2026年数学建模与数据分析进阶试题集

2026年数学建模与数据分析进阶试题集一、问题描述题（共3题，每题20分）第1题（15分）背景：某沿海城市近年来旅游业发展迅速，但旅游旺季期间（7-8月）酒店入住率波动剧烈，供需矛盾突出。该市旅游局希望通过数据分析预测未来3年（2026-2028年）7-8月酒店入住率，并设计动态定价策略以提高收益。已知该市2020-2025年7-8月酒店入住率、平均房价（ADR）、每间可售房收入（RevPAR）及主要影响因素数据（游客数量、淡旺季标识、天气数据等），请建立数学模型预测2026-2028年入住率，并提出动态定价建议。数据来源于该市旅游局统计年鉴及携程API接口。第2题（25分）背景：某省会城市交通管理局收集了2020-2025年早晚高峰时段（7:00-9:00，17:00-19:00）主要道路（如主干道、地铁线路周边路段）的实时车流量、拥堵指数及天气数据，发现车流量与拥堵指数呈非线性关系。为缓解交通压力，管理局计划通过优化信号灯配时、引导潮汐交通等措施进行干预。请建立模型分析车流量、天气对拥堵指数的影响，评估不同干预措施的效果，并提出优化方案。数据来源于高德地图API及城市交通监控系统。第3题（30分）背景：某中部省份农业厅监测到近年来小麦种植面积波动与极端天气（干旱、洪涝）频率正相关，而化肥使用量与土壤肥力退化问题日益严重。为保障粮食安全，需建立模型分析气候变化对小麦产量的影响，并设计化肥优化施用方案。已知该省2020-2025年小麦产量、种植面积、极端天气事件次数、化肥使用量及土壤肥力数据，请建立数学模型预测未来3年产量趋势，并提出化肥施用优化建议。数据来源于国家统计局及农业部门田间实验记录。二、模型建立与求解题（共2题，每题25分）第4题（25分）背景：某电商平台为提升用户购物体验，需优化推荐算法。平台收集了2020-2025年用户行为数据（浏览、加购、购买、退货记录）及商品标签（类别、价格、评分等），发现用户购买行为受商品相似度、用户历史偏好及社交影响。请建立协同过滤与用户画像结合的推荐模型，并设计算法评估指标（如准确率、召回率）。数据来源于平台数据库及用户调研问卷。第5题（25分）背景：某能源公司运营着分布式光伏发电站，需优化电力调度以应对电网波动。已知各光伏站的发电功率与光照强度、温度相关，且电网负荷随时间变化。请建立随机规划模型，在满足电网需求的前提下最大化发电收益，并考虑光照强度的不确定性。数据来源于气象局API及电网调度系统。三、数据分析与可视化题（共2题，每题20分）第6题（20分）背景：某连锁超市收集了2020-2025年各门店销售额、促销活动效果及竞争对手价格数据，发现促销活动效果存在时空异质性。请通过聚类分析识别不同门店的促销敏感度类型，并可视化分析促销活动效果的空间分布特征。数据来源于超市ERP系统及第三方零售数据平台。第7题（20分）背景：某三甲医院收集了2020-2025年门诊量、病种分布及医生接诊时长数据，发现部分病种的就诊时长逐年增加。请通过时间序列分析预测未来3年门诊量趋势，并识别就诊时长变化的关键影响因素。数据来源于医院信息系统及患者满意度调查。四、模型评价与改进题（共1题，20分）第8题（20分）背景：某商业银行需评估不同信用评分模型（如Logistic回归、XGBoost）对贷款违约预测的准确性。已知2020-2025年贷款数据（是否违约、收入、负债率、征信记录等），现有模型已建立但需进一步优化。请通过交叉验证比较模型性能，并提出改进建议（如特征工程、参数调优）。数据来源于银行信贷系统及征信中心。答案与解析第1题（15分）模型：1.数据预处理：对入住率、ADR等数据做对数变换消除异方差，缺失值用均值填补。2.模型选择：采用ARIMA模型拟合入住率时间序列，引入外部变量（游客数量、天气指数）构建VECM模型。3.预测：2026-2028年7-8月入住率预测值分别为78.3%、76.5%、79.1%，高于历史平均水平。4.动态定价：设定阶梯式价格区间（高入住率时上浮20%，低入住率时下浮15%），结合历史价格弹性系数优化。第2题（25分）模型：1.数据处理：对车流量做滑动平均平滑，拥堵指数用Logit转换。2.模型建立：构建空间交互模型（如空间自回归SGAR），引入天气（如降雨量）作为虚拟变量。3.干预评估：信号灯配时优化可降低12%拥堵时长，潮汐交通引导可减少8%高峰车流量。4.方案：建议分时段调整配时周期，设置潮汐车道并动态管控入口匝道。第3题（30分）模型：1.数据分析：用主成分分析（PCA）提取土壤肥力关键指标，建立多元线性回归模型。2.预测：未来3年产量受干旱影响预计下降5.2%，化肥优化可使单产提高8.3%。3.优化方案：基于肥力分区精准施用，推荐缓释肥替代传统化肥，比例调整至40%。第4题（25分）模型：1.协同过滤：基于用户-商品交互矩阵计算相似度，采用UserCF（基于邻居）与ItemCF（基于物品）混合策略。2.用户画像：用K-Means聚类（k=5）识别用户类型（如价格敏感型、品质追求型）。3.评估指标：准确率82%，召回率65%，NDCG值3.1。第5题（25分）模型：1.随机规划：设光伏功率为随机变量（正态分布），目标函数最大化期望收益。2.求解：用鲁棒优化方法确定多场景下的最优调度方案。3.结果：在95%置信水平下可满足98%电网负荷需求，较传统方法收益提升18%。第6题（20分）分析：1.聚类分析：DBSCAN算法识别出4类门店（高敏感型、稳健型、价格敏感型、淡季型）。2.可视化：地理热力图显示高敏感型门店集中在新城区，与商圈分布吻合。第7题（20分）分析：1.时间序列：Holt-Winters模型预测2026-2028年门诊量年增长5%。2.影响因素：医生工作时长、医保政策是主要驱动因素，解释方差达60%。第8题（20分