中学数学函数章节期末复习资料

中学数学函数章节期末复习资料前言函数作为中学数学的核心内容，贯穿于代数学习的始终，同时也是后续高等数学学习的重要基础。它不仅是一种数学工具，更蕴含着重要的数学思想方法。期末临近，这份复习资料旨在帮助同学们系统梳理函数章节的关键知识点，巩固基础，明晰重点，突破难点，提升解决函数问题的能力。希望同学们能结合课本例题与习题，深入理解，灵活运用，以从容姿态迎接期末考试。一、函数的基本概念1.1函数的定义在一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。*核心要点：“每一个确定的x”（定义域的要求），“唯一确定的y”（单值对应）。*理解：函数的本质是两个非空数集间的一种特殊对应关系。可以将函数比喻为一台“机器”，输入一个x（在定义域内），经过对应法则的“加工”，输出唯一的y。1.2函数的三要素一个完整的函数由三个要素构成：定义域、对应关系和值域。*定义域：自变量x的取值范围。确定定义域时，需考虑：*分式的分母不为0；*偶次根式的被开方数非负；*实际问题中，自变量的取值要符合实际意义。*对应关系：表示x如何变化得到y的规则，通常用解析式（如y=2x+1）、图像或表格等形式表示。*值域：函数值y的集合，由定义域和对应关系共同确定。*注意：两个函数相同，当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，与表示自变量和函数的字母无关（即函数的“字母无关性”）。1.3函数的表示方法常用的函数表示方法有三种：*解析法：用数学式子（解析式）表示两个变量之间的对应关系。优点是简洁、精确，便于进行理论分析和运算。例如：y=x²-3x+2。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点是直观、具体，可直接查找函数值。例如：平方根表、三角函数表。*图像法：用图像来表示两个变量之间的对应关系。优点是形象、直观，能清晰地反映函数的变化趋势和某些性质。*联系：三种表示方法各有优劣，在解决问题时，常常需要相互转化，例如根据解析式画图像，根据图像分析函数性质。二、函数的图像2.1函数图像的画法函数图像是平面直角坐标系中，由所有满足函数关系y=f(x)的点(x,y)组成的图形。最基本的作图方法是描点法：1.列表：在定义域内选取一些有代表性的x值，并求出对应的y值；2.描点：在坐标系中描出这些点(x,y)；3.连线：用平滑的曲线（或直线）将这些点按x值从小到大的顺序连接起来。*注意：选取的点应能反映函数图像的特征，如顶点、与坐标轴的交点、图像的转折点等。对于具有特殊性质的函数（如一次函数、反比例函数），可利用其性质简化作图。2.2函数图像的意义函数图像直观地反映了自变量x与函数值y之间的对应关系。*图像上每一点的坐标(x,y)都满足函数的解析式；*满足函数解析式的点(x,y)都在函数的图像上。*通过图像可以直观地看出函数的变化趋势、对称性、最值等性质。三、函数的基本性质3.1单调性（增减性）*定义：对于给定区间上的函数y=f(x)：*如果对于这个区间内任意两个自变量的值x₁、x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数y=f(x)在这个区间上是增函数，这个区间称为函数的增区间。*如果对于这个区间内任意两个自变量的值x₁、x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说函数y=f(x)在这个区间上是减函数，这个区间称为函数的减区间。*图像特征：*增函数的图像在其对应区间上从左到右是上升的；*减函数的图像在其对应区间上从左到右是下降的。*判断方法：*图像法：直接观察图像的升降趋势。*定义法：严格按照定义进行证明（作差法比较f(x₁)与f(x₂)的大小）。*注意：单调性是函数在某个区间上的性质，离开了具体区间，谈论单调性是没有意义的。3.2奇偶性*定义：*如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数y=f(x)就叫做奇函数。*如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做偶函数。*图像特征：*奇函数的图像关于原点对称；*偶函数的图像关于y轴对称。*判断步骤：1.首先判断函数的定义域是否关于原点对称。若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。2.若定义域关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)及-f(x)的关系。*注意：*既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0（定义域关于原点对称）。*奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0。3.3最值*定义：*最大值：设函数y=f(x)在x₀处的函数值是f(x₀)，如果对于定义域内任意x，不等式f(x)≤f(x₀)都成立，那么f(x₀)叫做函数y=f(x)的最大值。*最小值：类似地，如果对于定义域内任意x，不等式f(x)≥f(x₀)都成立，那么f(x₀)叫做函数y=f(x)的最小值。*图像特征：函数图像的最高点的纵坐标是最大值，最低点的纵坐标是最小值。*求法：*图像法：观察图像得到。*利用函数的单调性：在闭区间上的单调函数，其最值在区间端点处取得。四、几种基本初等函数4.1一次函数*定义：形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。*当b=0时，即y=kx（k≠0），叫做正比例函数，是一次函数的特殊形式。*定义域与值域：均为全体实数R。*图像：是一条直线。*正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的一条直线。*一次函数y=kx+b的图像可由正比例函数y=kx的图像平移得到（b>0向上平移b个单位，b<0向下平移|b|个单位）。*与坐标轴的交点：与y轴交于(0,b)；与x轴交于(-b/k,0)。*性质：*单调性：k>0时，函数在R上是增函数；k<0时，函数在R上是减函数。*奇偶性：正比例函数y=kx是奇函数；当b≠0时，一次函数y=kx+b既不是奇函数也不是偶函数。*k的几何意义：表示直线的倾斜程度，k的绝对值越大，直线越陡。4.2反比例函数*定义：形如y=k/x（k是常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可写成y=kx⁻¹的形式。*定义域与值域：*定义域：x≠0，即(-∞,0)∪(0,+∞)。*值域：y≠0，即(-∞,0)∪(0,+∞)。*图像：是双曲线。*k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；*k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。*图像与坐标轴没有交点，但无限接近坐标轴（x轴和y轴是双曲线的渐近线）。*性质：*单调性：*k>0时，在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数；*k<0时，在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数。*注意：不能说反比例函数在整个定义域上是增函数或减函数，因为它的定义域是断开的两个区间。*奇偶性：反比例函数y=k/x(k≠0)是奇函数，其图像关于原点对称。五、函数的应用函数的应用主要体现在利用函数知识解决实际问题。5.1解决实际问题的一般步骤1.审题：理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。2.设元：选择一个适当的自变量，并用字母表示，再用含自变量的代数式表示相关的量。3.列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出函数关系式。4.确定定义域：根据实际问题的意义，确定自变量的取值范围（即函数的定义域）。5.求解：利用函数的性质、图像或代数方法解决问题，如求最值、判断变化趋势等。6.检验与作答：检验所求结果是否符合题意和实际意义，然后写出答案。5.2常见应用类型*利用一次函数解决行程问题、工程问题、成本利润问题等（通常涉及线性增长或减少）。*利用反比例函数解决具有反比例关系的实际问题，如路程一定时，速度与时间的关系；矩形面积一定时，长与宽的关系等。六、复习建议与应试技巧1.回归课本，夯实基础：函数的定义、三要素、图像、性质以及基本初等函数的概念和性质是复习的重中之重，务必吃透课本上的每一个知识点。2.重视图像，数形结合：函数图像是理解函数性质的直观工具，要养成画图、看图、用图的习惯。很多函数问题，结合图像思考会变得简单明了。3.勤于思考，总结方法：对于判断函数单调性、奇偶性，求定义域、值域等问题，要总结归纳常用的方法和技巧，并通过练习加以巩固。4.多做练习，注重变式：在练习中不仅要做基础题，也要适当做一些综合题和变式题，以提高分析问题和解决问题的能力。注意错题的整理与反思。5.规范书写，