2026届河北省名校协作体高三上学期模拟考试（一）数学试题（试卷+解析）

2026届高三上学期模拟考试（一）数学考试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合，，则（）A. B.或C D.2.已知复数，则（）A. B.C. D.3.已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（）A. B. C. D.4.已知函数，若，则（）A1 B.2 C. D.5.已知圆，若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.如图，在长方体中，，点分别在四边形､四边形内运动（不与长方体的顶点重合），若，，且都在球上，则球的表面积的取值范围为（）A. B.C. D.8.已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（）A21 B.22 C.23 D.24二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（）A.从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份B.这10个月营业额的平均数为32.5万元C.前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差D.这10个月营业额数据的第70百分位数为4310.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为，分别过上的点，作的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，若直线不与坐标轴垂直，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.C.若直线过点，则直线与的交点为D.若直线过点，且，则四边形的面积为11.设且，若，则下列大小关系可能成立的有（）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，角的对边分别为．已知，则角为__________．13.截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种．14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围．16.如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且．（1）求．（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．17.某芯片研究所研究一种电动汽车电池快充芯片，该电池芯片需要甲、乙两种芯片加工工艺，甲种芯片加工工艺需要三次来完成，第一次需要在该芯片上进行光刻，其成功的概率为0.6，第二次是对第一次光刻的检查与补充，若检测第一次未成功，则将再次光刻，成功的概率还是0.6；若检测第一次光刻成功，则不需要光刻了．第三次是对前两次的检查与补充，检测仍未光刻成功，则再次进行光刻，其成功的概率还是0.6，并判断其是否为合格品，若经过三次工艺后，仍未光刻成功，则为不合格品，淘汰，其余为合格品，进入乙种芯片工艺．乙种芯片加工工艺需要两次独立的光刻，第一次光刻成功的概率为0.5，第二次光刻成功的概率为0.8．若甲种工艺不合格，该芯片亏200元．在甲种工艺合格的前提下，若乙种工艺两次均不成功，该芯片也亏200元；若乙种工艺两次光刻只成功一次，则该芯片应用于其他产品，能赚取100元利润；若乙种工艺两次光刻均成功，则每个芯片赚取300元的利润．（1）求一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工后不亏钱的概率；（2）从甲种工艺合格的芯片中任取两个，经过乙种工艺两次光刻，求所赚取利润的分布列和数学期望．18.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）求函数的最小值；（3）当时，证明：．19.已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴．（1）求的通项公式；（2）求直线斜率；（3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明：

2026届高三上学期模拟考试（一）数学考试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.或C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，结合并集的定义求解即可.【详解】.所以或.故选：B.2.已知复数，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先对复数化简，再写出【详解】..故选：A3.已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由图可得各点坐标，求出，坐标，即可得答案.【详解】由图可得，所以，则.故选：C4.已知函数，若，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和.【详解】若，则，因为函数在单调递增，且，所以方程无解；若，，则，得到，即，整理得，解得（舍）或；若，因为函数在单调递减，且，所以方程无解；综上，，，所以，.故选：B.5.已知圆，若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】需先将圆方程化为标准形式求圆心和半径，再写出双曲线渐近线方程，利用圆心到渐近线距离等于半径建立方程，求解a与b关系，最后求得离心率.【详解】圆可化为，则圆心，半径为，因为双曲线（），所以渐近线为，即，因为双曲线的渐近线与圆相切，所以，所以，化简得，所以，又因为双曲线中，所以离心率.故选：D.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两角和的余弦公式，展开整理，可得的值，代入二倍角的正切公式，即可得答案.【详解】由题意所以，则，所以.故选：A7.如图，在长方体中，，点分别在四边形､四边形内运动（不与长方体的顶点重合），若，，且都在球上，则球的表面积的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，确定球的球心的位置，列出球的表面积的表达式，根据参数的取值范围即可求得结果.【详解】因为，所以是直角三角形，其外接圆的圆心为的中点，所以球的球心在过的中点且垂直于平面的直线上.又，所以为四边形内以为直径，以的中点为圆心，2为半径的半圆上一点，如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，因为球的半径，即，化简得，因为，所以，，即，所以，而球的表面积为，，所以，即球的表面积的取值范围为.故选：D.8.已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（）A.21 B.22 C.23 D.24【答案】C【解析】【分析】由递推公式得到为等差数列，结合累乘法求出，分奇偶求和代入中得到，结合不等式求解即可.【详解】由可得，，即，又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以.当时，，又，也符合，故.所以.当为偶数时，，当为奇数且时，为偶数，则，又符合上式，故当为奇数时，.当为偶数时，，当为奇数时，，故.由可得，即，故满足条件的的最大值为23.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（）A.从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份B.这10个月营业额的平均数为32.5万元C.前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差D.这10个月营业额数据第70百分位数为43【答案】AC【解析】【分析】对A，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对B，将10个月的营业额数据求和，再除以10得到平均数，与32.5万元对比；对C，分别计算前5个月和后5个月营业额的方差，比较两者大小；对D，将数据排序后，根据百分位数公式计算第70百分位数进行判断.【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元，十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确；对于B：由，即这10个月的营业额的平均数为万元，B错误；对于C：前5个月的平均数，方差；后5个月的平均数，方差因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确；对于D：将10个数据从小到大排序：因为，所以第百分位数取第7项和第8项的平均数，D错误.故选：AC.10.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为，分别过上的点，作的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，若直线不与坐标轴垂直，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.C.若直线过点，则直线与的交点为D.若直线过点，且，则四边形的面积为【答案】BCD【解析】【分析】根据抛物线的定义、几何性质及直线与抛物线的位置关系逐项分析判断即可.【详解】选项A：由抛物线定义可知，，故，故，即，A错误.选项B：由题意知，，设，，则，则直线的斜率为.直线斜率为，因为，所以，B正确.选项C：当直线过点时，设直线方程为，与抛物线方程联立整理得，则.，，则直线方程为，令，则.直线方程为，令，则.故直线与的交点为，C正确.选项D：由，可得，得.又，所以.由题意可知，四边形为直角梯形，所以其面积为，D正确.故选：BCD.11.设且，若，则下列大小关系可能成立的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先降次，将降为后再构造函数即可判断.【详解】因为且，，所以.又，所以.构造函数，则的定义域为，，所以在上单调递减，又，所以当时，，即，所以，所以，故CD正确；当时，，即，所以，所以，故AD正确，B错误.故选:ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，角的对边分别为．已知，则角为__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：在中，，根据正弦定理可得．由，可得，故考点：正余弦定理13.截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种．【答案】145【解析】【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和.【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种；若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种，若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种，故满足条件的所有不同情况共有种.故答案为：14514.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】法1：由题意得，令，求导可得，则，再分、、三种情况求最值即可；法2：利用几何意义，表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，作于，根据，即求的最值即可．【详解】法1：由题意得，令，则，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即.当时，，当且仅当时，取得最小值2.当时，，当且仅当时，取得最小值2.当时，，当且仅当，时，取得最小值2.综上所述，的最小值为2.法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和.作于，，令，则，令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，故的最小值为2．故答案为：．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解；（2）利用三角函数图象变换法则求得，将方程根的问题转化为函数在上的图象与有两个交点，画出图像，数形结合求解即可.【小问1详解】，所以的最小正周期为，令，解得，所以的单调递增区间为；【小问2详解】由题可知，，当时，，由得，由得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，令，则，即，又函数在上有2个零点等价于函数在上的图象与有两个交点，在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，所以实数的取值范围是．16.如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且．（1）求．（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4（2）存在，【解析】【分析】（1）过作，利用线面垂直的判定定理可推出所以平面，再结合边长应用勾股定理即可；（2）取的中点为，根据线面垂直判定定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法直线与平面所成角的正弦值列出方程即可求得.【小问1详解】由题意得，过作，因为底面为等腰梯形，且，所以，所以，所以，进而得出，又，平面.所以平面，又平面，所以．所以.【小问2详解】取的中点为，连接，，，所以平面，又平面，，平面.所以平面，过E作平行于，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，假设存在点，设，，设平面的一个法向量，因为直线与平面所成角的正弦值为，，解得或（舍）.在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.17.某芯片研究所研究一种电动汽车电池快充芯片，该电池芯片需要甲、乙两种芯片加工工艺，甲种芯片加工工艺需要三次来完成，第一次需要在该芯片上进行光刻，其成功的概率为0.6，第二次是对第一次光刻的检查与补充，若检测第一次未成功，则将再次光刻，成功的概率还是0.6；若检测第一次光刻成功，则不需要光刻了．第三次是对前两次的检查与补充，检测仍未光刻成功，则再次进行光刻，其成功的概率还是0.6，并判断其是否为合格品，若经过三次工艺后，仍未光刻成功，则为不合格品，淘汰，其余为合格品，进入乙种芯片工艺．乙种芯片加工工艺需要两次独立的光刻，第一次光刻成功的概率为0.5，第二次光刻成功的概率为0.8．若甲种工艺不合格，该芯片亏200元．在甲种工艺合格的前提下，若乙种工艺两次均不成功，该芯片也亏200元；若乙种工艺两次光刻只成功一次，则该芯片应用于其他产品，能赚取100元利润；若乙种工艺两次光刻均成功，则每个芯片赚取300元的利润．（1）求一个未被光刻芯片经过甲、乙两种工艺加工后不亏钱的概率；（2）从甲种工艺合格的芯片中任取两个，经过乙种工艺两次光刻，求所赚取利润的分布列和数学期望．【答案】（1）0.8424（2）分布列见解析，300【解析】【分析】（1）先求出一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工的概率，再计算不亏的概率；（2）先确定的值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的概念求的数学期望.【小问1详解】设甲种工艺光刻成功的概率是，则，乙种工艺两次均不成功的概率为，则，不亏钱的概率．【小问2详解】在甲种工艺合格的前提下，设一个芯片赚取的利润为，则，，．的可能取值为，，，，，．则，，，，，．其分布列为1002004006000.010.10.080.250.40.16．18.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）求函数的最小值；（3）当时，证明：．【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对实数的取值进行分类讨论，分析导数