旋转经典练习题

旋转经典练习题一、旋转的基本概念与性质回顾在深入习题之前，我们简要回顾旋转的核心要素：*旋转中心：图形绕其转动的定点。*旋转方向：通常分为顺时针与逆时针。*旋转角度：图形上各点转过的角度。旋转的基本性质是解决一切相关问题的基石：1.对应点到旋转中心的距离相等。2.对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。3.对应线段相等，对应角相等。4.旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，即旋转前后的图形全等。二、经典练习题解析（一）基础概念辨析与简单计算例题1：已知线段AB绕点O顺时针旋转一定角度后得到线段CD。请判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)点A的对应点一定是点C，点B的对应点一定是点D。(2)OA=OC，OB=OD。(3)∠AOC与∠BOD都等于旋转角。思路点拨：本题主要考察对旋转基本概念和性质的准确理解。需要明确旋转过程中“对应点”的含义，以及旋转性质中“对应点到旋转中心距离相等”和“旋转角”的定义。详细解答：(1)错误。仅凭“线段AB旋转得到线段CD”，不能直接断定点A对应点C，点B对应点D。也可能点A对应点D，点B对应点C。具体对应关系需要根据旋转方向和角度进一步确定。(2)正确。根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等。无论A对应C还是D，只要O是旋转中心，那么对应点到O的距离必然相等，即OA等于其对应点到O的距离，OB亦然。若A对应C，B对应D，则OA=OC，OB=OD；若A对应D，B对应C，则OA=OD，OB=OC。题目表述虽未明确对应关系，但“OA=OC，OB=OD”是在特定对应关系下（即A→C，B→D）的正确表述，若考虑到题目中“线段AB得到线段CD”的通常语序暗示，此说法可视为正确。(3)正确。若点A与点C对应，点B与点D对应，则∠AOC和∠BOD都是旋转角，它们相等。这是旋转性质的直接体现：对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。（二）利用旋转性质进行推理证明例题2：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF。思路点拨：本题是正方形背景下的旋转经典问题。已知条件∠EAF=45°，恰好是正方形内角∠BAD（90°）的一半。考虑到正方形的边相等、角为直角的特性，可以尝试将△ADF（或△ABE）绕点A进行旋转，使AD与AB重合（或AB与AD重合），从而将分散的线段BE和DF集中到一条线段上，再通过证明三角形全等达到目的。详细解答：证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG。根据旋转的性质可知：*AG=AF（对应边相等）*BG=DF（对应边相等）*∠BAG=∠DAF（对应角相等）*∠ABG=∠ADF=90°（对应角相等）因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC=90°。因此，∠ABG+∠ABC=90°+90°=180°，即点G、B、E在同一条直线上。已知∠EAF=45°，且∠BAD=90°，所以∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°。又因为∠BAG=∠DAF，所以∠GAE=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=45°，即∠GAE=∠EAF。在△GAE和△FAE中：*AG=AF（已证）*∠GAE=∠FAE（已证）*AE=AE（公共边）所以△GAE≌△FAE（SAS）。因此，EF=GE（全等三角形对应边相等）。而GE=GB+BE=DF+BE（已证BG=DF）。故EF=BE+DF。证毕。（三）旋转与几何最值问题例题3：如图，已知P是等边三角形ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5。求∠APB的度数。思路点拨：本题给出了三角形内一点到三个顶点的距离，求该点与两个顶点连线的夹角。直接求解较为困难。考虑到△ABC是等边三角形，60°的旋转角是一个重要的提示。可以尝试将△APB（或△BPC、△CPA）绕等边三角形的某一顶点旋转60°，使得PA、PB、PC构成一个新的三角形，利用勾股定理的逆定理判断其形状，从而求出角度。详细解答：将△APB绕点B顺时针旋转60°，得到△CQB，连接PQ。根据旋转的性质可知：*BQ=BP=4（对应边相等）*QC=PA=3（对应边相等）*∠QBC=∠PBA（对应角相等）*∠BQC=∠BPA（对应角相等）因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=60°，即∠PBA+∠PBC=60°。因此，∠QBC+∠PBC=∠PBQ=60°。由于BQ=BP，且∠PBQ=60°，所以△PBQ是等边三角形。因此，PQ=BP=4，∠BQP=60°。在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5。因为3²+4²=5²，即QC²+PQ²=PC²。所以△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°。因此，∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°。又因为∠BQC=∠BPA（旋转对应角相等），所以∠APB=150°。三、总结与反思通过以上经典例题的解析，我们可以深刻体会到旋转在平面几何解题中的强大威力。运用旋转解题的关键在于：1.敏锐观察图形特征：如等腰三角形、等边三角形、正方形等特殊图形，常常是实施旋转的理想载体，因为它们具有边相等、角相等的特性，便于旋转后实现边、角的重合与转化。2.明确旋转目的：通常是为了将分散的条件集中，将不规则图形转化为规则图形，或将较难的问题转化为较易的问题（如构造直角三角形、等边三角形）。3.熟练掌握旋转性质：旋转前后图形的全等性、对应边和对应角的相等关系、旋转角的不变性等，是进行逻辑推理的依据。在日常练习中，遇到涉及固定顶点、相等线段、特殊角度（如45°、60°、90°）的几何问题时，不妨多思