山西吕梁市交城县2025-2026学年第一学期期末质量监测试题 九年级数学（试卷+解析）

2025—2026学年第一学期期末质量监测试题九年级数学（人教版）注意事项：1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（）A. B.C. D.3.若，，是反比例函数图象上的点，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.4.如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（）A.4 B. C.5 D.5.语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（）A. B. C. D.6.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.7.如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.8.如图，直线，直线、与，，分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（）A.3 B. C.6 D.99.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.10.如图，已知是边长为6等边三角形，分别以点B，点C为圆心，以的长为半径画弧AC，弧，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.已知是方程的一个解，那么a的值为______．12.如图，2025年1月5日发行第九届亚洲冬季运动会10元纪念币为30克正六边形银质纪念币，外接圆直径为40毫米，是我国首枚六边形金属纪念币，这个六边形纪念币的边长为______毫米．13.某公司生产的桶装水在2025年7月的销售量约为20万桶，9月的销售量增长至约万桶，若设这两个月销售量的平均增长率为x，则可列方程______．14.如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连接．若点C的坐标为，，的面积为3，则的面积是______．15.如图，在正方形中，，点E是对角线的中点，点F在线段上，且．以F为旋转中心，将线段逆时针旋转得到，此时点G恰好落在线段上，则的长为______．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16解方程：（1）；（2）．17.如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标；（2）将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．18.如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风高超音速导弹、B巨浪潜射洲际导弹、C红旗反导系统、D歼隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上）．（1）甲同学第一次就抽到模型A的概率是______；（2）若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求乙同学抽到的2件模型中包含A的概率；（3）甲、乙两名同学都很想拿到模型A，两人约定都从四张卡片中随机抽取1张，直接写出至少有一人抽到模型A的概率．19.如图，在中，点在的延长线上，连接交于点．（1）求证：；（2）若的面积为9，，求的面积．20.世界的面食之根就在山西．山西面食，不仅是中华民族饮食文化中的重要组成部分，也是世界饮食文化中的一朵奇葩．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．（1）求与之间的函数表达式；（2）求值，并解释它的实际意义；（3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长．21.如图，为⊙O的直径，过圆上一点作⊙O的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．（1）求证：直线与⊙O相切．（2）若，求的长．22.点茶是宋代传统文化技艺，它的重现具有历史、文化、艺术、科学等多重价值和意义．小华在体验点茶文化时，发现倒茶时的情景（图1）可以抽象为平面图形，并建立平面直角坐标系，如图2所示，已知某种茶壶的壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水可视作在同一条抛物线上．若点B，C所在直线与x轴（桌面）平行并交y轴于点D，且茶碗边沿（厚度忽略不计）点E与壶口点C所在直线垂直于x轴．已知线段，线段，，茶碗的直径为，高度为．若点A相对桌面的高度时，抛物线水流恰好落在茶碗水面中心F点．（1）求点B，点C坐标；（2）求图中抛物线的解析式；（3）为展现精湛的技术，小华手持茶壶稳稳向上提起（视作向上平移），要求茶水一滴都不能洒到茶碗外，求理论上茶壶在向上平移过程中点A相对桌面的高度的取值范围．23.【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针旋转，点B，E的对应点分别为点，．【问题解决】（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了线段上，求此时的长；（2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）在绕点A逆时针旋转过程中，当点，，C三点共线时，直接写出线段的长度．2025—2026学年第一学期期末质量监测试题九年级数学（人教版）注意事项：1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可．【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意；B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意；C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意；D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意．故选：C

．2.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，直接去括号进而移项，得出答案．【详解】解：，，故选：A．3.若，，是反比例函数图象上的点，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查比较反比例函数的函数值，将A，B，C的横坐标代入解析式，求出的值，即可比较大小．【详解】解：由题意知，，，，，故选：D．4.如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（）A.4 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，∴，，在中，，故选：B．5.语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的诗人相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A、B、C、D表示，列表如下：小明小颖由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种，∴他们选择的诗人相同的概率为，故选：A．6.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据左加右减，上加下减的法则解答即可，熟练掌握根据平移的规律“左加右减，上加下减”得出函数解析式是解题的关键．【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得，故选：A．7.如图，已知，以为直径交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．【详解】解：∵，∴．∵以为直径的与相切于点A，∴，∴．故选：D．8.如图，直线，直线、与，，分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（）A.3 B. C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例得出线段之间的比例关系，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选C．9.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，首先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴交点的位置，判断、、是正数还是负数，再根据、、判断一次函数和反比例函数的图象的位置．【详解】解：二次函数图象开口向下，；二次函数函数的对称轴，，二次函数的图象与轴的交点在轴负半轴上，，一次函数经过第二、三、四象限，，，，反比例函数位于第一、三象限.故选：B．10.如图，已知是边长为6的等边三角形，分别以点B，点C为圆心，以的长为半径画弧AC，弧，则图中阴影部分的面积为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理解三角形，以及扇形面积公式求解，解决本题的关键是使用扇形面积公式求解．根据等边三角形的性质先求解出等边三角形的高，即的长度，由此计算出的面积，再由扇形面积公式分别求解出扇形的面积，由此可求解．【详解】解：过点A作交于点D，如图，∵等边的边长为6，∴，，∴，∴，∴阴影①的面积为，阴影②的面积为，∴阴影部分的面积为

．故选：B

．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.已知是方程的一个解，那么a的值为______．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据方程解的定义，将代入原方程得到，解方程即可得到答案．【详解】解：∵是方程的一个解，∴，解得，故答案为：2．12.如图，2025年1月5日发行的第九届亚洲冬季运动会10元纪念币为30克正六边形银质纪念币，外接圆直径为40毫米，是我国首枚六边形金属纪念币，这个六边形纪念币的边长为______毫米．【答案】20【解析】【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，设这个正六边形银质纪念币的外接圆圆心为点O，连接，可求出，则可证明是等边三角形，得到毫米，据此可得答案．【详解】解：如图所示，设这个正六边形银质纪念币的外接圆圆心为点O，连接，∵正六边形银质纪念币的外接圆直径为40毫米，∴毫米，∵，∴是等边三角形，∴毫米，∴这个六边形纪念币的边长为20毫米，故答案为：20．13.某公司生产的桶装水在2025年7月的销售量约为20万桶，9月的销售量增长至约万桶，若设这两个月销售量的平均增长率为x，则可列方程______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两个月销售量的平均增长率为x，则9月的销售量为万桶，再根据9月的销售量为万桶列出方程即可．【详解】解：设这两个月销售量的平均增长率为x，由题意得，，故答案为：．14.如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连接．若点C的坐标为，，的面积为3，则的面积是______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，求反比例函数的解析式，根据三角形的面积公式求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法确定的值，再根据三角形的面积与的关系求出结果即可．【详解】解：，，，的面积为3，轴，∴，，，，∵点A是反比例函数图象上的一点，且轴，，故答案为：4．15.如图，在正方形中，，点E是对角线的中点，点F在线段上，且．以F为旋转中心，将线段逆时针旋转得到，此时点G恰好落在线段上，则的长为______．【答案】【解析】【分析】过点作于点，根据正方形的性质解直角三角形求出，再解求出，然后证明，则，最后解即可．【详解】解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴，，又∵点E是对角线的中点，∴，∴，∵，∴，由旋转得，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．本题考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可；（2）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可．【小问1详解】解：解得，；【小问2详解】解：或解得，．17.如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标；（2）将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．【答案】（1）图见解析，（2）图见解析，【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，正确找到对应点的位置是解题的关键．（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可；（2）根据网格特点和旋转方式找到点的位置，描出点，再顺次连接点即可．【小问1详解】解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；【小问2详解】解：如图所示，即为所求，则点的坐标为．18.如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风高超音速导弹、B巨浪潜射洲际导弹、C红旗反导系统、D歼隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上）．（1）甲同学第一次就抽到模型A的概率是______；（2）若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求乙同学抽到的2件模型中包含A的概率；（3）甲、乙两名同学都很想拿到模型A，两人约定都从四张卡片中随机抽取1张，直接写出至少有一人抽到模型A的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到乙同学抽到的2件模型中包含A的结果数，最后根据概率公式求解即可；（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到至少有一人抽到模型A的结果数，最后根据概率公式求解即可．小问1详解】解：∵一共有4个模型，且每个模型被抽到的概率相同，∴甲同学第一次就抽到模型A的概率是；【小问2详解】解：列表如下：由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中乙同学抽到的2件模型中包含A的结果数有6种，∴乙同学抽到的2件模型中包含A的概率为；【小问3详解】解：列表如下：甲乙由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中至少有一人抽到模型A的结果数有7种，∴至少有一人抽到模型A的概率为．19.如图，在中，点在的延长线上，连接交于点．（1）求证：；（2）若面积为9，，求的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查平行四边形基本性质，相似三角形的证明及性质，熟练掌握相似三角形的证明是解题关键；（1）通过平行四边形的基本性质得到，进而得证，从而可证得相似；（2）先证明，然后再通过比例性质得到相似比，最后可求解．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．20.世界的面食之根就在山西．山西面食，不仅是中华民族饮食文化中的重要组成部分，也是世界饮食文化中的一朵奇葩．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．（1）求与之间的函数表达式；（2）求的值，并解释它的实际意义；（3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长．【答案】（1）（2），且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为（3）【解析】【分析】本题考查了反比例函数的应用：正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用待定系数法求反比例函数，即可作答．（2）依题意，把代入进行计算，即可作答．（3）依题意，把代入且结合反比例函数的图象性质进行分析，即可作答．【小问1详解】解：设与之间的函数表达式为：，将代入可得：，与之间的函数表达式为；【小问2详解】解：点在反比例函数上，，解得：，，且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为；【小问3详解】解：当时，，，随增大而减小，当厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过时，这根面条的总长度至少为．21.如图，为⊙O的直径，过圆上一点作⊙O的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．（1）求证：直线与⊙O相切．（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）的长为．【解析】【分析】（）连接，根据切线的性质和平行线的性质可得，，进而可得，则可以利用证明，得，可以得到结论；（）设的半径为，根据勾股定理进行列出方程进行求解即可；本题考查了切线的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解题的关键．【小问1详解】如图，连接，∵直线与相切与点，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，即，又∵是半径，∴直线与相切；【小问2详解】设的半径为，在中，，即，解得：，∴，∴，由（）得，∴，在中，，即，∴，解得：，∴的长为．22.点茶是宋代传统文化技艺，它的重现具有历史、文化、艺术、科学等多重价值和意义．小华在体验点茶文化时，发现倒茶时的情景（图1）可以抽象为平面图形，并建立平面直角坐标系，如图2所示，已知某种茶壶的壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水可视作在同一条抛物线上．若点B，C所在直线与x轴（桌面）平行并交y轴于点D，且茶碗边沿（厚度忽略不计）点E与壶口点C所在直线垂直于x轴．已知线段，线段，，茶碗的直径为，高度为．若点A相对桌面的高度时，抛物线水流恰好落在茶碗水面中心F点．（1）求点B，点C的坐标；（2）求图中抛物线的解析式；（3）为展现精湛的技术，小华手持茶壶稳稳向上提起（视作向上平移），要求茶水一滴都不能洒到茶碗外，求理论上茶壶在向上平移过程中点A相对桌面的高度的取值范围．【答案】（1）点B的坐标为，点C的坐标为；（2）（3）【解析】【分析】本题主要