山东省菏泽市2025-2026学年高三上学期期末数学试题（B）（试卷+解析）

山东省菏泽市2025-2026学年高三上学期期末数学试题（B）2026.02注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若为纯虚数，则实数a的值为（）A.－4 B.2 C.－2 D.43.设向量，则（）A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的充分条件C.“”是“”的必要条件D.“”是“”的充分条件4已知，则（）A. B. C. D.5.已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A. B. C. D.6.已知函数在上单调递增，则取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.如图，在棱长为4的正方体，中，，分别为棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，则以点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为（）A. B.8 C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知随机变量，若，，则下列说法正确的有（）A. B. C. D.10.已知函数及其导函数的定义域均为.且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（）A. B.C. D.11.数学中有许多形状优美、寓意美好曲线，如星形线、心形线、卵形线等、已知卵形线，则（）A.曲线关于轴对称B.曲线上横、纵坐标均是整数的点恰有4个C.曲线上存在点，使得到点的距离小于1D.曲线围成区域的面积大于4三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上）12.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率___________．13.过点作圆的切线，则切线方程为___________．14.四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知．（1）当时，求的值域；（2）在中，、、分别是角、、所对边，若，且，求的最大值．16.近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为款､款､款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个.（1）若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个款玩偶的概率；（2）若小明只想要款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出款玩偶，老板就赠送一个款玩偶给他.为了得到款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由.17.在平行四边形ABCD中，为AB中点，将沿直线DE翻折至．设是线段的中点，．（1）证明：平面；（2）求点到平面MEC的距离；（3）求二面角的余弦值．18.已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且时，的面积为．（1）求的方程；（2）设为的左顶点，直线过点，且与交于B，C两点，直线AB，AC与轴分别交于点M，N，证明：为定值．19.设定义域为的函数，对于，定义．（1）设，求；（2）设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）若对任意，，其中，均是上的恒正函数．证明：“对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”．山东省菏泽市2025-2026学年高三上学期期末数学试题（B）2026.02注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，故.故选：B.2.若为纯虚数，则实数a的值为（）A.－4 B.2 C.－2 D.4【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，借助纯虚数的定义计算即可.【详解】，因为z为纯虚数，所以，则，故选：D．3.设向量，则（）A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的充分条件C.“”是“”的必要条件D.“”是“”的充分条件【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】当时，，解得或，即必要性不成立，故A错误；当时，，故，所以，即充分性成立，故B正确；当时，，解得，即必要性不成立，故C错误；当时，不满足，所以不成立，即充分性不成立，故D错误.故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用二倍角正弦公式化简得出，再结合角的范围确定余弦值的正负求解.【详解】因为，所以，且，即，所以，且，则.故选：D.5.已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，高为h，又因为圆锥的轴截面是等腰三角形，所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径所以圆锥的母线长，圆锥侧面积：；圆柱侧面积：；圆锥和圆柱的侧面积之比为.故选：B.6.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，可知在上单调递减，且，由题意，只需函数在上单调递减，分类讨论，结合一次函数与二次函数的单调性求解．【详解】令，可知在上单调递减，且，要使函数在上单调递增，只需函数在上单调递减，当时，在上单调递减，符合题意；当时，图象开口向上，对称轴，所以，即，当时，图象开口向下，对称轴，此时在上单调递减，符合题意，综上，则的取值范围是．故选：B．7.已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得.【详解】由题知，函数在上仅有一个零点，所以，所以，令，得，即.若第一个正零点，则（矛盾），因为函数在上仅有一个零点，所以，解得.故选：A8.如图，在棱长为4的正方体，中，，分别为棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，则以点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为（）A. B.8 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意作出截面，然后用即可求出结果.【详解】延长交于点，连接交于，则平面为所求截面，故，故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知随机变量，若，，则下列说法正确的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断A选项；利用基本不等式可判断BCD选项.【详解】对于A选项，因为，，，由正态密度曲线的对称性可得，故，A对；对于B选项，由题意可知，，，故，当且仅当时，即当时，等号成立，B错；对于C选项，，故，当且仅当时，即当时，等号成立，C对；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，D对.故选：ACD.10.已知函数及其导函数的定义域均为.且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（）A B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由奇函数的性质判断出的图象关于点对称可判断A，对求导得出的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D．【详解】A：因为为奇函数，所以，即，即，所以的图象关于点对称且定义域为R，所以，A正确；B：由，两边求导得，即，又的图象关于点对称，得，所以，B正确；C：因为为奇函数，即为奇函数，则，所以，则（为常数），当时，，即，故为偶函数，所以的图象关于直线对称，则，又，所以，所以的图象关于点成中心对称，由得，所以，C错误；D：由得，，所以，又，所以，D正确．故选：ABD11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等、已知卵形线，则（）A.曲线关于轴对称B.曲线上横、纵坐标均是整数的点恰有4个C.曲线上存在点，使得到点的距离小于1D.曲线围成区域的面积大于4【答案】ABD【解析】【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线为封闭曲线，过点，关于轴对称，画出曲线大致图形，结合圆、四边形在曲线内部判断各项的正误.【详解】由，则，对于曲线上任意点，其关于轴对称点为，代入成立，曲线关于直线对称，A对；所以，所以，则，故，时；时；时，故曲线过点，曲线C上恰好有4个整点，B对；对于曲线上任意一点，则，当时，，则，∴，∴，此时曲线上点在圆外，当时，，则，∴，∴，此时曲线上点在圆外，所以曲线上的所有点均在圆外，即曲线上不存在点，使得到点的距离小于1，C错；如图，，，，四边形的面积，当时，直线，曲线，即，设，，判别式，∴恒成立，即函数单调递增，且∵，∴当时，，∴，即，∴，即，∴，即.设点在直线上，点在曲线上，则，即曲线上的点在直线上方，由对称可知，当时，上面的结论依然成立.当时，直线，由得，曲线方程等价于，又等价于，设函数，则，即函数在上单调递增，且，所以当时，，即，，即，则，即.设点在直线上，点在曲线上，则，即曲线上的点在直线下方，由对称可知，当时，上面的结论依然成立.故四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，D对.故选：ABD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上）12.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率___________．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系及双曲线定义求出离心率.【详解】设双曲线的半焦距为，则，在中，由，得，由双曲线定义得，则，所以的离心率.故答案为：13.过点作圆的切线，则切线方程为___________．【答案】【解析】【分析】先判断点在圆上，再求出切线的斜率，点斜式即可求解.【详解】将点代入圆的方程，得，故点在圆上.可化为：，圆心为.,故，故切线方程为：，即.故答案为：.14.四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.【答案】12600【解析】【详解】问题等价于编号为的10个小球排列，其中号，号，号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知．（1）当时，求的值域；（2）在中，、、分别是角、、所对的边，若，且，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简得出，由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质求得函数的值域；（2）由结合角的取值范围可得出角的值，然后利用正弦定理结合平面向量数量积的定义计算得出，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质即可求得的最大值.【小问1详解】，因为，所以，所以，故，则在上值域为.【小问2详解】因为，所以，则，故，又因为，所以，又因为，所以由正弦定理，得，同理可得，因为，，，，所以，因为，则，所以，所以当，即时，最大值为．16.近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为款､款､款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个.（1）若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个款玩偶的概率；（2）若小明只想要款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出款玩偶，老板就赠送一个款玩偶给他.为了得到款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由.【答案】（1）（2）去甲家商店购买更划算，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先设至少开出2个款玩偶为事件，结合独立重复事件概率公式，即可求解概率；（2）根据方案二的结果求分布列及，再根据方案一平均花费为元，即可比较判断.【小问1详解】设至少开出2个款玩偶为事件故；【小问2详解】方案一：直接去乙商店购买花费3元；方案二：设表示开盲盒的次数，即花费为,故的所有可能取值为1，2，3，4，，，，，，则的分布列如表所示：1234．方案二平均花费为元，方案一平均花费为元，故小明应该选择去甲家商店购买更划算.17.在平行四边形ABCD中，为AB中点，将沿直线DE翻折至．设是线段的中点，．（1）证明：平面；（2）求点到平面MEC的距离；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）根据，结合三棱锥体积公式计算即可；（3）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再根据线面角向量法求解即可.【小问1详解】因为为AB中点，所以，即为等边三角形，所以，在中，．所以，因为，所以，又平面，所以平面；【小问2详解】由（1）知CE为三棱锥的高，，所以，因为是线段的中点，所以，又在中，，所以，设点到平面MEC的距离为，则，即所以；【小问3详解】取DE中点O，DC中点，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，所以令，可得平面的法向量为，易知平面DEC的一个法向量，设二面角的平面角为，由图可知二面角的大小为锐角，所以，所以二面角的余弦值为．18.已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且时，的面积为．（1）求的方程；（2）设为的左顶点，直线过点，且与交于B，C两点，直线AB，AC与轴分别交于点M，N，证明：为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）应用椭圆定义及余弦定理得出，再应用面积公式代入求解得出，进而得出椭圆方程；（2）先求出直线得出MN中点为，再设直线联立椭圆方程得出，，最后应用三点共