2019理科高考数学真题详解

2019理科高考数学真题详解各位同学，大家好。高考数学作为检验我们数理逻辑能力与综合应用能力的重要科目，其真题的价值不言而喻。今天，我们一同来回顾并细致解析2019年的理科高考数学真题。希望通过这份详解，不仅能帮助大家核对答案、理清思路，更能从中总结规律、汲取经验，为未来的学习与备考提供有益的借鉴。一、试卷整体概览与命题特点拿到2019年的理科数学试卷，第一感觉是整体难度设置较为合理，既延续了近年来高考数学的稳定风格，又在具体题目上有所创新与区分。试卷严格遵循了《考试大纲》的要求，注重对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查，同时也兼顾了对考生综合运用数学知识解决实际问题能力的检测。具体而言，今年的命题呈现出以下几个特点：1.基础为本，强调核心素养：试卷中大部分题目都围绕着高中数学的核心知识点展开，如函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等。这要求我们必须夯实基础，对基本概念、公式、定理做到烂熟于心，并能灵活运用。2.能力立意，突出思维品质：单纯记忆性的题目占比很小，更多的题目需要考生具备分析问题、解决问题的能力，尤其是逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力以及数据处理能力。一些题目设置了巧妙的陷阱或是需要多角度思考，旨在考查学生的思维严谨性与灵活性。3.稳中有新，注重实际应用：在保持整体稳定的前提下，部分题目在情境创设、设问方式上有所创新，更贴近生活实际，考查学生运用数学知识解决现实问题的能力。这提醒我们，学习数学不能仅仅停留在书本上，更要关注其应用价值。二、典型题目深度解析与方法提炼由于篇幅所限，我们无法对每一道题目进行细致入微的讲解，但会选取一些具有代表性的题目，从考查知识点、解题思路、易错点警示以及方法总结等方面进行剖析，希望能起到举一反三的效果。（一）选择题部分选择题注重对基础知识的覆盖面和基本技能的考查，同时也不乏一些区分度较好的题目。例如，选择题的前几题，通常涉及集合、复数、函数定义域或单调性、向量运算等基础内容。这些题目难度不大，主要考查同学们对基本概念的理解和简单运算的准确性。对于这类题目，我们要做到“快、准、稳”，争取在最短的时间内拿下，为后面的题目节省时间。比如复数题，牢记四则运算法则和共轭复数、模的概念是关键；函数定义域则要注意分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数真数大于零等常见限制条件。中间部分的选择题，则可能涉及到三角函数的图像与性质、数列的递推与求和、立体几何中基本几何体的体积表面积计算或空间线面位置关系的判断、解析几何中直线与圆的位置关系等。这类题目往往需要我们结合所学知识进行一定的分析和转化。例如，三角函数题，我们要熟练掌握正弦、余弦函数的图像变换、周期、奇偶性、最值等性质，并能利用三角恒等变换公式进行化简求值。立体几何的线面关系判断，可以多利用手中的笔（直线）和桌面（平面）进行直观感知，辅助判断。至于选择题的最后一两道，通常会有一定难度，可能涉及函数与导数的综合应用、创新性的函数问题、或是较为复杂的解析几何动态问题。这类题目需要我们具备较强的分析问题和解决问题的能力。例如，对于一道与导数相关的函数图像判断或零点个数问题，我们通常的思路是先求导，判断函数的单调性和极值点，再结合特殊点的函数值来进行分析。有时，“排除法”和“特殊值法”在解决这类选择题时能起到意想不到的效果，可以帮助我们快速锁定正确答案。解题策略提示：做选择题时，除了直接求解，要善于运用技巧。比如排除法，根据题目条件先排除明显错误的选项；特殊值法，选取符合条件的特殊数值代入检验；数形结合法，画出函数图像或几何图形，利用直观性帮助解题。（二）填空题部分填空题同样侧重基础知识和基本技能的考查，但其不像选择题那样有选项提示，因此对准确性的要求更高。填空题的考点也比较广泛，例如数列的通项公式、三角函数求值、立体几何中的距离或角度计算、解析几何中曲线方程的求解、概率的简单计算、排列组合问题、函数的极值点或最值等。例如，一道关于数列的填空题，如果给出了递推关系，我们要考虑是等差还是等比数列，或者是否可以通过构造新数列转化为等差或等比数列来求解。对于三角函数求值，要注意角的范围对三角函数值符号的影响，以及利用诱导公式、两角和差公式、二倍角公式等进行准确运算。填空题中有时也会出现一些具有一定开放性或创新性的题目，例如给出一个新的定义，让我们根据定义进行计算或判断。这类题目关键在于读懂题目，理解新定义的内涵，然后将其转化为我们熟悉的数学问题。解题策略提示：填空题答案要规范，例如集合的表示、函数的定义域值域要写成集合或区间形式，三角函数的角度单位要注意，数值要化简到最简形式。对于计算类填空题，要仔细运算，避免粗心出错。遇到一时没有思路的题目，可以先跳过，完成其他题目后再回头思考。（三）解答题部分解答题是高考数学试卷的重头戏，充分考查同学们综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，以及逻辑推理能力和表达能力。通常包括三角函数与解三角形、数列、立体几何、概率统计、解析几何、函数与导数六大模块（有时会有选考内容，但2019年多数地区已为全国卷，可能已无选考）。1.三角函数与解三角形：这类题目通常比较基础，主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用。解题时，要注意公式的准确选用，以及三角形内角和定理的应用。如果涉及到三角形的面积，要记得常用的面积公式。在处理实际应用题时，要能将文字信息转化为数学模型。2.数列：数列解答题通常会考查等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及数列求和的常用方法（如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等）。有时也会与不等式结合进行考查。解题的关键在于仔细审题，明确数列的类型，或者通过递推关系找到数列的规律。证明一个数列为等差或等比数列，要严格按照定义进行。3.立体几何：立体几何解答题一般有两问。第一问通常是证明线线、线面、面面的平行或垂直关系；第二问则通常是求空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）或空间距离。证明题要熟练运用判定定理和性质定理，注意定理成立的条件要写全。求角问题，如果是传统方法，要作出（或找出）所求角，证明，再在直角三角形中求解；如果使用空间向量方法，则需要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标和向量的坐标，再进行计算。两种方法各有优劣，同学们要根据自己的掌握情况和题目特点灵活选择。4.概率统计：这类题目往往与实际生活紧密联系，考查我们运用概率统计知识解决实际问题的能力。通常会给出一些数据或图表，要求我们进行数据处理、计算概率、求期望方差、进行回归分析或独立性检验等。解题的关键在于认真阅读题目，理解题意，准确提取有用信息。计算概率时，要明确是古典概型、几何概型还是其他概型。对于统计图表，要能读懂图表所反映的信息。5.解析几何：解析几何解答题通常综合性较强，难度也相对较大。一般会涉及直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，考查弦长问题、中点弦问题、定点定值问题、最值问题等。解决这类问题，首先要熟练掌握各种圆锥曲线的标准方程、几何性质（焦点、离心率、准线等）。其次，要掌握联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理进行代数运算的基本方法。在解题过程中，要注意运算的准确性，因为解析几何的运算量往往比较大。同时，也要注意运用数形结合的思想，有时利用几何性质可以简化运算。6.函数与导数：这是高考数学的压轴题之一，通常具有较高的综合性和难度，是拉开分数差距的关键题目。这类题目往往会考查函数的单调性、极值、最值，导数的几何意义，以及利用导数证明不等式、解决函数零点问题等。解题时，首先要对函数求导，这是研究函数性质的基本工具。然后，根据导数的正负判断函数的单调性，找到极值点和最值点。对于含参数的函数问题，分类讨论思想是必不可少的，要明确分类的标准。证明不等式时，通常可以构造新的函数，通过研究新函数的单调性和最值来实现。解决零点问题，要结合函数的单调性和极值情况，以及函数在区间端点处的函数值符号来判断。解题策略提示：解答题要写出详细的解题过程，“踩点给分”是基本原则。因此，即使不能完整解答，也要把能想到的思路、步骤写出来。审题要慢，解题要快，先易后难。对于复杂的题目，要勇于尝试，不要轻易放弃。书写要规范，逻辑要清晰。三、试卷整体评价与备考启示总的来说，2019年理科高考数学真题较好地体现了高考的选拔功能和导向作用。它既注重对基础知识和基本技能的考查，也强调对数学思想方法和综合能力的检测。通过对这份试卷的分析，我们可以得到以下几点备考启示：1.回归教材，夯实基础：无论高考题目如何变化，基础知识始终是根本。同学们在备考过程中，一定要通读教材，吃透教材上的定义、定理、公式，掌握基本例题和习题，确保基础题和中档题不丢分。2.重视数学思想方法的培养：数学思想方法是数学的灵魂，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。在平时的学习和解题中，要有意识地运用这些思想方法，提高解题能力。3.加强运算能力的训练：高考数学对运算能力的要求很高，很多同学因为运算失误而丢分，非常可惜。因此，平时要加强笔算训练，提高运算的准确性和速度。4.注重解题规范和表达：解答题要步骤完整、逻辑清晰、书写规范。平时练习时就要养成良好的书写习惯，避免因步骤不全或书写潦草而失分。5.多做真题，总结反思：历年高考真题是最好的复习资料。通过做真题，可以熟悉高考的题型、难度、命题规律和常考知识点。做完题目后，要及时总结反思，分析错题原因，查漏补缺，避免再犯类似错误。6.培养良好的应试心态：