三角函数实际应用复习教案

三角函数实际应用复习教案一、复习引言三角函数，作为描述现实世界中周期性现象与几何关系的重要数学工具，其实际应用广泛渗透于工程测量、航海导航、物理运动乃至日常问题解决中。本次复习课旨在引导同学们回顾三角函数的核心概念与基本性质，并重点梳理其在解决实际问题中的思路与方法，强化数学建模能力与运算求解能力，最终实现知识的融会贯通与灵活运用。二、复习目标1.知识与技能：*回顾并巩固锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及其在直角三角形中的应用。*复习并理解解直角三角形的基本依据和方法。*能够将实际问题抽象为与直角三角形（或可转化为直角三角形）相关的数学模型。*熟练运用计算器进行三角函数值的计算与角度的求解。*掌握利用三角函数解决高度、距离、方位角等实际测量问题的一般步骤。2.过程与方法：*通过典型例题的分析与解答，体验从实际问题中提取关键信息、构造数学模型、应用三角函数知识解决问题的完整过程。*培养观察、分析、抽象概括和空间想象能力。*提升运用数形结合思想、转化与化归思想解决问题的能力。3.情感态度与价值观：*感受数学的实用价值，增强应用数学的意识和信心。*在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，培养克服困难的意志。*培养严谨的治学态度和细致的计算习惯。三、教学重点与难点*教学重点：*锐角三角函数定义的准确理解与灵活运用。*将实际问题转化为解直角三角形问题。*运用三角函数解决高度测量、距离测量、方位角等实际问题。*教学难点：*从复杂的实际情境中抽象出数学模型，特别是辅助线的添加与图形的构造。*理解并处理问题中的非直角三角形情形（如何转化为直角三角形）。*准确理解题目中的专业术语（如仰角、俯角、方位角、坡角、坡比等）。四、教学过程设计（一）知识梳理与回顾(约10分钟)1.锐角三角函数定义：*在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。*sinA=∠A的对边/斜边=a/c*cosA=∠A的邻边/斜边=b/c*tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b*提问：这些比值与三角形的大小有关吗？只与什么有关？（引导学生回答：只与锐角A的大小有关）*特殊角的三角函数值（30°、45°、60°）回顾与记忆方法。2.解直角三角形：*定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程。*依据：*两锐角关系：∠A+∠B=90°*三边关系：勾股定理a²+b²=c²*边角关系：锐角三角函数定义*思考：解直角三角形至少需要知道几个元素？（引导学生回答：除直角外，至少两个元素，且其中至少有一条边）3.几个重要概念辨析：*仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。（教师可画图示意）*方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，通常表达为“北偏东X度”、“北偏西X度”、“南偏东X度”、“南偏西X度”。当角度为45度时，可简称为“东北方向”、“西北方向”等。（教师可画图示意，并强调以正北或正南为基准）*坡角与坡比（坡度）：坡面与水平面的夹角叫做坡角（α）；坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡比（或坡度），用i表示，即i=h/l=tanα。（教师可画图示意）（二）典型例题精析(约25分钟)例题1：测量物体高度（底部可到达）*问题：小明想测量学校旗杆的高度。他站在离旗杆底部若干米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为α。已知测角仪的高度为h，他到旗杆底部的水平距离为d，如何求出旗杆的高度H？*分析：1.引导学生根据题意画出示意图。2.明确已知条件：水平距离d（邻边），仰角α，测角仪高度h。3.所求：旗杆总高度H=测角仪高度h+从测角仪视线到旗杆顶端的垂直距离h'。4.在Rt△中，tanα=h'/d→h'=d*tanα。5.因此，H=h+d*tanα。*解答：（规范书写步骤，强调单位统一，使用计算器计算tanα的值）*小结：底部可到达的物体高度测量，通常构造直角三角形，利用仰角的正切函数求解。例题2：测量物体高度（底部不可到达）*问题：如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部B的水平距离为m的C处，测得塔顶A的仰角为α。再向塔的方向前进n米至D处，测得塔顶A的仰角为β。已知测角仪高度忽略不计，求塔高AB。*分析：1.引导学生画图，设塔高AB=x。2.在Rt△ABC中，tanα=x/BC→BC=x/tanα3.在Rt△ABD中，tanβ=x/BD→BD=x/tanβ4.由题意知，CD=BC-BD=m-n(此处需根据图形中C、D的位置关系确定是加还是减，一般C在D远离塔的一侧，则BC=BD+CD)5.列出方程：x/tanα=x/tanβ+(m-n)(或根据实际图形调整)6.解方程求出x。*解答：（详细展示方程的建立与求解过程，这是此类问题的关键）*小结：底部不可到达时，常通过在不同位置测量两个仰角，利用两个直角三角形的边角关系建立方程求解。体现了方程思想的应用。例题3：方位角问题*问题：一艘轮船从A港出发，沿北偏东α方向航行s海里后到达B处。然后改变航向，沿南偏东β方向航行t海里到达C处。求此时轮船相对于A港的方位角以及A、C两港之间的距离。*分析：1.引导学生根据方位角的定义画出航行路线图，确定A、B、C三点的位置和各角度、边长。2.明确需要求解AC的长度和∠CAM的度数（M为正北方向）。3.通过作辅助线（如过B作东西方向的平行线，或过C作南北方向的垂线等），将问题转化为解直角三角形问题，或在△ABC中利用余弦定理（若学生已学）。4.若使用解直角三角形的方法，需将△ABC分解为两个或多个直角三角形。*解答：（根据学生掌握情况选择合适的解法，强调方位角的规范表述）*小结：解决方位角问题，关键在于准确画出图形，理解方位角的含义，将方向角转化为三角形的内角，再选择合适的三角函数或定理求解。（三）方法归纳与提炼(约5分钟)解决三角函数实际应用问题的一般步骤：1.审清题意，明确目标：仔细阅读题目，理解问题的实际背景，明确已知条件和所求目标。2.画出图形，建立模型：根据题意画出示意图，将实际问题抽象为几何图形，特别是直角三角形模型。必要时添加辅助线。3.标注已知，设出未知：在图形上标注已知的边、角以及题目中的方位角、仰角、俯角等信息，设出所求的未知量。4.选择函数，列出关系：在直角三角形中，根据已知元素和未知元素，选择恰当的三角函数（正弦、余弦、正切），列出等量关系式（方程或算式）。5.计算求解，得出答案：利用计算器进行数值计算，求出未知量。注意单位统一和计算准确性。6.检验作答，回顾反思：检验结果是否符合实际意义，规范书写答案。反思解题过程，总结经验。（四）巩固练习(约15分钟)*练习1：某人在山坡上沿着与坡脚水平线成30°角的直路向上走了100米，求他上升的高度。*练习2：从地面上一点A测得一电视塔尖P的仰角为45°，沿水平方向向塔底前进a米到达点B，测得塔尖仰角为60°，求电视塔的高度。（a为具体数值，如30米）*练习3：如图，一艘渔船在A处测得北偏东60°方向有一小岛C，已知小岛C周围n海里内有暗礁。渔船沿北偏东30°方向航行m海里到达B处，此时测得小岛C在北偏东75°方向。请通过计算说明渔船继续沿原方向航行是否有触礁危险。（n、m为具体数值，如8海里、10海里）*（学生独立完成，教师巡视指导，选取典型错误进行点评）（五）课堂小结(约3分钟)*再次强调三角函数在解决实际问题中的核心作用：化实际为几何，化几何为三角。*回顾本节课复习的主要题型（高度、距离、方位角）及解题策略。*提醒学生在解题时务必仔细审题，准确画图，规范计算。（六）作业布置(约2分钟)1.基础题：教材对应复习题中选取2-3道不同类型的实际应用题。2.提高题：如图，某小区有两栋居民楼AB和CD，它们之间的水平距离BD为若干米。在居民楼AB的顶部A点测得居民楼CD顶部C点的俯角为α，测得居民楼CD底部D点的俯角为β。已知AB的高度为h，求居民楼CD的高度。（各字母代表的角度和距离为具体数值）3.思考题：如何利用三角函数知识测量学校操场边一棵大树的高度（不能直接到达树底，且无测角仪，仅有皮尺）？（开放性问题，鼓励学生设计方案）五、板书设计(示意)三角函数实际应用复习1.知识回顾：*三角函数定义(sin,cos,tan)*解直角三角形依据*术语：仰角、俯角、方位角、坡角、坡比(图示)2.解题步骤：*审题→画图→建模→列式→计算→检验3.例题分析：*例1(高度，底部可达)示意图*关键：tanα=h'/d→h'=dtanα*H=h+h'*例2(高度，底部不可达)示意图*方程思想：x/tanα-x/tanβ=CD4.方法小结：转化思想、方程思想、数形结合六、