广西壮族自治区贵百河联考2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（解析版）

第第页广西壮族自治区贵百河联考2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a,A．a=b C．a2≠b【答案】D【解析】【解答】解：A、a,B、a⋅b=C、a2=aD、|a故答案为：D.【分析】根据单位向量的定义结合向量数量积运算判断即可.2．若复数z满足2z+z=3−2i，其中i为虚数单位，则A．1+2i B．1−2i C．−1+2i D．−1−2i【答案】B【解析】【解答】复数z满足2z+z=3−2i，设z=a+bi.，a，b∈R，可得2a+2bi【分析】设出复数的代数形式，利用复数相等，得到关于a，b的方程组，求出a，b即得复数.3．已知向量a=A．存在θ，使得a=b B．当aC．当tanθ=−22时，a与b垂直 D．a【答案】D【解析】【解答】解：A、若a=b，则1+sin2θ=cos2θ+2，即cos2θ=−1，

因为0≤θ≤B、a⋅b=cosθ+2sinθ=3，则3C、当tanθ=−22时，因为0≤θ≤π，所以a⋅b=2sinD、假设a//b，则sinθ⋅故答案为：D.【分析】利用a=b代入坐标化简求得θ=π2即可判断A；由a⋅b=3化简计算可得θ=π2−φ+2kπ,k∈Z，结合4．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2+bA．11011 B．11012 C．12023【答案】A【解析】【解答】解：a2+b2=2023再由正弦定理可得：sinA则tanC=11011×sinAsinBsinC=11011×sinAsin故答案为：A.【分析】由题意，利用余弦、正弦定理化弦为切同时进行拆角化成tanC=5．设向量a,b,c满足a=bA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】C【解析】【解答】解：分别作出OA=a则CB=b−c,CA=a由题意可得：∠BOA=120∘，∠BCA=60∘，

由当OC为该圆的直径时，c取最大值，此时OB⊥BC,OA⊥AC，在△OAB中，由余弦定理AB2=设四边形的外接圆半径为R，由正弦定理3sin120∘=2R，解得AC=BC=22−12=3故答案为：C.【分析】作出图形，由题意先判断O,A,C,B四点共圆，推出当OC为圆的直径时，c取最大值，推出OB⊥BC,OA⊥AC，通过计算△ABC的三边长判断三角形的形状即可.6．已知点N、O、P满足NA+NB+NC=0，|OAA．重心､外心､垂心 B．重心､外心､内心C．外心､重心､垂心 D．外心､重心､内心【答案】A【解析】【解答】解：由|OA|=|OB|=|OC|，可得O为△ABC的外心；

由由PA·PB=PB·PC=同理可证AB⊥PC，则P为△ABC的垂心．故答案为：A．【分析】分别根据外心，重心，垂心的定义判断判断即可．7．设f(n)=1+i1−inA．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】C【解析】【解答】解：1+i1-i=1+i21-i1+i当n=1时，f(1)=0；当n=2时，f(2)=−2；当n=3时，f(3)=0；当n=4时，f(4)=2，

则f(n)的可能取值有3个.故答案为：C.【分析】利用复数代数形式的除法运算和i的次幂运算求解即可.8．在△ABC中，S△ABC=36AB⋅AC=32，A．2+433 B．1+433【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC中，sinB=cosA由余弦定理可得：b=c⋅b2+c2因为S△ABC=36AB⋅AC=32，则由余弦定理可得：36bc⋅b2+c2因为A=π6，所以a=1，因为CP=xCACA+yCBCB=x3CA+yCB，且A，则1x+3y=1x+3故答案为：A.【分析】由题意，利用正弦、余弦定理化简求得a，b，c的大小，再由平面向量共线定理得到x与y的关系等式，最后利用基本不等式求解即可.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得分2，只选两个都对得4分，错选不得分）9．已知a，b∈R，a−1i−b=3−2iA．z的虚部是2i B．C．z=−2i【答案】B,C【解析】【解答】解：由a−1i−b=3−2i，可得−b=3a−1=−2，解得a=−1b=−3A、z的虚部是2，故A错误；B、|z|=|2iC、z=−2D、z在复平面对应的点为0,2，位于虚轴上，故D错误.故答案为：BC.【分析】根据复数相等列式求得a，b，再由复数的乘法求得z，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的逐项判断即可.10．下列命题错误的有（）A．若非零向量AB与CD平行，则A,B,C,D四点共线B．若a,b满足a>b且aC．若x,y∈R，则x+yiD．若a∥b，则存在唯一实数λ【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、若非零向量AB与CD平行，则A,B,C,D四点可能共线，也可能不共线，故A错误；B、向量是矢量，不能比较大小，故B错误；C、若x,y∈R，则x+yi=1+D、若a=0,b≠故答案为：ABD.【分析】根据向量平行的含义即可判断A；根据向量的概念即可判断B；根据复数的相等充要条件即可判断C；举反例即可判断D.11．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，asinB=bsinB+C2A．A=π3 B．△ABCC．BO⋅BC=92【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、在△ABC中，asinB=bsin因为sinB>0，所以sinA=cosA2，所以2sinA2cosB、由A=π3，a=3，可得△ABC外接圆半径R=12⋅C、BO⋅D、A=π3，a=3，由余弦定理得：9=a2=b2故答案为：ACD.【分析】利用正弦定理结合诱导公式以及正弦的二倍角公式化简求出角A，再利用正余弦定理、三角形面积公式、向量的数量积运算逐项求解判断即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．向量a,b的夹角为θ，定义运算“⊗”：a⊗b=|a||b|【答案】2【解析】【解答】解：由题意可得，a⃗|a|=(−3)2+12=2,|故答案为：23.

【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算求出向量的模及夹角余弦，进而求得夹角的正弦值，再利用定义求解即得a13．向量a=x,1,b=2,y【答案】10【解析】【解答】解：a=x,1,b=2,y,c=−2,2，

a→⊥即a则a+b=(3,−1)故答案为：10.【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示求出x,y，再根据向量坐标加法运算、模长公式求解即可.14．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为海里.【答案】20【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：

由题意可知CD=40，∠ADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=30°，∠CAD=45°，∠ADB=60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=在Rt△BCD中，∠BDC=45°，∠BCD=90°，则在△ABD中，由余弦定理得AB=800+3200−2×20故答案为：206【分析】连接AB，分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB即可．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．设e1，e2是不共线的非零向量，且a=（1）若4e1−3（2）若e1，e2是互相垂直的单位向量，求a与b的夹角【答案】（1）解：由题意可得：λa若4e1−3e2（2）解：易知e1则a⃗b=a⋅cosθ=a⃗⋅b【解析】【分析】（1）用e1,e（2）先求a，b，a⋅b，再根据向量的夹角公式求（1）∵a=e∴λa∵4e∴λ+μ=4解得λ=3μ=1（2）∵e1，e2∴ab=a⋅∴cosθ=a∴θ=316．（1）已知：复数z=(1+i)2+2i（2）若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根是1+2i，其中m,n∈R【答案】解：（1）z=(1+i)（2）易知1−2i也是方程由韦达定理可得：1+2i+1−2i=2=−m，(1+2【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的加减乘除运算法则化简求得z=−1+3i（2）根据实系数的一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可.17．已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=2cosC,a（1）求角C；（2）若c=3,a+b=23，求△ABC边AB【答案】（1）解：m=2cosC,acosB+bcosA,由正弦定理可得：2sin则sinC(2cosC−1)=0，因为0<C<π,（2）解：若c=3,a+b=23，由余弦定理c则(a+b)2−3ab=3，即△ABC的面积为S△ABC=【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，结合正弦定理和三角形内角和化简求角即可；（2）利用（1）求出的角C和条件，以及余弦定理可求得ab=3，再利用等面积求解即可.（1）由m⊥n可得由正弦定理，2sin则得sinC(2cosC−1)=0，因0<C<π,（2）由余弦定理，c2=a则(a+b)2−3ab=3，因a+b=23于是△ABC的面积为S△ABC则h=18．如图，在平面四边形ABCD中，AB=43（1）当BC=CD时，求四边形ABCD的对角线AC和BD的长度；（2）设∠CBD=θ，记四边形ABCD的面积为fθ【答案】（1）解：在△DAB中，由余弦定理BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠DAB=48+36−483当BC=CD时，∠BCD=120°，∠CDB=30∘，由正弦定理BCsin由∠CBA=∠CBD+∠DBA=60∘+30∘（2）解：由（1）得：BD=23，∠DBA=在△BCD中，因∠BCD=120°，∠CBD=θ，则∠BDC=60∘−θ，

由正弦定理，2则fθ=63−23[cos60当2θ−60∘=0【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理求出BD和∠DBA，再由正弦定理求得BC，最后由勾股定理求得AC即可；（2）在△BCD中，由正弦定理求得BC=4sin(60∘−θ)，利用三角形面积公式表示得到f(θ)=5（1）在△DAB中，由余弦定理，BD2=AB于是，cos∠DBA=AB2当BC=CD时，因∠BCD=120°，故∠CDB=30∘，由正弦定理，BCsin又由∠CBA=∠CBD+∠DBA=60∘+30（2）由（1）得：BD=23，∠DBA=在△BCD中，因∠BCD=120°，∠CBD=θ，则∠BDC=60∘−θ，由正弦定理，2则fθ=63−23[cos60故当2θ−60∘=019．已知①a=2，②B=π4，③在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b−a（1）求角A的大小；（2）已知_______，_______，若△ABC存在，求△ABC的面积；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）b−asin由正弦定理可得：b−ab+a=c3cosA=b2