男队员，支援后城区保障队中有5名男队员，1名女队员，，的所有可能取值为0，2，4，，，，所以的分布列为024数学期望.17.如图，在三棱台中，平面，为等边三角形，，，，D，E分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）取的中点F，通过证明四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据线面垂直，面面垂直的判定定理证明即可；（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及平面的法向量，根据公式先求出两个半平面的夹角的余弦值，再结合图形，判断二面角是锐角还是钝角，即可得解.【小问1详解】取的中点F，连接，.E为的中点，，是三棱台，，，，四边形为平行四边形，.平面，平面，平面；【小问2详解】平面，平面，.为等边三角形，E为的中点，.，平面,平面.平面，平面平面；【小问3详解】取的中点，连接，.，平面.为等边三角形，，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.易知是平面的一个法向量.，且由图可知二面角为锐角，二面角的余弦值为.18.已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且.（1）求C的方程.（2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程.（3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案