高中数学三角函数经典练习题专题训练

高中数学三角函数经典练习题专题训练三角函数作为高中数学的重要组成部分，不仅是解决几何问题的有力工具，也是后续学习高等数学的基础。其概念抽象，公式繁多，性质灵活，一直是同学们学习的重点和难点。本专题训练旨在通过精心挑选的经典习题，帮助同学们巩固基础知识，掌握解题方法，提升综合运用能力。希望同学们在练习过程中，不仅要关注答案的正确性，更要注重思维过程的梳理和解题技巧的积累，真正做到举一反三，触类旁通。一、三角函数的基本概念与定义三角函数的基石在于其定义，无论是锐角三角函数的直角三角形定义，还是任意角三角函数的单位圆定义或终边定义，深刻理解这些定义是解决一切三角问题的前提。练习题1：已知角α的终边经过点P(-3,4)，求sinα、cosα和tanα的值。思路指引：首先明确点P的坐标，计算出点到原点的距离r，再根据任意角三角函数的定义，即sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x（x≠0），即可求得结果。注意判断角α所在的象限，以确定三角函数值的符号。练习题2：若角θ的终边与函数y=-2|x|的图像重合，求θ的正弦值和余弦值。思路指引：函数y=-2|x|的图像是两条射线，分别位于第三、四象限。需要分别考虑x≥0和x<0两种情况，在终边上任取一点（除原点外），然后根据三角函数的定义求解。注意绝对值对坐标符号的影响。二、同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系（平方关系和商数关系）是进行三角恒等变换、化简求值的重要依据。熟练掌握并灵活运用这些关系，能够有效解决“知一求二”等问题。练习题3：已知sinα=3/5，且α是第二象限角，求cosα和tanα的值。思路指引：已知正弦值求余弦值，自然想到利用平方关系sin²α+cos²α=1。由于α是第二象限角，余弦值应为负，开方时需取负根。求得余弦值后，再利用商数关系tanα=sinα/cosα即可得到正切值。练习题4：已知tanβ=-4/3，求sinβcosβ的值。思路指引：所求为正弦与余弦的乘积。直接求出sinβ和cosβ较为繁琐，可考虑将其化为关于tanβ的表达式。利用“1”的代换，即sinβcosβ=(sinβcosβ)/(sin²β+cos²β)，分子分母同时除以cos²β，即可将其转化为只含tanβ的式子，代入已知条件即可求解。三、三角函数的诱导公式诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其核心思想是“奇变偶不变，符号看象限”。理解并记忆诱导公式，能够简化计算。练习题5：计算sin(-150°)+cos(240°)-tan(-225°)的值。思路指引：对于负角，先利用公式将其化为正角的三角函数。例如，sin(-150°)=-sin150°。150°、240°、225°均为特殊角的补角或余角，可利用诱导公式将其转化为锐角三角函数，如sin150°=sin(180°-30°)=sin30°，cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°，tan(-225°)=-tan225°=-tan(180°+45°)=-tan45°。然后代入特殊角的三角函数值进行计算。练习题6：化简：[cos(π+α)·sin(α+2π)]/[sin(-α-π)·cos(π-α)]。思路指引：利用诱导公式分别化简分子分母中的每一项三角函数。例如，cos(π+α)=-cosα，sin(α+2π)=sinα，sin(-α-π)=sin[-(α+π)]=-sin(α+π)=sinα（注意两次符号变化），cos(π-α)=-cosα。然后将化简后的结果代入原式进行约分即可。四、三角函数的图像与性质三角函数的图像直观地反映了其性质，如定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及最值等。掌握这些性质，对于解决与三角函数相关的不等式、方程及应用问题至关重要。练习题7：函数f(x)=sin(2x-π/3)的最小正周期是多少？其图像的对称轴方程和对称中心坐标分别是什么？思路指引：对于函数y=Asin(ωx+φ)+B，其最小正周期T=2π/|ω|。求对称轴方程，可令ωx+φ=π/2+kπ（k∈Z），解出x；求对称中心，可令ωx+φ=kπ（k∈Z），解出x，此时y=B（本题B=0）。练习题8：求函数f(x)=2cos²x+2√3sinxcosx-1在区间[0,π/2]上的最大值和最小值，并指出取得最值时x的值。思路指引：首先利用二倍角公式和辅助角公式将函数解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。本题中，2cos²x-1可化为cos2x，2√3sinxcosx可化为√3sin2x，因此f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π/6)。然后根据x的取值范围[0,π/2]，确定2x+π/6的取值范围，再结合正弦函数的单调性求出最值及对应的x值。五、两角和与差的三角函数及二倍角公式两角和与差的三角函数公式及二倍角公式是三角恒等变换的核心内容，它们能够将复杂的三角函数式化简，或将异角的三角函数转化为同角的三角函数，在求值、化简、证明等方面有着广泛的应用。练习题9：已知cosα=1/7，cos(α-β)=13/14，且0<β<α<π/2，求β的值。思路指引：要求β的值，可考虑将β表示为α-(α-β)，即β=α-(α-β)。因此，cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)。已知cosα和cos(α-β)，需要求出sinα和sin(α-β)，可利用平方关系。注意角的范围0<β<α<π/2，这确保了α-β为锐角，各三角函数值均为正。求出cosβ后，再根据β的范围确定β的具体角度。练习题10：化简：(sin2α)/(1+cos2α)·(cosα)/(1+cosα)。思路指引：观察式子结构，分子中有sin2α和cosα，分母中有1+cos2α和1+cosα。1+cos2α可利用二倍角公式化为2cos²α，sin2α可化为2sinαcosα。将这些代入原式后进行约分，化简过程中注意三角函数的定义域，确保分母不为零。六、解三角形解三角形是三角函数知识在实际问题中的具体应用，主要涉及正弦定理和余弦定理。运用这两个定理，可以解决已知三角形的边和角求未知的边和角，以及判断三角形形状等问题。练习题11：在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，求角B的大小及△ABC的面积。思路指引：已知三角形的三边，求其中一个角，余弦定理是首选。cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)，代入数值可求出cosB，进而得到角B。求面积时，可利用公式S=1/2acsinB，其中sinB可由cosB求出。练习题12：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA:sinB:sinC=3:5:7，求角C的大小。思路指引：题目给出了三个角的正弦值之比，根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径），可知a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:5:7。可设三边分别为3k、5k、7k（k>0），然后利用余弦定理求角C，即cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。七、专题训练总结与建议三角函数的学习，概念是基础，公式是工具，图像是桥梁，应用是目的。在进行专题训练时，首先要吃透基本概念，准确理解每个公式的来龙去脉和适用条件，不能死记硬背。其次，要多做练习，在练习中体会不同题型的解题思路和方法，总结规律，例如化简求值题中“切化弦”、“弦化切”、“1的代换”等常用技巧。同时，要重视数学思想方法的运用，如数形结合思想（利用图像研究性质）、分类讨论思想（涉及象限角、含绝对值等问题）、转化与化归思想（利用诱