九年级数学上册：用树状图与表格求概率

九年级数学上册：用树状图与表格求概率一、教学内容分析  本节内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“统计与概率”领域中的“随机事件的概率”部分。课标要求学生能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，并计算简单事件的概率，初步形成数据意识与模型观念。从知识技能图谱看，本课是继认识随机事件与概率定义之后，系统学习概率计算工具的关键节点，它上承等可能事件概率公式，下启用频率估计概率及复杂概率问题的解决，起到承上启下的枢纽作用。其核心在于掌握“有序、不重不漏”地列举所有等可能结果的方法论，这不仅是技能，更蕴含分类、有序、化繁为简的数学思想。从过程方法路径看，本课本质是引导学生经历从具体情境中抽象出数学模型（树状图或表格），并运用模型进行推理、计算的过程，是培养“模型观念”与“推理能力”的绝佳载体。从素养价值渗透看，概率学习有助于学生理解世界的不确定性，形成基于数据决策的理性精神与审辨思维，本节课通过解决游戏公平性、决策优化等实际问题，可自然渗透理性分析、公平意识等价值观念。  学情研判方面，九年级学生已具备计算简单等可能事件概率的基础，并对生活中的随机现象有直观感知。但普遍存在的认知障碍在于：面对两步及以上的随机事件时，难以系统、有序地列出所有等可能结果，常出现重复或遗漏；对不同情境下选择树状图或表格的优劣缺乏判断力。这既是认知难点，也是教学起点。教学对策上，需设计由浅入深、从直观到抽象的阶梯任务，如从具体实物操作（抛硬币）到符号抽象，再到情境判断。在过程评估中，通过追问“你是怎么想到这样画的？”“还有没有其他可能？”等，动态诊断学生的思维过程。针对不同层次学生，提供差异化支持：为学习基础较弱者准备枚举清单“脚手架”或实物模拟工具；为学有余力者设置“三步事件”或“非等可能事件”的变式挑战，引导其探究方法的边界与优化。二、教学目标  知识目标：学生能够准确理解树状图和表格作为枚举工具的逻辑原理，掌握构建两步随机事件树状图或表格的具体步骤与规范，并能依据所构建的模型，正确计算指定事件的概率。  能力目标：在解决实际概率问题的过程中，学生能够根据问题情境的特征（如事件是否有序、步骤数量等），自主选择合适的枚举工具（树状图或表格），并能有条理、清晰地表达自己的分析过程和结论，发展模型选择与应用能力及逻辑表达能力。  情感态度与价值观目标：通过分析游戏规则公平性、抽奖方案合理性等现实问题，激发学生对概率学习的兴趣，体验数学的应用价值，并在小组讨论与方案设计中初步形成基于数据分析进行理性决策的意识与实事求是的科学态度。  学科思维目标：重点发展学生的模型思想与分类讨论思想。引导学生经历“实际问题→数学建模（画图/列表）→求解验证→解释应用”的完整过程，学会将复杂问题分解为有序步骤进行系统分析，体会数学工具的威力。  评价与元认知目标：鼓励学生在完成建模后，能依据“不重不漏、清晰有序”的标准进行自我检查与同伴互评。引导学生在课堂小结时反思“哪种情况下用树状图更方便？”“我的列举过程有没有漏洞？”，提升对问题解决策略的监控与反思能力。三、教学重点与难点  教学重点：掌握用树状图或列表法有序、不重不漏地列出两步随机试验所有可能结果，并据此计算事件概率的方法。其确立依据，一是课标将此作为“随机事件的概率”内容的核心技能要求，是构建概率知识体系的关键“大概念”；二是从学业水平考试看，概率计算是高频考点，且常作为解决实际应用问题的工具，直接体现学生模型应用与数据分析的能力立意。  教学难点：在于如何根据具体问题的情境与特征，灵活、恰当地选择使用树状图或表格，并确保在列举过程中的系统性。难点成因在于，学生思维从单一步骤到多个步骤的跨越存在认知跨度，且两种工具在呈现形式上虽有差异，但内在逻辑一致，学生易混淆其适用场景。突破方向在于，通过对比性任务，让学生在亲身实践中感受两种方法的异同，教师适时引导归纳选择策略。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（包含动态生成树状图与表格的动画）、实物硬币两枚、骰子一个。1.2教学材料：分层学习任务单（含基础、综合、挑战三个梯度练习）、课堂小结思维导图模板。2.学生准备2.1课前预习：复习等可能事件概率公式，思考“如何计算连续抛两次硬币都是正面的概率”。2.2课堂用品：草稿纸、直尺、彩色笔（用于画图区分）。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题提出：“同学们，假设学校艺术节有个抽奖活动：一个不透明的盒子里有红、黄、蓝三个球，一次性摸出两个。如果摸到一红一黄就算中奖。大家先猜猜，中奖的可能性大吗？”（等待学生直觉反应）“感觉可能挺大？那到底概率是多少呢？今天我们就来学习两个强大的工具——树状图和表格，它们能像侦探一样，帮我们把所有可能的情况‘’，准确算出概率。”2.唤醒旧知与路径明晰：“要算概率，我们得先知道什么？（所有等可能的结果数）。对于一次摸一个球，我们很容易列出。但现在‘一次性摸两个’，情况变复杂了。别急，我们可以把它想象成‘分两步’：先摸第一个，再摸第二个。这节课，我们就来学习如何用树状图或表格，清晰、有序地搞定这类‘两步走’的概率问题。”第二、新授环节任务一：从生活问题到初步建模——体验“树状图”的生成教师活动：首先将导入问题转化为数学模型：“从红(R)、黄(Y)、蓝(B)三球中不放回地摸两个。”教师引导：“我们可以把‘摸两个球’看作两步：第一步，先摸一个，有几种可能？”（R，Y，B）。教师在黑板上画出一个起点，分出三条支路，分别标上R，Y，B。“很好，那摸走一个后，盒子里还剩两个球。第二步，从剩下的两个球里再摸一个。比如，如果第一次摸到了R，第二次可能摸到什么？”（Y或B）。教师演示从“R”节点再分出两条支路，标上Y和B。以此类推，逐步完成完整树状图。“大家看，这幅图像不像一棵倒长的树？我们称它为树状图。现在，请一位同学告诉我们，从‘树根’到‘树梢’的每一条路径，代表一种什么？”（一种可能的摸球结果）。教师带领学生一起读出所有路径：RY,RB,YR,YB,BR,BY，共6种。“那么，中奖情况（一红一黄）是哪几条路径？”（RY和YR）。由此计算概率P=2/6=1/3。学生活动：跟随教师引导，口头回答每一步的可能性。观察教师板演，理解树状图从“根”到“枝”的生长逻辑。在教师示范后，尝试独立在自己的任务单上画出此问题的树状图，并数出总结果数和目标结果数。与同桌相互检查，看所画树状图是否清晰、完整。即时评价标准：1.所画树状图结构是否清晰，分步是否明确。2.列举的结果是否做到不重复、不遗漏。3.能否准确指出目标事件对应的路径。形成知识、思维、方法清单：★树状图基本结构：由“树根”（起点）、分叉“树枝”（每一步的可能情况）和“末梢”（最终结果）构成。它是一种分层次、可视化展示所有可能结果的工具。“大家画的时候，一定要像树枝分叉一样，一层一层来，这样才不容易乱。”★关键操作步骤：(1)明确试验分为几步；(2)从左至右，依次画出每一步的所有可能选择；(3)将所有路径从始至终连接起来，得到每一个可能的结果。“每一步就是树的一层，画完一层再画下一层。”★“不放回”情境的特点：后一步的可选范围受前一步结果影响（数量减少）。在树状图中表现为，同一层分支数量可能不同（如上例第二层有的点引两条支路）。任务二：方法对比与优化——引入“表格法”教师活动：提出新情境：“还是这三个球，如果摸出一个后放回去，摇匀再摸第二个，中奖概率有变化吗？请大家先用树状图试试看。”巡视中，发现大部分学生能画出有33=9条路径的树状图。“画出来了吗？是不是感觉分支很多？对于这种‘每一步可选情况都一样多’的情形，我们还有一个更紧凑的工具——表格。”教师在黑板上画出3行3列的表格，第一行和第一列分别列出第一次和第二次的可能颜色（R,Y,B）。然后引导学生填充表格内部：“比如，第一次R，第二次还是R，对应格子填(R,R)。请同学们补全所有格子。”完成后，引导学生观察表格的对角线（两次同色）和非对角线。“现在，数一数所有可能结果（9种），再找出一红一黄的结果（RY和YR，注意表格中这两个位置是对称的），计算概率P=2/9。”学生活动：先独立尝试画“有放回”情景的树状图，感受其繁复。观察教师演示表格法，理解表格的行与列分别代表两次摸球。动手填写完整表格，并比较两种情境下（不放回与有放回）结果总数与目标事件数的差异，直观感受条件变化对概率的影响。即时评价标准：1.能否正确将问题情境转化为表格的行、列标题。2.填表是否准确、完整。3.能否从表格中快速、准确地筛选出目标事件。形成知识、思维、方法清单：★表格法的结构：通常用行表示第一步的所有可能，列表示第二步的所有可能，表格内部的每个单元格对应一个有序结果对。▲两种工具的初步比较：树状图过程展示清晰，尤其适合步骤间相互影响的情况（如不放回）；表格法呈现结果紧凑，当每一步可能情况数相同且需对比有序对时更直观。“树状图像讲故事，有先后顺序；表格像整理名单，一目了然。”★“有放回”与“不放回”的本质区别：有放回时，两步试验相互独立，第二步可选情况数与第一步相同；不放回时，两步试验不独立，后续步骤可选范围受前面结果影响。这是导致概率不同的根本原因。任务三：决策与迁移——选择合适工具解决复杂情境教师活动：呈现综合问题：“小颖和小明做石头剪刀布游戏。确定胜负一次可看作两步：小颖出拳、小明出拳。请问：一局比赛中，两人平局的概率是多少？”不指定方法，提问：“大家觉得，用树状图方便还是列表方便？为什么？”引导学生分析：每一步都有3种等可能情况（石头、剪刀、布），且步骤顺序明确（虽同时出拳，但分析时可设定顺序），用表格可能更快捷。教师可同时展示两种方法，让学生对比。“看，表格里我们很快能找到所有9种等可能结果，平局就是对角线上的（石头,石头）、（剪刀,剪刀）、（布,布）三种，所以概率是1/3。”学生活动：独立思考工具选择策略，并说明理由。尝试用自己选择的方法（鼓励用表格）解决问题。完成后，小组内交流各自的方法和答案，讨论哪种工具在此情境下更高效。即时评价标准：1.能否清晰阐述选择工具的理由（如基于步骤数、是否有序、情况是否均等）。2.解决问题的过程是否规范，结果是否正确。3.小组交流时，能否倾听并评价同伴的方法。形成知识、思维、方法清单：★工具选择策略（核心）：面对两步随机试验，若步骤顺序对结果有影响（即有序事件），两种工具均可；若事件与顺序无关（无序组合），通常树状图更不易出错。当每一步可能情况较多且相同时，表格法在呈现上可能更简洁。“选哪个工具，就像选工具干活，得看活的特点。先问问自己：这件事分几步？顺序重要吗？”★概率计算的一般步骤：(1)审题，判断是否为等可能事件；(2)选择工具，列出所有等可能结果n；(3)找出满足目标事件的结果数m；(4)计算概率P(A)=m/n。“列表画图是手段，数清总数和目标数是关键。”▲典型易错点警示：混淆“有序”与“无序”。例如，从三人中选两人，若不计顺序是组合问题（3种），若考虑正副班长则是排列问题（6种），对应的概率不同。列举时必须明确问题语义。第三、当堂巩固训练  设计分层变式训练，学生根据自身情况至少完成基础层和综合层。1.基础层（直接应用）：一个转盘被等分成红、黄、蓝三个扇形，连续转动两次转盘，求两次指针都落在红色区域的概率。（目的：巩固有放回两步试验的列举与计算。教师巡视，关注学生能否正确列出9种等可能结果。）2.综合层（情境应用）：密码锁的密码由09中的两个数字组成，数字可重复。小明忘记了密码，他随机输入一个由两个数字组成的密码，恰好第一次就猜对的概率是多少？（目的：在生活情境中应用表格法，理解“有序数字对”与等可能性。“大家想想，密码‘12’和‘21’一样吗？这可是关键！”）3.挑战层（开放探究）：现有四张看上去无差别的卡片，正面分别标有数字1,2,3,4。从中随机抽取两张，用树状图或表格求两张卡片上数字之和为奇数的概率。思考：此问题中，抽取第一张后不放回，与抽取第一张后放回再抽第二张，概率是否相同？为什么？（目的：综合运用并深化对“不放回”与“有放回”、“有序”与“无序”的理解，触及古典概型的本质。）反馈机制：基础层与综合层完成后，通过投影展示部分学生的解答过程（匿名），由学生互评是否规范、完整。挑战层作为思考题，请有思路的学生简要分享，教师点拨核心区别在于样本空间的变化。第四、课堂小结  知识整合：教师不直接总结，而是抛出问题：“如果用几个关键词来概括这节课的收获，你会选哪几个？”引导学生说出“树状图”、“表格”、“不重不漏”、“选择工具”等。随后，分发简易思维导图模板（中心为“求概率”），让学生以小组为单位，完善分支（工具、步骤、注意事项、易错点等）。“看看我们共同构建的这棵‘知识树’，是不是比课本上的更鲜活？”  方法提炼：邀请学生回顾：“在决定用树状图还是表格时，你心里会问自己哪几个问题？”师生共同提炼出决策流程图：两步试验→是否有序？→是，两者皆可（视情况繁简选择）；否，优先树状图。  作业布置与延伸：公布分层作业（见第六部分）。并提出延伸思考：“今天研究了两步试验，如果是三步试验，比如抛三次硬币，树状图和表格还能用吗？怎么用？”为下节课做铺垫。六、作业设计基础性作业（必做）：1.抛掷一枚均匀的骰子两次，用列表法求：(1)两次点数相同的概率；(2)点数之和为8的概率。2.一个袋子中装有红、白球各一个，除颜色外无差别。随机摸出一个球记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个。用树状图求两次都摸到红球的概率。拓展性作业（建议大部分学生完成）：3.【情境题】学校开设了A（编程）、B（绘画）、C（合唱）三门选修课，小华和小明每人要随机选择一门。用合适的方法求：(1)小华选择A课程的概率；(2)两人选择同一门课程的概率。（要求：说明你选择工具的理由）探究性/创造性作业（选做）：4.【项目小探究】请你设计一个对双方都公平的“两人游戏”，游戏规则需涉及两次随机动作（如抛硬币、抽卡片等）。用树状图或表格验证其公平性（即双方获胜概率均为1/2），并撰写一份简单的设计报告。七、本节知识清单及拓展★1.树状图法：适用于列举多步（尤其是两步）随机试验的所有可能结果。其优点在于能清晰展示事件发生的层次与过程，尤其当各步结果相互影响时（如不放回抽取），不易出错。画图要点：厘清步骤，从左到右，分枝穷举。★2.列表法：适用于列举两步随机试验的所有可能结果，尤其当两步的可能情况数相同且需要呈现所有有序对时，更为简洁直观。制表要点：通常行表第一步，列表第二步，交叉点即结果。★3.工具选择心法：核心判断维度是“顺序”。若事件结果与顺序有关（如坐标、密码），两种方法皆可，视简便性选择；若与顺序无关（如单纯组合），使用树状图更能避免将（a,b）和（b,a）误判为一种。口诀：“有序皆可，无序慎表”。★4.“放回”与“不放回”模型：这是两类基本概率模型。“放回”每次试验条件不变，各步独立；“不放回”每次试验条件变化，各步不独立。在树状图中表现为分支数是否变化，在列表中表现为样本空间不同。▲5.等可能性前提：使用树状图或表格法求概率，其根本前提是所列出的每一个基本结果是等可能的。在构建模型时，需确保每一步的每种选择是等可能的。★6.概率计算步骤：一“判”（判断等可能）、二“列”（列举所有可能结果，总数n）、三“找”（找出目标事件包含结果数m）、四“算”（P=m/n）。步骤二为核心与难点。▲7.典型易错点：(1)重复或遗漏列举结果。(2)混淆“有序”与“无序”，如在选取问题中未明确是否区分顺序。(3)忽略“等可能”条件，错误构建模型。▲8.与前面知识的联系：本节工具服务于等可能事件概率公式P(A)=m/n。公式是目标，工具是达成目标的路径。树状图与表格是使“数出m和n”过程系统化、直观化的手段。▲9.向后延伸：对于三步或以上试验，树状图原理依然适用，只是层级增多。表格法难以直接表示三步以上试验，但可通过多层嵌套或树状图衍生形式解决。这体现了模型推广的思维。▲10.学科思想渗透：本节深刻体现了“模型思想”（将实际问题转化为树状图或表格模型）、“分类讨论思想”（分层、分步列举）和“有序思维”（系统化解决问题）。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标达成度较高。通过课堂观察和随堂练习反馈，绝大多数学生能规范画出两步试验的树状图或表格，并计算出正确概率。能力目标中，“选择合适工具”这一高阶目标呈现分化：约70%的学生能通过对比任务归纳出选择倾向，并在综合情境中做出合理选择；部分学生仍需教师或同伴提示。这提示“决策能力”的培养需要更多变式训练和反思环节。情感与价值观目标在游戏公平性讨论中自然达成，学生兴趣浓厚。  （二）核心环节有效性评估任务二（对比引入表格法）的设计效果显著。当学生刚画完“有放回”的繁复树状图时，呈现表格法，其简洁性带来了直观的认知冲突与学习愉悦感，“哇，这样好像更快！”这种由“需求”驱动的工具引入，比直接告知两种方法更符合建构主义学习原理。任务三（石头剪刀布）作为决策迁移点，是暴露学生思维真实水平的关键。小组讨论中发现，仍有学生纠结于“两人同时出拳，怎么分第一步第二步？”，这反映出对“分析模型”与“实际过程”的区分理解不足。此处通过引导学生理解“为分析方便，我们设定一个顺序”，及时澄清了误区。  （三）对不同层次学生的关注在“当堂巩固