江苏省南通市海安市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题（试卷+解析）

高一数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.3.若正数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.4.设是上的奇函数，且当时，，则（）A.-1 B.0 C.1 D.25.要得到函数图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度6.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.7.若面积为的扇形与面积为的正方形的周长相等，则（）A. B.C. D.8.设，则（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项得合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则函数不可能是（）A.幂函数 B.指数函数C.对数函数 D.余弦函数10.已知曲线，则（）A.关于直线对称B.关于点对称C.在区间上单调递增D.与曲线重合11.定义在上的函数满足：，当时，，则（）A.的周期为4B.为偶函数C.在区间上是增函数D.函数的零点个数为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出一个满足的函数解析式__________.13.若，则____________________.14.已知，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.设全集，（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.16已知.（1）求值；（2）用表示，并求值.17.某单面打印机在连续打印时，打印速度会随时间而变化.从开始打印经过分钟时的打印速度（单位：页/分钟）为，累计打印页数为，且当时，.（1）求；（2）求关于的函数关系式；（3）若从第分钟到第分钟，打印页数不少于41页，求的取值范围.18.设，函数为奇函数.（1）求；（2）判断并证明函数的单调性；（3）设，直线与函数的图象交点的横坐标分别为，求的最大值.19.对于定义域为的函数，如果存在非零常数，那么称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；（2）设，证明：函数具有性质；（3）若函数具有性质，求取值范围.（参考公式：）高一数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的定义求解即可.【详解】根据题意得，故选：B.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定格式解题.【详解】由，得命题的否定为.故选：C.3.若正数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求最值.【详解】因为正数a，b满足，所以，即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为.故选：4.设是上的奇函数，且当时，，则（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质，直接求出结果即可.【详解】因为是上的奇函数，所以.故选：A.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象变换求解.【详解】因为，所以只需将函数向左平移个单位长度得到.故选：C.6.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由终边上的点表示三角函数值，结合余弦两角和差公式计算即可.【详解】因为角终边上一点，所以，，所以.故选：A7.若面积为的扇形与面积为的正方形的周长相等，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先表示扇形的周长，正方形的周长，利用，得，再表示扇形面积，正方形的面积，计算即可.【详解】设扇形的半径为，弧长为，正方形的边长为，则扇形的周长，正方形的周长，扇形周长和正方形周长相等，，即，，，，即，.故选：D8.设，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合余弦函数性质与中间变量法得到，利用对数的运算性质结合中间变量法得到，最后得到即可.【详解】由指数性质得，则，由余弦函数性质得，而，则，即，可得，由对数性质得，由指数性质得，则，即，可得，综上可得成立，故D正确.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项得合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则函数不可能是（）A.幂函数 B.指数函数C.对数函数 D.余弦函数【答案】ABD【解析】【分析】对A，根据幂函数的性质判断；对B，根据指数函数的性质判断；对C，举例说明；对D，根据余弦函数的性质判断.【详解】对于A，因为，而幂函数图象不经过第四象限，所以函数不可能是幂函数，故A正确；对于B，因为指数函数值域为，所以函数不可能是指数函数，故B正确；对于C，如，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：ABD.10.已知曲线，则（）A.关于直线对称B.关于点对称C.在区间上单调递增D.与曲线重合【答案】ABD【解析】【分析】对AB，根据三角函数性质分别代入验证；对C，求出曲线的增区间判断；对D，利用诱导公式将曲线变形与曲线的解析式比较判断.【详解】对于A，当时，，所以曲线关于直线对称，故A正确；对于B，当时，，所以曲线关于点对称，故B正确；对于C，令，，得，所以曲线增区间为，所以曲线在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，因为曲线，所以曲线与曲线重合，故D正确.故选：ABD.11.定义在上的函数满足：，当时，，则（）A.的周期为4B.为偶函数C.在区间上是增函数D.函数的零点个数为2【答案】AD【解析】【分析】根据题意可得函数的奇偶性、对称性和图像变换可得函数是周期为4的奇函数.再根据函数与函数的图像的交点个数可得答案.【详解】根据题意，，所以的周期为4，A正确；由，为奇函数，B错误；根据，则，所以函数关于直线对称，当时，，则在区间上是增函数，在区间上是减函数，根据周期性可知在区间上是增函数，在区间上是减函数，C错误；画出函数和的图象，可得两函数图象有两个公共点，则函数的零点个数为2，D正确.故选：AD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出一个满足的函数解析式__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可.【详解】由题意知，当，时满足条件，当，且时，可得，形如，或且均可.故答案为：（答案不唯一）13.若，则____________________.【答案】①.②.##【解析】【分析】将条件式两式平方相加，结合平方关系和两角差的余弦公式求得；再由条件式结合平方关系消去，化简求得.【详解】因为，，两式平方相加得，，整理得，即.由，得，由，得，所以，展开化简整理得，即.故答案为：；.14.已知，则的最大值为__________.【答案】6【解析】【分析】由题可得，结合指对数函数的单调性可得存在，使得当时上式成立，所以，结合函数单调性求解.【详解】由，得，当时，，，当时，，，当时，，，又的增长速度快于，故存在，使得当时，成立，因为，令，易知在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，所以的最大值为6.故答案为：6.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.设全集，（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简集合，再根据集合的补集和并集运算求解；（2）根据题意可得是的真子集，化简集合列式求解.【小问1详解】依题意，又，故.所以.小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集.由（1）知，，又，所以，故实数的取值范围是.16.已知.（1）求的值；（2）用表示，并求的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用商数关系和平方关系列式求解；（2）由，利用平方关系求出，再利用两角差的正弦公式求解.【小问1详解】因为，所以.又，所以，即，又，所以.【小问2详解】.因为，所以，故.因为，所以.所以17.某单面打印机在连续打印时，打印速度会随时间而变化.从开始打印经过分钟时的打印速度（单位：页/分钟）为，累计打印页数为，且当时，.（1）求；（2）求关于的函数关系式；（3）若从第分钟到第分钟，打印页数不少于41页，求的取值范围.【答案】（1）200（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意代入运算得解；（2）根据题意写出分段函数的解析式；（3）根据题意分，和讨论求解.【小问1详解】依题意，.【小问2详解】当时，；当时，.综上，.【小问3详解】当时，从第分钟到第分钟的打印页数为，令，得，所以.当时，从第分钟到第分钟的打印页数为令，得或，所以.当时，从第分钟到第分钟的打印页数为，不符题意.综上，的取值范围为.18.设，函数为奇函数.（1）求；（2）判断并证明函数的单调性；（3）设，直线与函数的图象交点的横坐标分别为，求的最大值.【答案】（1）（2）减函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性和定义域建立关于的不等式求解即可；（2）根据函数单调性的定义取值，代入函数，作差判断符号即可；（3）根据题意求出交点的横坐标，作差结合基本不等式求解.【小问1详解】因为函数为奇函数，所以函数定义域关于“0”对称.又即，所以，当时代入原函数得，故，所以时为奇函数.【小问2详解】由（1）知，.函数为区间上的减函数.证明：设对任意的，且.，因为，又，故，所以，所以，所以，所以为区间上的减函数.【小问3详解】由（2）知，，由可得，.即.所以（当且仅当时，等号成立），19.对于定义域为的函数，如果存在非零常数，那么称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；（2）设，证明：函数具有性质；（3）若函数具有性质，求的取值范围.（参考公式：）【答案】（1）不具有，具有，理由见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据性质的定义，逐个验证；（2）由性质，问题转化为，由在区间上单调递减，得，即证，结合条件易证；（3）根据性质的定义，可得，结合辅助角公式可得，即，结合三角函数线知识求解.【小问1详