6.2.3-6.2.4 组合与组合数(3知识点+6考点+过关检测)(解析版)-2026《寒假自学课-高二数学》人教A

6.2.3-6.2.4组合与组合数内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：组合1、组合的定义一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合．注意：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．2、对组合概念的两点说明（1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出．（2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．3、排列与组合的异同及区分方法（1）排列与组合的异同点：排列组合相同点从个元素中取出个元素不同点与元素的顺序有关与元素的顺序无关（2）排列问题与组合问题的区分方法=1\*GB3①排列问题：若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，与选取的顺序有关；=2\*GB3②组合问题：若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，与选取的顺序无关．（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员【答案】C【解析】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.C.从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题.D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.故选：C.知识点2：组合数1、组合数的概念从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．注意：组合数是数，组合不是数2、组合数公式（，且）（1）连乘表示：（2）阶乘表示：另外，我们规定（24-25高二下·河北沧州·月考）计算的值为（

）A．24 B．32 C．33 D．34【答案】D【解析】.故选：.知识点3：组合数的性质1、性质1：（1）公式的特征：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标．（2）应用：=1\*GB3①简化计算，当时，通常将计算转化为计算；=2\*GB3②列等式，由可得或．2、性质2：（1）公式特征：等号左边的下标等于等号右边下标加1，等号左边的上标等于等号右边较大的上标．（2）应用：顺用（将一个组合数拆成两个）、逆用（合二为一）、恒等变形、简化运算．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知，则（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解析】因为，解得或，，，所以.故选：C.题型一：判断是否为组合问题例1．（24-25高二下·山东聊城·月考）（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（

）A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商.B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法【答案】BC【解析】对于选项A，选数后作商有顺序，故不是组合问题，A错误；对于选项B，从8人中选5人，无顺序，符合组合定义，B正确；对于选项C，从20只不同的球中选6只，无顺序，符合组合定义，C正确；对于选项D，9人中选4人参加两个不同节目，有先后顺序，不是组合问题，D错误.故选：BC【变式1-1】（24-25高二下·河北邯郸·月考）（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（

）A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积【答案】BCD【解析】对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.故选：BCD【变式1-2】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）（多选）下列问题中，属于组合问题的是（

）A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法【答案】AC【解析】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别；C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别.故选：AC.【变式1-3】（25-26高二上·安徽阜阳·月考）（多选）下面问题中，是组合问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合.【答案】BCD【解析】选项A，组成三位数时，数字顺序会影响结果（如123和321是不同的数），属于排列问题；选项B，选5人组成篮球队，只需确定人员，无需考虑队员的顺序，属于组合问题；选项C，抽样调查只需确定2人，无需考虑这2人的顺序，属于组合问题；选项D，集合中的元素具有无序性，选2个数组成集合不考虑顺序，属于组合问题；故选：BCD题型二：组合数的相关计算与证明例2.（24-25高二下·江苏南通·月考）若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为，所以或，当时，解得，经检验，符合题意，当时，解得，经检验，符合题意，综上，得到，故B正确.故选：B【变式2-1】（24-25高二下·山东·月考）式子可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分母是.分子是101个连续自然数的乘积，最大的为，最小的为.我们将原式变形为.组合数公式为，那么中，分子可以看作是从开始，依次递减，共101个数的乘积，其形式与前101项的乘积一致，所以.可得.综上，式子可表示为.故选：B.【变式2-2】（25-26高二上·广西·月考）（多选）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对A选项，，A正确；对B选项，左边=，B错误；对C选项，方法一：，方法二：，C正确；对D选项，，故D错误.故选：AC.【变式2-3】（25-26高二上·河南驻马店·月考）（多选）已知m，且，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】A错，，．B对，．C对，，，所以．D错，．故选：BC.题型三：无限制条件的组合问题例3.（25-26高二上·四川巴中·月考）某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（

）A．60 B．20 C．12 D．10【答案】D【解析】从5个景点中选3个景点去游玩，是组合问题，不同的选择方法种数为.故选：D.【变式3-1】（24-25高二下·上海·月考）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有和名学生，则不同的抽样结果的种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据分层抽样，初中部和高中部分别抽取人和人，不同的抽样结果的种数为所以选：【变式3-2】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）正八边形的对角线的条数是（

）A．16 B．20 C．28 D．40【答案】B【解析】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条.故选：B．【变式3-3】（24-25高二下·山东·月考）某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至多有2位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】恰1位同学摸到自己写的祝福卡片，有种；恰2位同学摸到自己写的祝福卡片，有种；恰3位同学摸到自己写的祝福卡片，有种；不可能只有4位同学摸到自己写的祝福卡片，恰有5位同学摸到自己写的祝福卡片，有1种，所以至多有2位同学摸到自己写的祝福卡片的概率.故选：A题型四：有限制条件的组合问题例4.（25-26高二上·江西赣州·月考）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正､副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有种.【答案】【解析】若恰有1名女生被选中，则有种选法；若有2名女生被选中，则有种选法，所以共有种选法，故答案为：.【变式4-1】（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知盒中有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中6个白球和4黑球.从盒中一次随机地取出2个球，其中至少有1个白球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，至少有1个白球的概率为.故选：C【变式4-2】（24-25高二下·江苏扬州·月考）从3名男生、2名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（

）A．10 B．16 C．18 D．24【答案】C【解析】满足条件的有两类：①选到1名男生和1名女生分别担任班长和副班长，有种方法；②选到两名男生分别担任班长和副班长，有种方法.共有18中方法.故选：C【变式4-3】（24-25高二下·山东聊城·期中）某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（

）A．630种 B．360种 C．240种 D．180种【答案】B【解析】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会，有种，物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会，有种，物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会，有种，所以共有种不同的参会方案.故选：B题型五：不同元素分组分配问题例5.（25-26高二上·江西鹰潭·月考）哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行：①将5名教师志愿者分为4组，有种分组方法，②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案.故选：C【变式5-1】（25-26高二上·江西·月考）现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排了实习，且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为（

）A．138 B．240 C．300 D．150【答案】D【解析】由题意，5名师范生可以分成或三组，分别分配给一个年级，故有种安排方法.故选：D【变式5-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（

）A．1080 B．1560 C．2640 D．3960【答案】B【解析】依题意，可分为两类情况：第一类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法；第二类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法.故由分类加法计数原理，共有种不同分法.故选：B.【变式5-3】（24-25高二下·广东广州·月考）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（

）A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种【答案】B【解析】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式，1，1，1，3的分组包含种情况，1，1，2，2的分组包含种情况，这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法.故选：B题型六：相同元素分配问题例6.（24-25高二下·山西朔州·期中）11个相同的小球放入3个编号为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个，有种放法.（用数字作答）【答案】45【解析】根据题意，将11个相同的小球放入3个盒中，每个盒子至少1个，相当于将11个相同的小球分成3组，每组至少1个.可将11个小球排成一列，然后在除两端的10个空位中，选取2个，插入隔板，故共有种放法.【变式6-1】（25-26高二上·浙江·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为.【答案】28【解析】已知方程，且，则，其中均为自然数.将其转化为，其中为正整数.运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组，第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则.2个隔板的放置方法共有种，故方程的正整数解的个数为28.即方程的自然数解的个数为28.故答案为：28.【变式6-2】（25-26高二上·河南驻马店·月考）10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（

）种不同分配方案．A．9 B．36 C．84 D．120【答案】C【解析】我们可以把10个名额排成一排，会产生9个空隙，要分成7组，需要插入6个隔板，不同的隔板位置对应不同的分配方案，所以分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即.故选：C【变式6-3】（24-25高二下·河北邢台·月考）某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（

）A．105种 B．455种 C．120种 D．560种【答案】A【解析】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板，这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额，则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等．因为隔板插入方法共有种，所以名额的分配方案共有105种．故选：A.一、单选题1．（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（

）A．28 B．56 C．112 D．120【答案】B【解析】由，得，解得，所以.故选：B2．（24-25高二下·湖北黄石·月考）某班组织同学到社区志愿服务，某小组共有4名男生和5名女生，该小组需要选出3名同学参加，若选出的同学中既有男生又有女生，则不同的安排方法有（

）种．A．35 B．84 C．70 D．140【答案】C【解析】由题意分两种情况：2男1女时：，2女1男时：，共有种．故选：C3．（25-26高二上·浙江·月考）盒子甲中有5个红球和3个蓝球；盒子乙中有6个红球和2个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有1个蓝球的不同取法共有（

）A．150种 B．180种 C．300种 D．345种【答案】D【解析】4个球中恰有1个蓝球，可分为两种情况：第一种：甲盒取出1红1蓝、乙盒取出两红，此时有；第二种：甲盒取出两红、乙盒取出1红1蓝，此时有；故共有种不同的取法，故选：D.4．（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在正六边形中，为其中心，如下图所示：从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种，所以，能构成的三角形的个数为个，其中，构成的等边三角形分别为、、、、、、、，共个，所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个.故选：A.5．（24-25高二下·福建厦门·月考）10名同学合影，站成了前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（

）A．168 B．630 C．252 D．420【答案】D【解析】从后排7人中选2人共有种选法，这2人插入前排3人中且保证前排人的顺序不变，则可先从3人中的4个空挡插入1人，有种插法；余下的1人则要插入前排4人的5个空挡中，有种插法，则不同调整方法的种数是种．故选：D.二、多选题6．（24-25高二下·山西·月考）学生食堂提供共4种主食和共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则（

）A．不选主食的方法种数为30 B．主食和配菜都选的方法种数为12C．配菜至少选1种的方法种数为54 D．主食，配菜只选2种的方法种数为21【答案】ABD【解析】对于A，不选主食的方法种数为，A正确；对于B，主食和配菜都选的方法种数为，B正确；对于C，配菜至少选1种的方法种数为，C错误；对于D，主食，配菜只选2种的方法种数为，D正确．故选：ABD．7．（24-25高二下·福建三明·期中）福建省动植物园举行花卉展览，三明某花卉种植园有种兰花，种三角梅共种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有种花卉参展，下列选项正确的是（

）A．若展馆需要种花卉，有种安排方法B．若“绿水晶”去展馆，有种安排方法C．若“绿水晶”不去展馆，有种安排方法D．若种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法【答案】AB【解析】对于选项A，若展馆需要种花卉，种精品花卉选种安排在展馆即可，有种安排方法，所以选项A正确；对于选项B，若“绿水晶”去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可，展馆至少有一种，则有种安排方法，所以选项B正确；对于C，若“绿水晶”不去展馆，则其必须去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可，则展馆至少有一种，则有种安排方法，所以选项C错误；对于选项D，若种三角梅不能去往同一个展馆，则其分别在两个展馆，有种安排方法，将种兰花安排在两个展馆，每种兰花都有种安排方法，则种兰花共有种安排方法，则有种安排方法，所以选项D错误.故选：AB.8．（25-26高二上·山东·月考）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（

）A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法【答案】AB【解析】若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确；若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，，所以有种不同的分法，故B正确若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，，所以有种不同的分法，故C不正确；若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，，所以有种不同的分法，故D不正确故选：AB三、填空题9．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）若，则正整数的值为.【答案】5或7【解析】由组合数的性质，可得，则，可得或，解得或.10．（24-25高二下·湖北孝感·期末）某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有种用数字作答【答案】360【解析】由题可得相当于先从9人中选取2人，再从5人中选取3人，则安排方法有：.11．（24-25高二下·河北衡水·月考）某校5名大学生分别从西班牙语、意大利语、葡萄牙语中选择