高考数学平面几何专项训练题

高考数学平面几何专项训练题平面几何作为高考数学的重要组成部分，不仅考查同学们的逻辑推理能力、空间想象能力，更检验对几何基本概念、定理及数学思想方法的综合运用。许多同学在面对平面几何题时，常常因辅助线添加不当、思路卡壳或计算失误而失分。本次专项训练，我们精选了数道典型例题，并辅以细致的思路点拨与解答，希望能帮助同学们夯实基础，突破难点，提升解题效率。一、核心知识回顾与梳理在进入专项训练之前，我们先简要回顾平面几何的一些核心知识点，这是解决一切几何问题的基石：*三角形的性质与判定：全等三角形（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）、相似三角形的判定与性质（AA,SAS,SSS），等腰三角形、直角三角形的特殊性质，三角形内角和定理，三边关系定理，中线、高线、角平分线、垂直平分线的性质。*四边形的性质与判定：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（特别是等腰梯形）的定义、性质及判定方法。注意它们之间的联系与区别，以及转化思想的应用。*圆的相关定理：垂径定理及其推论，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，圆周角定理及其推论，切线的判定与性质，切线长定理，相交弦定理，切割线定理等。圆与三角形、四边形的综合是考查重点。*几何变换：平移、旋转、对称（轴对称与中心对称）在解决几何问题中的应用，利用变换思想可以将分散的条件集中，或将复杂图形简化。*辅助线添加技巧：这是平面几何的灵魂。常见的辅助线有：连接两点、作垂线、作平行线、延长线段、构造全等或相似三角形、构造特殊四边形、作圆的切线或直径等。辅助线的添加要依据题目的已知条件和求证目标，“缺什么补什么”，“需什么作什么”。二、专项训练题精选（一）三角形与全等、相似例题1已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。思路点拨：要证DE=DF，它们分别是点D到AB、AC的距离。已知AB=AC，即△ABC是等腰三角形，D是BC中点。由此联想等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD，则AD既是顶角平分线也是底边上的高。再利用角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）即可得证。或者，也可通过证明△BDE≌△CDF来得出结论。解答过程：证明：连接AD。∵AB=AC，BD=DC（已知），∴AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角）。∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。题后反思：本题考查等腰三角形的性质及角平分线性质定理的应用。连接AD是关键的辅助线，它将等腰三角形的性质与距离相等联系起来。思考时，要善于从已知条件中挖掘隐含信息，如“中点”往往与中线、中位线等有关。例题2如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且AD:DB=2:3，若△ADE的面积为4，求△ABC的面积。思路点拨：由DE∥BC，可判定△ADE与△ABC相似。相似三角形的面积比等于相似比的平方。已知AD:DB=2:3，可求出AD:AB的值，即相似比，进而求出面积比，从而得到△ABC的面积。解答过程：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。∵AD:DB=2:3，∴AD:AB=AD:(AD+DB)=2:(2+3)=2:5。∴S△ADE:S△ABC=(AD:AB)²=(2:5)²=4:25。∵S△ADE=4，∴4:S△ABC=4:25，∴S△ABC=25。题后反思：本题考查相似三角形的判定与性质。找准相似比是解题的关键，注意相似比是对应边的比，这里AD:AB才是相似比，而非AD:DB。面积比与相似比的平方关系是常考知识点，需牢记。（二）四边形与圆例题3已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F。求证：OE=OF。思路点拨：要证OE=OF，可考虑证明包含OE和OF的两个三角形全等。在平行四边形中，对角线互相平分，所以AO=CO。AD∥BC可得内错角相等，即∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。由此可证△AOE≌△COF，从而得出OE=OF。解答过程：证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AD∥BC，AO=CO（平行四边形的对角线互相平分）。∴∠OAE=∠OCF（两直线平行，内错角相等）。在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF（已证），AO=CO（已证），∠AOE=∠COF（对顶角相等），∴△AOE≌△COF（ASA）。∴OE=OF（全等三角形的对应边相等）。题后反思：本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定。平行四边形的对边平行、对角线互相平分等性质是解决问题的重要依据。在四边形问题中，利用对角线将其转化为三角形问题是常用策略。例题4已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。思路点拨：已知CD是⊙O的切线，C为切点，联想切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径。因此，连接OC，则OC⊥CD。又已知AD⊥CD，所以AD∥OC。由平行可得内错角相等，即∠DAC=∠OCA。而OC=OA（半径相等），所以∠OAC=∠OCA。等量代换可得∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。解答过程：证明：连接OC。∵CD是⊙O的切线，C为切点（已知），∴OC⊥CD（圆的切线垂直于经过切点的半径）。∵AD⊥CD（已知），∴AD∥OC（垂直于同一条直线的两条直线平行）。∴∠DAC=∠OCA（两直线平行，内错角相等）。∵OC=OA（⊙O的半径），∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。∴∠DAC=∠OAC（等量代换）。∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）。题后反思：本题考查切线的性质、平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质。连接圆心和切点（OC）是解决与切线相关问题的常用辅助线，它能构造出直角，为后续证明创造条件。（三）综合与探究例题5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点O是AB的中点，点D、E分别在AC、BC边上，且∠DOE=90°。（1）求证：OD=OE；（2）若AC=4，求四边形CDOE的面积。思路点拨：（1）要证OD=OE，已知∠DOE=90°，∠ACB=90°，点O是AB中点。在等腰直角三角形ABC中，O为AB中点，连接OC，则OC=OA=OB，OC⊥AB，OC平分∠ACB，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°。可尝试证明△COD≌△BOE或△AOD≌△COE。例如，∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，所以∠DOC=∠EOB，结合OC=OB，∠OCD=∠B=45°，可证△COD≌△BOE。（2）由（1）中的全等可得S△COD=S△BOE，因此四边形CDOE的面积可转化为S△COB的面积。而S△COB是S△ABC的一半，易求出。解答过程：（1）证明：连接OC。∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点O是AB中点（已知），∴OC=OB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且等腰直角三角形斜边上的中线也是斜边的一半、顶角平分线和底边上的高），OC⊥AB，∠OCD=∠B=45°（等腰直角三角形的性质）。∴∠COB=90°。∵∠DOE=90°（已知），∴∠DOC+∠COE=∠COE+∠EOB=90°，∴∠DOC=∠EOB。在△COD和△BOE中，∠OCD=∠B，OC=OB，∠DOC=∠EOB，∴△COD≌△BOE（ASA）。∴OD=OE。（2）解：∵△COD≌△BOE，∴S△COD=S△BOE。∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△BOE+S△COE=S△COB。∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴S△ABC=(AC·BC)/2=(4×4)/2=8。∵点O是AB中点，∴S△COB=S△ABC/2=8/2=4。即四边形CDOE的面积为4。题后反思：本题是等腰直角三角形与全等三角形、面积转化的综合题。连接斜边上的中线OC是解题的关键，它为全等三角形的判定提供了条件。在解决面积问题时，利用全等进行等积变形是重要技巧，可将不规则图形的面积转化为规则图形的面积。三、总结与建议平面几何的解题过程，是一个观察、联想、推理、验证的过程。要想熟练掌握，同学们需做到以下几点：1.夯实基础，吃透定理：对所有学过的定义、公理、定理要理解其本质，明确其题设与结论，并能熟练运用。2.多思多练，积累经验：通过一定量的练习，熟悉各种基本图形和常见题型，积累辅助线添加的经验。注意，练习不在多而在精，要注重解题后的反思与总结。3.学会转化，化繁为简：将复杂问题分解为简单问题，将未知问题转化为