2026年数学建模中级考试模拟题

2026年数学建模中级考试模拟题一、单选题（共5题，每题2分，计10分）1.某地区2025年人口增长模型采用Logistic模型进行预测，若该地区最大承载人口为100万，2025年人口为50万，增长率为2%，则2026年的人口预测值约为多少？A.51万B.52万C.53万D.54万2.在时间序列预测中，ARIMA模型适用于以下哪种情况？A.平稳时间序列B.非平稳时间序列C.确定性序列D.纯随机序列3.某城市交通流量数据呈现明显的周一至周五的周期性波动，以下哪种方法最适合进行周期性分解？A.线性回归B.移动平均法C.季节性分解乘法模型（SDM）D.神经网络模型4.在多目标优化问题中，若目标函数分别为最大化利润和最小化成本，以下哪种方法可以同时考虑这两个目标？A.遗传算法B.线性规划C.多目标粒子群优化（MOPSO）D.模糊综合评价法5.某企业供应链管理中，库存成本与订购成本的关系可以用以下哪种模型描述？A.一次函数B.指数函数C.抛物线函数D.对数函数二、填空题（共5题，每题2分，计10分）1.若某城市空气质量指数（AQI）与工业排放量呈线性关系，回归方程为AQI=5x+20，当工业排放量为10时，AQI值为______。（答案：70）2.在马尔可夫链模型中，状态转移概率矩阵P的每行元素之和必须等于______。（答案：1）3.某地区GDP增长率与固定资产投资率的关系可以用Logistic模型描述，若饱和增长率为8%，当前增长率为3%，则当前固定资产投资率的增长弹性约为______。（答案：0.5）4.在聚类分析中，K-means算法的聚类效果受初始聚类中心选择的影响，常用的改进方法是______。（答案：K-means++)5.某公司产品需求量服从正态分布，均值为1000件，标准差为200件，若库存不足的损失为10元/件，库存积压的损失为2元/件，则最优订货量为______件（不考虑订购成本）。（答案：980）三、简答题（共3题，每题10分，计30分）1.简述灰色系统GM(1,1)模型的适用条件和局限性。答案：适用条件：-数据量较少（≥4个）；-数据无明显趋势或周期性；-数据分布近似指数规律。局限性：-只能处理单变量序列；-对异常数据的鲁棒性较差；-预测精度受初始值影响较大。2.某公司生产两种产品A和B，产品A的利润率为20%，产品B的利润率为30%，生产A需要消耗资源X2单位，B需要消耗X1单位，总资源限制为100单位。若产品A的市场需求上限为40件，产品B为50件，如何建立线性规划模型求解最大利润？答案：决策变量：-x₁：产品A的生产量；-x₂：产品B的生产量。目标函数：MaxZ=20x₁+30x₂约束条件：-资源约束：2x₁+x₂≤100；-需求约束：x₁≤40，x₂≤50；-非负约束：x₁≥0，x₂≥0。3.某城市交通管理部门收集了2020-2025年的早晚高峰时段主干道车流量数据，发现数据存在明显的趋势性和季节性。请简述如何使用时间序列模型进行预测，并说明模型选择依据。答案：模型选择：-采用季节性ARIMA模型（SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s)，其中：-p,d,q：非季节性自回归、差分、移动平均阶数；-P,D,Q：季节性自回归、差分、移动平均阶数；-s：季节周期（如日周期为24，周周期为7）。模型选择依据：-趋势性：通过差分（d）消除非平稳性；-季节性：通过季节差分（D）和季节周期（s）捕捉周期波动；-自相关性：通过自回归（p）和移动平均（q）捕捉时间依赖性。四、计算题（共2题，每题15分，计30分）1.某农场种植玉米和小麦，玉米的亩产为500斤，小麦为400斤，种植玉米需劳动力20个/亩，小麦需30个/亩，总劳动力限制为300个。若玉米售价为3元/斤，小麦为2.5元/斤，如何安排种植计划使总收益最大？答案：决策变量：-x₁：玉米种植面积（亩）；-x₂：小麦种植面积（亩）。目标函数：MaxZ=3×500x₁+2.5×400x₂=1500x₁+1000x₂约束条件：-劳动力约束：20x₁+30x₂≤300；-非负约束：x₁≥0，x₂≥0。求解：解方程组：20x₁+30x₂=300代入目标函数：Z=1500x₁+1000(10-x₁/3)=10000-500x₁当x₁=0时，Z最大=10000元（全部种小麦）；当x₁=15时，Z最大=9750元（部分种植玉米）。2.某电商平台的订单数据如下表，请用K-means算法将订单分为三类，并说明聚类结果。|订单ID|金额（元）|订单时长（天）||--||-||1|500|3||2|1200|5||3|800|2||4|1500|7||5|600|4||6|2000|10||7|700|3||8|1000|6||9|900|5||10|1100|8|答案：步骤1：选择初始聚类中心（随机选取3个样本）：-C1：(500,3),C2：(1200,5),C3：(800,2)步骤2：计算距离并分配样本：-第一轮分配：-C1：1,5,7；-C2：2,4,9,10；-C3：3,6,8。步骤3：更新聚类中心：-新C1：(650,3.67)；-新C2：(1125,6)；-新C3：(800,4)。步骤4：重复步骤2-3，直至收敛：-最终聚类结果：-类1（高频低时长）：1,5,7；-类2（高频长时长）：2,4,9,10；-类3（中频中时长）：3,6,8。五、综合应用题（共1题，25分）某地区旅游局收集了2015-2025年的游客数量和旅游收入数据，发现游客数量呈指数增长趋势，而旅游收入增速逐渐放缓。请建立模型预测2026-2030年的游客数量和旅游收入，并分析潜在影响因素。数据：|年份|游客数量（万人）|旅游收入（亿元）|||--|||2015|20|50||2016|25|65||2017|32|80||2018|42|95||2019|55|110||2020|60|120||2021|75|135||2022|95|150||2023|120|160||2024|150|170|要求：1.建立游客数量和旅游收入的预测模型；2.分析收入增速放缓的原因；3.提出提升旅游收入的建议。答案：1.预测模型：游客数量模型（指数增长）：设游客数量为G(t)，t为年份，则G(t)=G₀e^(kt)，其中G₀=20，k=0.15。预测2026-2030年：-2026：200.3万人；-2027：225.4万人；-2028：251.5万人；-2029：280.7万人；-2030：312.2万人。旅游收入模型（Logistic增长）：设收入为R(t)，饱和值R_max=200，当前增长率g=10%。R(t)=R_max(1-e^(-at))，a=0.1。预测2026-2030年：-2026：180亿元；-2027：195亿元；-2028：208亿元；-2029：220亿元；-