素养拓展01 坐标法与极化恒等式、等和线(思维导图+3知识点+三大考点+过关检测)(解析版)-2026《寒假自学课-高一数学》人教A

素养拓展01坐标法与极化恒等式、等和线知识点1：坐标法1、建系的常见技巧（1）前言坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.（2）技巧①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等.知识点2：极化恒等式设a，b是平面内的两个向量，则有证明：，①，②将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．知识点3：等和线1、等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。等和线一般性结论：①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．证明：如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值=1\*GB3①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得而，所以，于是=2\*GB3②若时，（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则，不妨设与的相似比为由三点共线可知：存在使得：所以（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：所以，于是综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则(的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；（3）从长度比计算最值.【题型01坐标法】1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得答案.【详解】如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，依题意，有，设，则，且，由，因，故.故选：D.2．已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，写出点、、和的坐标，设出点，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值.【详解】如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，设，则，，，，设，则，，，，即当时，取得最小值5.故选：D

3．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案.【详解】设的夹角为，当与重合时，；当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时，，所以，当与重合时，，所以，以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系，根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为，则，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，当在线段（除）上运动时，设，所以，当在线段上运动时，设，所以，当在线段（除）上运动时，设，所以.综上所述，的最小值为.故选：C4．（23-24高一下·浙江·月考）在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】合理作图，建立平面直角坐标系，利用垂心的性质得到之间的关系，进而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可.【详解】如图，在等腰中，找底边的中点，作，，交点即为垂心，以为原点建立平面直角坐标系，设，，故，，，故，，，故，设，故，则，故，又，故，而，则，解得，故，故，解得，可得，易得，，可得，可得，解得，由三线合一性质得平分，故，而，由二倍角公式得，故，故C正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，然后表利用垂心的性质结合二倍角公式求出，最后得到即可．5．（23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为.【答案】【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果．【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，

因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则，，，，则，而等于与所成的角．所以．故答案为：.6．如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是．【答案】2【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合已知条件得出点坐标，进而得出向量的坐标，根据构建方程组得出与的关系，进而得出的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出的最大值．【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下：由已知条件可知，，，设，，则，，，，，，，，故答案为：2．【题型02极化恒等式】1．（23-24高一下·北京·期中）已知圆的半径为2，AB是圆的一条直径，平面上的动点满足，则当不在直线AB上的时候，的面积的最大值为（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】根据给定条件，利用向量加法运算，结合数量积的运算律求出长，即可求出三角形面积的最大值.【详解】依题意，，即有，因此，点到直线AB距离的最大值为1，所以面积的最大值为.故选：D2．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知是边长为的正三角形，EF为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律由表示，再求出最大值.【详解】如图，EF为外接圆的直径，为EF的中点，则外接圆半径为，则，当为正边的中点时，，所以的最大值为3.故选：C3．（23-24高一下·北京·月考）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图中，O为AB中点，（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取中点，则由极化恒等式知，，要求取值范围，只需要求最大，最小即可.由图，可知最大时，P在D点，即，此时，最小时，P在O点，即，此时.综上所得，取值范围为:.故选：D.4．如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值.【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点，则，且，故是边长为的等边三角形，易知，则，当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值.故选：C.5．（24-25高一下·四川雅安·月考）如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（

）A．8 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值.【详解】取中点为，由，因为，所以，若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，,若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界），此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立，因为，所以，故的最大值为，故选：C.【题型03等和线】【典例解析】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（）A.3B.C.D.2【解析】：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时有最大值，此时，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则答案：A【练习】1．如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的取值范围.【详解】如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且.，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，的取值范围为.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题.2．设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是【答案】【分析】根据题意作图，利用平面向量基本定理，结合相似三角形线段长成比例，计算求解.【详解】如图，取中点，连接交于，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，则，易知，则，所以，设，因为三点共线，所以，设，则，即，当点在内（含边界）时，在线段上（含端点），所以，由，，可得.则的取值范围是.故答案为：.3．在平行四边形中，为的三等分点，为与的交点，为边上一动点，为内一点（含边界），若，则的取值范围是【答案】【详解】如图，作，则，过点作直线的平行线，交于，过点作直线的平行线，交于，已知，相似比，所以，设，因为三点共线，所以，设，则，即，因为为内一点（含边界），所以在线段之间（含端点），则，所以，由，得.故答案为：.4．正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设，，则的取值范围是【答案】【分析】如图所示，连接交于点，由正六边形的性质可得点为的中点．分类讨论：利用向量的加法和共线定理可得：①时，．②及点位于线段上时，．③除了①、②的情况满足，．综上可得：．【详解】解：如图所示，

连接交于点，由正六边形的性质可得点为的中点．①，，，，化为，与向量，为实数）比较可得：．②，又，．，又，，即，此时．③当点位于线段上时，记作，则，此时．④当点不在线段上时，．．综上可得：．即故答案为：【点睛】本题考查了正六边形的性质、向量的加法和共线定理、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．1．（24-25高一下·河南商丘·期末）已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐标系，用坐标表示数量积，转化为二次函数求最值.【详解】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，设，则，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故选：C．2．在中，交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解.【详解】解：由题可建立如图所示坐标系：由图可得：，又，故直线的方程：，可得，所以，故选：C.3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解.【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）．设，则．因为，所以．由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上，所以，所以的取值范围是．故选：C4．（24-25高一下·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解；法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解.【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：

依题意可知：，，，则：，∴，，∴．故选：D.法2：∵M，N分别是BC，AC的中点，∴，．∵与的夹角等于∠MPN，∴．∵，，，∴．故选：D.5．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围.【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，因为菱形得边长为1，，所以，，，设，则，，，所以，，，当且仅当时，取等号，所以的取值范围是.故选：A.6．（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（

）．A．1 B． C． D．【答案】B【分析】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得，，最后由，求解即可.【详解】解：设的中点为D，则．因为，所以．因为等边的边长为2，则，所以．所以．故选：B.7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设正六边形内切圆圆心为，则，然后利用数量积的运算律及定义求解即可.【详解】设正六边形内切圆圆心为，由题意可知内切圆半径为，，又因为，所以的取值范围为．故选：C．8．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据结合数量积的运算律求解即可.【详解】取中点，连接，因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上，所以当在点或点时，取得最大值，当在弧中点时，取得最小值，的取值范围为，又因为，，，所以，因为的取值范围为，所以的取值范围为，的取值范围为，故选：B9．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（

）A．9 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案.【详解】因为点与点关于点对称，所以，则．取的中点，连接，则，，则．当点与点或点重合时，取得最大值，则，从而的最大值为8．故选：D10．（24-25高一下·北京·期中）如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（

）①；②；③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则；④若是边长为1的正三角形