山西运城市2025-2026学年高二第一学期期末调研测试数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年第一学期期末调研测试高二数学试题2026.2满分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列求导正确的是（）A. B.C. D.2.已知数列中，，，则（）A. B. C. D.3.已知直线与圆交于两点，则（）A.2 B. C.4 D.4.如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.5.已知函数，则以下最不可能是其图像的是（）A. B.C. D.6.在数列中，，则（）A.3872 B.3882 C.3892 D.39027.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.设，，，则、、的大小关系是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影分别为，准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（）A.若，则直线方程为：B.以为直径的圆与准线相切C.设，则D.10.在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是（）A.B.三棱锥的体积最大值为C.若，则点到直线的距离为D.三棱锥外接球球心轨迹的长度为11.已知是函数的极大值点，则（）A.B.若函数有三个零点，则实数取值范围为C.若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为D.过点存在3条直线与曲线相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是等比数列的前项和，，，则___________．13.已知函数，若，都有，则______________.14.已知双曲线一条渐近线方程为，点在双曲线上，且数列递增，则_________，__________.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项，且.（1）证明：数列是等差数列；（2）令，求数列的前项和.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围.17.如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）证明：；（3）记和的面积分别是，求的最小值.19.已知函数.（1）对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）数列满足.①判断数列单调性并说明理由；②设数列前项和为，证明：.2025-2026学年第一学期期末调研测试高二数学试题2026.2满分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列求导正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的运算法则以及复合函数求导法则运算求解即可.【详解】对于选项A：，，两者不相等，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D正确；故选：D.2.已知数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将两边同时减去，再同时取倒数得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，代入计算可得.【详解】因为，，所以，所以，即又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以.故选：B3.已知直线与圆交于两点，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】先算出圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长公式计算即可.【详解】已知圆的方程为，所以圆心坐标为，.故圆心到直线：的距离，所以弦.故选：C4.如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.【详解】因为，，可得，，又因为，，可得，，所以直线与直线所成角的余弦值为.故选：D.5.已知函数，则以下最不可能是其图像的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断B；当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断C；当时，，根据对数函数的性质即可判断C；时，求确定函数的极值点即可判断A.【详解】已知函数，当时，，则，令得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，且则选项B是函数的部分图像；当时，，则，令得，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，且则选项C是函数的部分图像；当时，，则在上单调递增，且，选项D是的部分图像，对于A选项，显然，，令得，所以一定有极值点，故A选项不符合.故选：A.6.在数列中，，则（）A.3872 B.3882 C.3892 D.3902【答案】A【解析】【分析】令，判断数列的单调性，再去掉绝对值计算即可.【详解】，，令，即，，故当时，，数列递减；当时，，数列递增，，又，.故选：A.7.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用菱形性质确定点的坐标，代入椭圆方程，再通过转化为关于离心率的方程求解.【详解】因为是菱形，所以，且，点的横坐标为中点的横坐标，即，由可得，，整理得，解得，故，代入椭圆，得，整理得，又，所以，整理得，两边同时乘以，得，解得，因为，所以，所以，解得.故选：D.8.设，，，则、、的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数在上的单调性可得到、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数，其中，则，当时，，所以，函数在上单调递增，因为，则，即，即，所以，，因为，故，即，即，因此，.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影分别为，准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（）A.若，则直线的方程为：B.以为直径的圆与准线相切C.设，则D.【答案】BCD【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为并于抛物线联立，利用韦达定理由可得，可判断A错误，由抛物线定义以及焦点弦公式可证明B正确，再由三点共线可得，即可知C正确，由以及韦达定理计算可得D正确.【详解】易知抛物线的焦点，准线方程为，设直线的方程为，，如下图对于A，联立，整理可得，所以，由抛物线定义可得，解得，所以直线的方程为或，即A错误；对于B，设的中点为，易知，则，即；所以到准线距离，而，即的中点到准线距离等于，所以以为直径的圆与准线相切，即B正确；对于C，由可得，当且仅当三点共线时，等号成立，又可得，因此，即C正确；对于D，易知，即，又可得，因此，即D正确.故选：BCD10.在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是（）A.B.三棱锥的体积最大值为C.若，则点到直线的距离为D.三棱锥外接球球心轨迹的长度为【答案】ACD【解析】【分析】设，写出各点坐标.对于A，写出，验证两者的数量积是否为即可；对于B，运用三棱锥的体积公式，结合二次函数的性质以及的范围，即可得解；对于C，运用等面积法求解即可；对于D，设外接球球心，由外接球的性质可知，即可判断其轨迹，进而得解.【详解】以为原点，建立空间坐标系如图所示，设，则，对于A：可得，因为，即，故A正确；对于B：因为三棱锥的体积当时，三棱锥的体积取到最大值，故B错误；对于C：若，则，设点到直线的距离为，在中，，则且为锐角，可得，则，即，解得，故C正确；对于D：设三棱锥外接球球心，易知直角三角形的外接圆圆心位于其斜边的中点，故的外接圆圆心为，由外接球的性质可知，球心位于的外接圆圆心的正上方，且到的距离与到的距离相同，故，因此，，即，则，且，可知球心的轨迹为线段，且两个端点坐标为，所以三棱锥外接球球心轨迹的长度为，故D正确.故选：ACD.11.已知是函数的极大值点，则（）A.B.若函数有三个零点，则实数的取值范围为C.若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为D.过点存在3条直线与曲线相切【答案】AB【解析】【分析】对函数求导，并根据极值点解得或，经检验可得符合题意，因此A正确，利用函数与方程思想可得函数与有三个交点，画出函数图象求出其极值可得B正确，由区间上存在最小值得出不等式可解得，因此C错误，设出切点坐标求出切线方程并代入点得出方程，求出方程根的个数可判断D错误.【详解】对于A，易知，依题意可得，解得或；当时，，当时，当或时，可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增；显然是函数的极小值点，不合题意；当时，易知，当时，当或时，可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增；此时是函数的极大值点，所以，即A正确；对于B，若函数有三个零点，即方程有三个不相同的实数根，也即函数与有三个交点，根据已有分析可知在处取得极大值，在处取得极小值,画出函数的图象如下图：结合图象可知，即B正确；对于C，若函数在区间存在最小值，则需满足且；解得，因此C错误，对于D，设过点的直线与曲线相切于点，易知切线斜率为，所以切线方程为，代入点并化简可得,也即，所以，即，显然或，因此只存在两个切点，所以过点存在2条直线与曲线相切，即D错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是等比数列的前项和，，，则___________．【答案】【解析】【分析】设等比数列公比为，根据已知条件求出、的值，再利用等比数列的求和公式化可求出的值.【详解】设等比数列公比为，当时，，此时，与题意不符，所以，由题意可得，解得，由等比数列求和公式得．故答案为：.13已知函数，若，都有，则______________.【答案】【解析】【分析】根据不等式可求得函数在上单调递减，即在上恒成立，构造函数，对参数分类讨论，求出函数极值并利用不等式恒成立可得只有当时符合题意，即可得.【详解】不妨取，由可得，即，令，可得，，即可得在上单调递减，所以在上恒成立，又易知，则，令，则；当时，易知恒成立，此时在上单调递减，即在上单调递减，又，所以当时，，不合题意；当时，易知当时，，当时，，即可得在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，若在上恒成立，即在上恒成立，所以只需保证恒成立即可，令，则，显然当时，，当时，，即可得，即在处取得极小值，又，即，所以，即.故答案为：14.已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，且数列递增，则_________，__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】先根据双曲线渐近线方程求出的值，进而得到双曲线方程，再结合点在双曲线上以及数列递增的条件求出，最后根据点的坐标求出的面积.【详解】已知其中一条渐近线方程为，即，所以，则双曲线的方程为，因为点在双曲线上，所以，即，由于、，，即，故，当时，，符合题意；不妨设，，由得，可得，对比可得，所以，所以，整理可得，不妨取，则，此时，，符合题意，所以，，先证明一个结论：在中，若，，则．证明：．本题中，，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项，且.（1）证明：数列是等差数列；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及递推公式推导出，即可得证；（2）由（1）可得，即可得到，再利用错位相减法计算可得.【小问1详解】因为，，所以，所以，所以，又，所以数列是首项为，公差为的等差数列；【小问2详解】由（1）可得：，则，所以①，则②，两式相减得：，所以，所以.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求在点处的切线方程；（2）分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.【小问1详解】当时，，所以，而，所以在切线斜率，所以切线方程为，即.【小问2详解】因为，其中，则，①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，②当时，令，可得，列表如下：0+递减极小值递增所以，由题意可得，即，令，则.因为，所以函数在单调递增，所以由，得，所以实数的取值范围是.17.如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理得到，即可得到平面，从而得到，再说明，即可得证；（2）取的中点，连接，即可得到面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】因为平面，又平面，所以，因为底面为等腰直角三角形，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以侧面为菱形，所以又，平面，所以平面．【小问2详解】取的中点，连接，则，所以面，以为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，则，所以，，由（1）可知平面，所以平面的一个法向量，所以，所以直线与平面所成角正弦值．18.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）证明：；（3）记和的面积分别是，求的最小值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）结合代入法，焦点坐标进行求解即可；（2）根据一元二次